В логике трехзначная логика (также троичная логика , трехвалентная , тернарная или триленная , [1] иногда сокращенно 3VL ) — это любая из нескольких многозначных логических систем, в которой есть три значения истинности , указывающие на истинность , ложь и некоторое третье значение. Это контрастирует с более известными двухвалентными логиками (такими как классическая сентенциальная или булева логика ), которые предусматривают только истинность и ложь .
Эмилю Леону Посту приписывают первое введение дополнительных логических степеней истинности в его теории элементарных предложений 1921 года. [2] Концептуальная форма и основные идеи трехзначной логики были первоначально опубликованы Яном Лукасевичем и Кларенсом Ирвингом Льюисом . Затем они были переформулированы Григорием Константином Моисилом в аксиоматической алгебраической форме, а также распространены на n -значные логики в 1945 году.
Около 1910 года Чарльз Сандерс Пирс определил многозначную логическую систему . Он никогда не публиковал ее. Фактически, он даже не пронумеровал три страницы заметок, где он определял свои трехзначные операторы. [3] Пирс обоснованно отверг идею, что все предложения должны быть либо истинными, либо ложными; граничные предложения, пишет он, находятся «на границе между P и не P». [4] Однако, будучи уверенным в том, что «триадическая логика универсально истинна», [5] он также записал, что «все это очень близко к бессмыслице». [6] Только в 1966 году, когда Макс Фиш и Этвелл Теркетт начали публиковать то, что они заново открыли в его неопубликованных рукописях, триадические идеи Пирса стали широко известны. [7]
В широком смысле, основной мотивацией для исследования трехзначной логики является представление истинностного значения утверждения, которое не может быть представлено как истинное или ложное. [8] Лукасевич изначально разработал трехзначную логику для проблемы будущих обстоятельств, чтобы представить истинностное значение утверждений о неопределенном будущем. [9] [10] [11] Бруно де Финетти использовал третье значение для представления ситуации, когда «данный человек не знает [правильного] ответа, по крайней мере, в данный момент». [12] [8] Хилари Патнэм использовала его для представления значений, которые не могут быть физически определены: [13]
Например, если мы проверили (используя спидометр), что скорость автомобиля такая-то и такая-то, то в таком мире может быть невозможно проверить или опровергнуть определенные утверждения относительно его положения в этот момент. Если мы знаем, ссылаясь на физический закон вместе с определенными данными наблюдений, что утверждение относительно положения автомобиля никогда не может быть фальсифицировано или проверено, то может быть некоторый смысл не рассматривать утверждение как истинное или ложное, а рассматривать его как «среднее». Только потому, что в макрокосмическом опыте все, что мы рассматриваем как эмпирически значимое утверждение, кажется, по крайней мере, потенциально проверяемым или фальсифицируемым, мы предпочитаем соглашение, согласно которому мы говорим, что каждое такое утверждение либо истинно, либо ложно, но во многих случаях мы не знаем, какое именно.
Аналогично Стивен Коул Клини использовал третье значение для представления предикатов , которые «неразрешимы [никакими] алгоритмами, будь то истина или ложь» [14] [8]
Как и в случае с двухвалентной логикой, значения истинности в троичной логике могут быть представлены численно с использованием различных представлений троичной системы счисления . Вот несколько наиболее распространенных примеров:
Внутри троичного компьютера троичные значения представлены троичными сигналами .
В данной статье в основном иллюстрируется система троичной пропозициональной логики, использующая значения истинности {ложь, неизвестно, истина}, и расширяются обычные булевы связки до трехвалентного контекста.
Булева логика допускает 2 · 2 = 4 унарных оператора ; добавление третьего значения в троичной логике приводит к общему количеству 3 · 3 = 27 различных операторов для одного входного значения. (Это можно прояснить, рассмотрев все возможные таблицы истинности для произвольного унарного оператора. При наличии 2 возможных значений TF одного булева входа существует четыре различных шаблона вывода TT, TF, FT, FF, получаемых в результате действия следующих унарных операторов на каждое значение: всегда T, Identity, NOT, всегда F. При наличии трех возможных значений тернарной переменной, каждое из которых умножается на три возможных результата унарной операции, существует 27 различных шаблонов вывода: TTT, TTU, TTF, TUT, TUU, TUF, TFT, TFU, TFF, UTT, UTU, UTF, UUT, UUU, UUF, UFT, UFU, UFF, FTT, FTU, FTF, FUT, FUU, FUF, FFT, FFU и FFF.) Аналогично, если в булевой логике возможно 2 2 ×2 = 16 различных бинарных операторов (операторов с 2 входами), то в тернарной логике возможно 3 3×3 = 19 683 таких оператора. В то время как нетривиальные булевы операторы могут быть названы ( AND , NAND , OR , NOR , XOR , XNOR ( эквивалентность ) и 4 варианта импликации или неравенства), с шестью тривиальными операторами, рассматривающими только 0 или 1 входы, неразумно пытаться назвать все, кроме небольшой части возможных тернарных операторов. [18] Так же, как в бивалентной логике, где не всем операторам даны имена и используются подмножества функционально полных операторов, могут быть функционально полные наборы тернарнозначных операторов.
Ниже представлен набор таблиц истинности , демонстрирующих логические операции для «сильной логики неопределенности» Стивена Коула Клини и «логики парадокса» Грэма Приста .
Если значения истинности 1, 0 и -1 интерпретируются как целые числа, эти операции могут быть выражены с помощью обычных операций арифметики (где x + y использует сложение, xy использует умножение, а x 2 использует возведение в степень) или с помощью функций минимума/максимума:
В этих таблицах истинности неизвестное состояние может рассматриваться как ни истинное, ни ложное в логике Клини, или рассматриваться как истинное и ложное в логике Приста. Разница заключается в определении тавтологий. Если единственное обозначенное значение истинности в логике Клини — это T, то обозначенные значения истинности в логике Приста — это как T, так и U. В логике Клини знание того, представляет ли какое-либо конкретное неизвестное состояние тайно истину или ложь в любой момент времени, недоступно. Однако некоторые логические операции могут давать однозначный результат, даже если они включают неизвестный операнд. Например, поскольку true OR true равно true , а true OR false также равно true , то true OR unknown также равно true . В этом примере, поскольку любое из двухвалентных состояний может лежать в основе неизвестного состояния, и любое из них также дает тот же результат, во всех трех случаях получается true .
Если числовые значения, например, сбалансированные троичные значения, присвоены false , unknown и true таким образом, что false меньше unknown , а unknown меньше true , то A AND B AND C... = MIN(A, B, C...) и A OR B OR C... = MAX(A, B, C...).
Материальное следствие логики Клини можно определить следующим образом:
, и его таблица истинности
что отличается от логики Лукасевича (описанной ниже).
В логике Клини нет тавтологий (допустимых формул), потому что всякий раз, когда всем атомарным компонентам правильно сформированной формулы присваивается значение Неизвестно, сама формула также должна иметь значение Неизвестно. (И единственным обозначенным значением истинности для логики Клини является Истина.) Однако отсутствие допустимых формул не означает, что в ней отсутствуют допустимые аргументы и/или правила вывода. Аргумент семантически допустим в логике Клини, если всякий раз, когда (для любой интерпретации/модели) все его посылки являются Истиной, заключение также должно быть Истиной. (Логика парадокса (LP) имеет те же таблицы истинности, что и логика Клини, но у нее два обозначенных значения истинности вместо одного; это: Истина и Оба (аналог Неизвестно), так что в LP есть тавтологии, но у нее меньше допустимых правил вывода). [19]
В Łukasiewicz Ł3 есть те же таблицы для AND, OR и NOT, что и в логике Клини, приведенной выше, но она отличается определением импликации, в котором «неизвестное влечет неизвестное» является истинным . Этот раздел следует изложению главы Малиновского из Handbook of the History of Logic , том 8. [20]
Материальное следствие для таблицы истинности логики Лукасевича:
Фактически, используя импликацию и отрицание Лукасевича, другие обычные связки можно вывести следующим образом:
Также возможно вывести несколько других полезных унарных операторов (впервые выведенных Тарским в 1921 году): [ необходима ссылка ]
Они имеют следующие таблицы истинности:
M читается как «не ложно, что...» или в (неудачной) попытке Тарского–Лукасевича аксиоматизировать модальную логику с помощью трехзначной логики: «возможно, что...». L читается как «истинно, что...» или «необходимо, чтобы...». Наконец, I читается как «неизвестно, что...» или «вероятно, что...».
В Ł3 Лукасевича обозначенное значение — True, что означает, что только предложение, имеющее это значение везде, считается тавтологией . Например, A → A и A ↔ A являются тавтологиями в Ł3, а также в классической логике. Не все тавтологии классической логики поднимаются до Ł3 «как есть». Например, закон исключенного третьего , A ∨ ¬ A , и закон непротиворечивости , ¬( A ∧ ¬ A ) не являются тавтологиями в Ł3. Однако, используя оператор, который я определил выше, можно сформулировать тавтологии, которые являются их аналогами:
Таблица истинности для материального следствия R-mingle 3 (RM3) выглядит следующим образом:
Определяющей характеристикой RM3 является отсутствие аксиомы Ослабления:
что, по свойству сопряженности, эквивалентно проекции из произведения:
RM3 — недекартова симметричная моноидальная замкнутая категория; произведение, которое является левым сопряженным к импликации, не имеет допустимых проекций и имеет U в качестве моноидной идентичности. Эта логика эквивалентна «идеальной» паранепротиворечивой логике, которая также подчиняется контрапозиции.
Логика здесь и там ( HT , также называемая логикой Сметанова SmT или логикой Гёделя G3), введенная Гейтингом в 1930 году [21] в качестве модели для изучения интуиционистской логики , является трехзначной промежуточной логикой , где третье значение истинности NF (не ложно) имеет семантику предложения, для которого можно интуиционистски доказать, что оно не ложно, но не имеет интуиционистского доказательства правильности.
Его можно определить либо добавлением одной из двух эквивалентных аксиом (¬ q → p ) → ((( p → q ) → p ) → p ) или эквивалентно p ∨(¬ q )∨( p → q ) к аксиомам интуиционистской логики , либо явными таблицами истинности для его операций. В частности, конъюнкция и дизъюнкция такие же, как в логике Клини и Лукасевича, тогда как отрицание отличается.
Логика HT является уникальным коатомом в решетке промежуточных логик. В этом смысле ее можно рассматривать как «вторую по силе» промежуточную логику после классической логики.
Эта логика также известна как слабая форма трехзначной логики Клини.
Некоторые модульные арифметики 3VL были введены совсем недавно, мотивированные скорее проблемами схем, чем философскими вопросами: [22]
Язык запросов к базе данных SQL реализует троичную логику как средство обработки сравнений с содержимым поля NULL . SQL использует общий фрагмент логики Kleene K3, ограниченный таблицами AND, OR и NOT.
Триадическая логика универсально истинна. Но диадическая логика не абсолютно ложна
Но есть и второй возможный способ понять многозначную логику: в то время как предложение само по себе может иметь только два значения, истинное или ложное, то есть два ответа, да или нет, может случиться, что данный индивид не знает [правильного] ответа, по крайней мере, в данный момент; следовательно, для индивида возможно третье отношение к предложению. Это третье отношение не соответствует отдельному третьему значению да или нет, а просто сомнению между да или нет
Однако это не тот случай, когда «средний» означает «ни подтвержденный, ни опровергнутый в настоящее время». Как мы видели, «проверенный» и «фальсифицированный» являются эпистемическими предикатами — то есть они относятся к свидетельствам в определенное время — тогда как «средний», как «истинный» и «ложный», не относится к свидетельствам.
Сильная 3-значная логика может быть применена к полностью определенным предикатам Q(x) и R(x), из которых образуются составные предикаты с использованием ̅, V, &, ->, ≡ в обычных 2-значных значениях, таким образом, (iii) Предположим, что существуют фиксированные алгоритмы, которые решают истинность или ложность Q(x) и R(x), каждый на подмножестве натуральных чисел (как это происходит, например, после завершения определений любых двух частично рекурсивных предикатов классическим способом). Пусть t, f, u означают «разрешимо алгоритмами (т. е. с использованием только такой информации о Q(x) и R(x), которая может быть получена алгоритмами) как истинное», «разрешимо алгоритмами как ложное», «неразрешимо алгоритмами, истинно или ложно». (iv) Предположим фиксированное состояние знаний о Q(x) и R(x) (как происходит, например, после выполнения алгоритмов для каждого из них до заданного этапа). Пусть t, f, u означают «известно, что истинно», «известно, что ложно», «неизвестно, истинно или ложно».
