Тройной участок

Тройной график , тройной график , треугольный график , симплексный график или треугольник Гиббса — это барицентрический график на трех переменных, которые в сумме дают константу. ^[1] Он графически изображает отношения трех переменных как позиции в равностороннем треугольнике . Он используется в физической химии , петрологии , минералогии , металлургии и других физических науках для отображения составов систем, состоящих из трех видов. Тройные графики являются инструментами для анализа данных о составе в трехмерном случае.

В популяционной генетике треугольный график частот генотипов называется диаграммой де Финетти . В теории игр ^[2] и выпуклой оптимизации [ ^3] его часто называют симплексным графиком.

В тройном графике значения трех переменных $a$ , $b$ , и $c$ должны в сумме давать некоторую константу $K$ . Обычно эта константа представляется как 1,0 или 100%. Поскольку $a + b + c = K$ для всех веществ, отображаемых на графике, любая переменная не является независимой от других, поэтому для нахождения точки образца на графике должны быть известны только две переменные: например, $c$ должно быть равно $K - a - b$ . Поскольку три числовых значения не могут изменяться независимо — существует только две степени свободы — можно построить график комбинаций всех трех переменных только в двух измерениях.

Преимущество использования тройного графика для изображения химических составов заключается в том, что три переменные можно удобно изобразить на двумерном графике. Тройные графики также можно использовать для создания фазовых диаграмм , выделяя на графике области состава, где существуют различные фазы.

Значения точки на тернарном графике соответствуют (с точностью до константы) ее трилинейным координатам или барицентрическим координатам .

Чтение значений на троичном графике

Существует три эквивалентных метода, которые можно использовать для определения значений точки на графике:

Метод параллельных линий или сетки . Первый метод заключается в использовании сетки диаграммы, состоящей из линий, параллельных ребрам треугольника. Параллель к стороне треугольника — это геометрическое место точек, постоянных в компоненте, расположенном в вершине, противолежащей стороне. Каждый компонент составляет 100% в углу треугольника и 0% на противоположном ему ребре, уменьшаясь линейно с увеличением расстояния (перпендикулярно противоположному ребру) от этого угла. Рисуя параллельные линии с равными интервалами между нулевой линией и углом, можно установить тонкие деления для легкой оценки.
Метод перпендикулярной линии или высоты . Для диаграмм, не имеющих линий сетки, самый простой способ определения значений — определить кратчайшие (т. е. перпендикулярные) расстояния от интересующей точки до каждой из трех сторон. По теореме Вивиани расстояния (или отношения расстояний к высоте треугольника ) дают значение каждого компонента.
Метод угловой линии или пересечения . Третий метод не требует рисования перпендикулярных или параллельных линий. Прямые линии рисуются из каждого угла, через интересующую точку, к противоположной стороне треугольника. Длины этих линий, а также длины отрезков между точкой и соответствующими сторонами измеряются по отдельности. Соотношение измеренных линий затем дает значение компонента как дробь от 100%.

Смещение вдоль параллельной линии (линии сетки) сохраняет сумму двух значений, тогда как движение вдоль перпендикулярной линии увеличивает (или уменьшает) два значения на одинаковую величину, каждая на половину уменьшения (увеличения) третьего значения. Движение вдоль линии через угол сохраняет соотношение двух других значений.

Рисунок 1. Высотный метод
Рисунок 2. Метод пересечения
Рисунок 3. Пример тройной диаграммы без нанесенных точек.
Рисунок 4. Пример тройной диаграммы, показывающий приращения вдоль первой оси.
Рисунок 5. Пример тройной диаграммы, показывающий приращения вдоль второй оси.
Рисунок 6. Пример тройной диаграммы, показывающий приращения вдоль третьей оси.
Рисунок 7. Пустой тернарный график
Рисунок 8. Показано, как работают три оси.
Немаркированный треугольный график с основными линиями сетки
Немаркированный треугольный график с основными и второстепенными линиями сетки

Вывод из декартовых координат

На рисунке (1) показана косая проекция точки $P(a, b, c)$ в трехмерном декартовом пространстве с осями $a$ , $b$ и $c$ соответственно.

Если $a + b + c = K$ (положительная константа), $P$ ограничена плоскостью, содержащей $A(K,0,0)$ , $B(0, K,0)$ и $C(0,0, K)$ . Если $a$ , $b$ и $c$ не могут быть отрицательными, $P$ ограничена треугольником, ограниченным $A$ , $B$ и $C$ , как в (2).

В (3) оси повернуты, чтобы получить изометрический вид. Треугольник, рассматриваемый лицом к лицу, выглядит равносторонним .

В (4) расстояния точки $P$ от линий $BC$ , $AC$ и $AB$ обозначены как $a'$ , $b'$ и $c'$ соответственно.

Для любой линии $l = s + t n̂$ в векторной форме ( $n̂$ — единичный вектор) и точки $p$ перпендикулярное расстояние от $p$ до $l$ равно

\left\|(\mathbf {s} -\mathbf {p} )-{\bigl (}(\mathbf {s} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {\hat {n}} {\bigr )}\mathbf {\hat {n}} \right\|\,.

В этом случае точка $P$ находится в

\mathbf {p} ={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.

Линия $BC$ имеет

\mathbf {s} ={\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {\hat {n}} ={\frac {{\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}}}{\left\|{\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}}\right\|}}={\frac {\begin{pmatrix}0\\K\\-K\end{pmatrix}}{\sqrt {0^{2}+K^{2}+{(-K)}^{2}}}}={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\,.

Используя формулу перпендикулярного расстояния,

{\begin{aligned}a'&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}-\left({\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}-\left(0+{\frac {K-b}{\sqrt {2}}}+{\frac {c}{\sqrt {2}}}\right){\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b-{\frac {K-b+c}{2}}\\-c+{\frac {K-b+c}{2}}\end{pmatrix}}\right\|=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\{\frac {K-b-c}{2}}\\{\frac {K-b-c}{2}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&={\sqrt {{(-a)}^{2}+{\left({\frac {K-b-c}{2}}\right)}^{2}+{\left({\frac {K-b-c}{2}}\right)}^{2}}}={\sqrt {a^{2}+{\frac {{(K-b-c)}^{2}}{2}}}}\,.\end{aligned}}

Подставляя $K = a + b + c$ ,

a'={\sqrt {a^{2}+{\frac {{(a+b+c-b-c)}^{2}}{2}}}}={\sqrt {a^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}}}=a{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.

Аналогичный расчет по линиям $AC$ и $AB$ дает

b'=b{\sqrt {\frac {3}{2}}}\quad {\text{and}}\quad c'=c{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.

Это показывает, что расстояние точки от соответствующих линий линейно пропорционально исходным значениям $a$ , $b$ и $c$ . ^[4]

Построение троичного графика

Декартовы координаты полезны для построения точек в треугольнике. Рассмотрим равносторонний тернарный график, где $a = 100%$ помещено в $(x, y) = (0,0)$ и $b = 100%$ в $(1,0)$ . Тогда $c = 100%$ равно и тройка $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $)$ равна ${\textstyle ({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}),}$

\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2b+c}{a+b+c}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {c}{a+b+c}}\right)\,.

Пример

Раскрашенный текстурный треугольник почвы от Министерства сельского хозяйства США.

В этом примере показано, как это работает для гипотетического набора из трех образцов почвы:

Построение точек

Построение образца 1 (шаг 1):
Найдите линию 50% глины
Построение образца 1 (шаг 2):
Найдите линию 20% ила
Построение образца 1 (шаг 3):
Завися от первых двух, пересечение находится на 30% песчаной линии
Нанесение всех образцов на график
Тройной треугольный график типов почв: песок, глина и ил, запрограммированный с помощью Mathematica

Список известных троичных диаграмм

Диаграмма цветности
диаграмма де Финетти
участок Далитца
Диаграмма воспламеняемости
Диаграмма катиона Дженсена
Диаграмма Пайпера , используемая в гидрохимии
Диаграмма классификации UIGS для ультрамафических пород
Диаграмма структуры почвы USDA по размерам частиц

Смотрите также

Кажущаяся молярная собственность
Теорема Вивиани
Барицентрические координаты (математика)
Данные о составе
Список программного обеспечения для создания информационной графики
- Графическое программное обеспечение для наук о Земле
- ИГОРЬ Про
- Origin (программное обеспечение для анализа данных)
- R имеет специальный пакет ternar, поддерживаемый в Comprehensive R Archive Network ( CRAN )
- Сигмаплот
Проектный треугольник
Трилемма

Ссылки

^ Weisstein, Eric W. "Ternary Diagram". mathworld.wolfram.com . Получено 2021-06-05 .
^ Карл Тейлс, «Эволюционный теоретико-игровой анализ стратегий покера», Entertainment Computing, январь 2009 г., doi :10.1016/j.entcom.2009.09.002, стр. 9
^ Бойд, С. и Ванденберг, Л., 2004. Выпуклая оптимизация. Издательство Кембриджского университета.
↑ Vaughan, Will (5 сентября 2010 г.). "Тернарные сюжеты". Архивировано из оригинала 20 декабря 2010 г. Получено 7 сентября 2010 г.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме Тернарные графики .

"Шаблон Excel для троичных диаграмм". serc.carleton.edu . Центр ресурсов научного образования (SERC) Карлтонский колледж . Получено 14 мая 2020 г. .
"Tri-plot: Ternary diagram plotting software". www.lboro.ac.uk . Университет Лафборо – Географический факультет / Главная страница портала ресурсов > Tri-plot . Получено 14 мая 2020 г. .
«Генератор троичных диаграмм – Быстрое создание троичных диаграмм онлайн». www.ternaryplot.com . Получено 14 мая 2020 г. .
Холланд, Стивен (2016). «Анализ данных в науках о Земле – троичные диаграммы, разработанные на языке R». strata.uga.edu . Университет Джорджии . Получено 14 мая 2020 г. .