Угловое смещение

Смещение, измеряемое под углом, когда тело совершает круговое или вращательное движение.

Угловое смещение (символ θ, ϑ или φ) – также называемое углом поворота , вращательным смещением или вращательным смещением – физического тела – это угол (в единицах радиан , градусов , оборотов и т. д.), на который тело поворачивается (вращается или вращается) вокруг центра или оси вращения . Угловое смещение может быть подписано, указывая направление вращения (например, по часовой стрелке ); оно также может быть больше (по абсолютной величине ), чем полный оборот .

Контекст

Вращение твердого тела P вокруг неподвижной оси O.

Когда тело вращается вокруг своей оси, движение нельзя просто анализировать как частицу, так как при круговом движении оно претерпевает изменяющуюся скорость и ускорение в любой момент времени. Когда речь идет о вращении тела, проще считать само тело жестким. Тело обычно считается жестким, когда расстояния между всеми частицами остаются постоянными на протяжении всего движения тела, так что, например, части его массы не разлетаются. В реалистическом смысле все может быть деформировано, однако это воздействие минимально и пренебрежимо мало.

Пример

В примере, показанном справа (или выше в некоторых мобильных версиях), частица или тело P находится на фиксированном расстоянии r от начала координат O , вращаясь против часовой стрелки. Затем становится важным представить положение частицы P в терминах ее полярных координат ( r , θ ). В этом конкретном примере значение θ меняется, в то время как значение радиуса остается прежним. (В прямоугольных координатах ( x , y ) как x, так и y изменяются со временем.) Когда частица движется по окружности, она проходит длину дуги s , которая становится связанной с угловым положением через соотношение:

${\displaystyle s=r\theta .}$

Определение и единицы измерения

Угловое смещение может быть выражено в радианах или градусах. Использование радиан обеспечивает очень простое соотношение между расстоянием, пройденным по окружности ( длина дуги окружности ), и расстоянием r от центра ( радиус ):

${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}\mathrm {rad} }$

Например, если тело вращается на 360° по окружности радиусом r , угловое смещение определяется расстоянием, пройденным по окружности (2π r ), деленным на радиус: что легко упрощается до: . Таким образом, 1 оборот равен радианам. ${\displaystyle \theta ={\frac {2\pi r}{r}}}$ ${\displaystyle \theta =2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Приведенное выше определение является частью Международной системы величин (МСКВ), формализованной в международном стандарте ISO 80000-3 (Пространство и время) ^[1] и принятой в Международной системе единиц (СИ). ^{[2] [3]}

Угловое смещение может быть подписано, указывая направление вращения (например, по часовой стрелке ); ^[1] оно также может быть больше (по абсолютной величине ), чем полный оборот . В системе ISQ/SI угловое смещение используется для определения числа оборотов , N =θ/(2π рад), величины отношения размерности один .

В трех измерениях

Рисунок 1 : Теорема вращения Эйлера. Большой круг преобразуется в другой большой круг при поворотах, всегда оставляя диаметр сферы в исходном положении.

Рисунок 2 : Вращение, представленное осью Эйлера и углом.

В трех измерениях угловое смещение — это сущность с направлением и величиной. Направление определяет ось вращения, которая всегда существует в силу теоремы Эйлера о вращении ; величина определяет вращение в радианах вокруг этой оси (используя правило правой руки для определения направления). Эта сущность называется ось-угол .

Несмотря на то, что угловое смещение имеет направление и величину, оно не является вектором , поскольку не подчиняется коммутативному закону сложения. ^[4] Тем не менее, при рассмотрении бесконечно малых вращений можно отбросить бесконечно малые величины второго порядка, и в этом случае проявляется коммутативность.

Матрицы вращения

Существует несколько способов описания вращений, например, матрицы вращения или углы Эйлера . См. диаграммы на SO(3) для других.

Учитывая, что любой кадр в пространстве может быть описан матрицей вращения, смещение между ними также может быть описано матрицей вращения. Будучи и двумя матрицами, матрица углового смещения между ними может быть получена как . Когда это произведение выполняется с очень малой разницей между обоими кадрами, мы получим матрицу, близкую к тождественной. ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{f}}$ ${\displaystyle \Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}}$

В пределе мы будем иметь бесконечно малую матрицу вращения.

Матрицы бесконечно малого вращения

Матрица бесконечно малого вращения или матрица дифференциального вращения — это матрица, представляющая бесконечно малое вращение .

В то время как матрица вращения является ортогональной матрицей, представляющей элемент ( специальной ортогональной группы ), дифференциал вращения является кососимметричной матрицей в касательном пространстве ( специальной ортогональной алгебре Ли ), которая сама по себе не является матрицей вращения. ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$

Бесконечно малая матрица вращения имеет вид

${\displaystyle I+d\theta \,A,}$

где - единичная матрица, исчезающе мала, и ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle A\in {\mathfrak {so}}(n).}$

Например, если представить бесконечно малое трехмерное вращение вокруг оси x , то базисный элемент ${\displaystyle A=L_{x},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3),}$

${\displaystyle dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

Правила вычисления для бесконечно малых матриц вращения такие же, как обычно, за исключением того, что бесконечно малые второго порядка обычно отбрасываются. С этими правилами эти матрицы не удовлетворяют всем тем же свойствам, что и обычные конечные матрицы вращения при обычной обработке бесконечно малых. ^[5] Оказывается, что порядок, в котором применяются бесконечно малые вращения, не имеет значения .

Смотрите также

• Угловое расстояние
• Угловая частота
• Угловое положение
• Угловая скорость
• Азимут
• Бесконечно малое вращение
• Линейная эластичность
• Второй момент площади
• Развернутая фаза

Ссылки

1. "ISO 80000-3:2019 Величины и единицы. Часть 3: Пространство и время" (2-е изд.). Международная организация по стандартизации . 2019. Получено 23 октября 2019 г.[1] (11 страниц)
2. Международная система единиц (PDF) (9-е изд.), Международное бюро мер и весов, декабрь 2022 г., ISBN 978-92-822-2272-0
3. Томпсон, Эмблер; Тейлор, Барри Н. (2020-03-04) [2009-07-02]. "Руководство NIST по использованию Международной системы единиц, специальная публикация 811" (ред. 2008 г.). Национальный институт стандартов и технологий . Получено 2023-07-17 .[2]
4. Клеппнер, Дэниел; Коленков, Роберт (1973). Введение в механику . McGraw-Hill. стр. 288–89. ISBN 9780070350489.
5. (Гольдштейн, Пул и Сафко 2002, §4.8)

Источники

• Голдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П.; Сафко, Джон Л. (2002), Классическая механика (третье изд.), Эддисон Уэсли , ISBN 978-0-201-65702-9
• Веддерберн, Джозеф Х. М. (1934), Лекции по матрицам, AMS , ISBN 978-0-8218-3204-2