Угловое смещение

Смещение измеряется по углу, когда тело совершает круговое или вращательное движение.

Угловое смещение (символ θ, ϑ или φ ) — также называемое углом поворота , вращательным смещением или вращательным смещением — физического тела — это угол (в радианах , градусах , поворотах и ​​т . д.), на который тело вращается (вращается или вращается) вокруг центра или оси вращения . Угловое смещение может быть подписано, указывая направление вращения (например, по часовой стрелке ); он также может быть больше (по абсолютной величине ), чем полный оборот .

Контекст

Вращение твердого тела P вокруг неподвижной оси O .

Когда тело вращается вокруг своей оси, его движение нельзя просто анализировать как частицу, поскольку при круговом движении оно в любой момент подвергается изменению скорости и ускорения. Когда речь идет о вращении тела, проще считать само тело жестким. Тело обычно считается твердым, если расстояние между всеми частицами остается постоянным на протяжении всего движения тела, поэтому, например, части его массы не разлетаются. В реалистическом смысле все вещи могут быть деформируемыми, однако это влияние минимально и незначительно.

Пример

В примере, показанном справа (или выше в некоторых мобильных версиях), частица или тело P находится на фиксированном расстоянии r от начала координат O и вращается против часовой стрелки. Тогда становится важным представить положение частицы P через ее полярные координаты ( r , θ ). В данном конкретном примере значение θ меняется, а значение радиуса остаётся прежним. (В прямоугольных координатах ( x , y ) и x , и y меняются со временем.) Когда частица движется по окружности, она проходит дугу длиной s , которая становится связанной с угловым положением соотношением:

${\displaystyle s=r\theta .}$

Определение и единицы измерения

Угловое смещение может выражаться в радианах или градусах. Использование радианов обеспечивает очень простую связь между расстоянием, пройденным по кругу ( длиной дуги окружности ), и расстоянием r от центра ( радиусом ):

${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}\mathrm {rad} }$

Например, если тело вращается на 360° по окружности радиуса r , угловое смещение определяется расстоянием, пройденным по окружности, которое равно 2π r , деленным на радиус: что легко упрощается до: . Следовательно, 1 оборот – это радианы. ${\displaystyle \theta ={\frac {2\pi r}{r}}}$ ${\displaystyle \theta =2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Приведенное выше определение является частью Международной системы величин (ISQ), формализованной в международном стандарте ISO 80000-3 (Пространство и время) ^[1] и принятой в Международной системе единиц (СИ). ^{[2] [3]}

Угловое смещение может быть подписано, указывая направление вращения (например, по часовой стрелке ); ^[1] оно также может быть больше (по абсолютной величине ), чем полный оборот . В ISQ/SI угловое смещение используется для определения количества оборотов , N =θ/(2π рад), величины отношения типа единицы .

В трех измерениях

Рисунок 1 : Теорема Эйлера о вращении. Большой круг при вращении превращается в другой большой круг, всегда оставляя диаметр сферы в исходном положении.

Рисунок 2 : Вращение, представленное осью Эйлера и углом.

В трех измерениях угловое смещение представляет собой объект с направлением и величиной. Направление определяет ось вращения, которая всегда существует в силу теоремы Эйлера о вращении ; величина определяет вращение в радианах вокруг этой оси (используя правило правой руки для определения направления). Эта сущность называется углом оси .

Несмотря на наличие направления и величины, угловое смещение не является вектором , поскольку не подчиняется коммутативному закону сложения. ^[4] Тем не менее, когда речь идет о бесконечно малых вращениях, бесконечно малые второго порядка можно отбросить, и в этом случае появляется коммутативность.

Матрицы вращения

Существует несколько способов описания вращения, например, матрицы вращения или углы Эйлера . Другие см. в диаграммах SO(3) .

Учитывая, что любой кадр в пространстве можно описать матрицей вращения, смещение между ними также можно описать матрицей вращения. Поскольку и две матрицы, матрица углового смещения между ними может быть получена как . Когда это произведение будет выполнено с очень небольшой разницей между обоими кадрами, мы получим матрицу, близкую к тождественной. ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{f}}$ ${\displaystyle \Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}}$

В пределе мы будем иметь бесконечно малую матрицу вращения.

Бесконечно малые матрицы вращения

Матрица бесконечно малого вращения или матрица дифференциального вращения — это матрица , представляющая бесконечно малое вращение .

В то время как матрица вращения — это ортогональная матрица , представляющая элемент ( специальной ортогональной группы ), дифференциал вращения — это кососимметричная матрица в касательном пространстве ( специальная ортогональная алгебра Ли ), которая сама по себе не является матрицей вращения. ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$

Бесконечно малая матрица вращения имеет вид

${\displaystyle I+d\theta \,A,}$

где – единичная матрица, исчезающе мала, а ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle A\in {\mathfrak {so}}(n).}$

Например, если представляет собой бесконечно малое трехмерное вращение вокруг оси x , базовый элемент ${\displaystyle A=L_{x},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3),}$

${\displaystyle dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

Правила вычисления бесконечно малых матриц вращения такие же, как обычно, за исключением того, что бесконечно малые матрицы второго порядка обычно отбрасываются. Согласно этим правилам, эти матрицы не удовлетворяют всем тем же свойствам, что и обычные матрицы конечного вращения при обычном подходе к бесконечно малым числам. ^[5] Оказывается, порядок применения бесконечно малых вращений не имеет значения .

Смотрите также

• Угловое расстояние
• Угловая частота
• Угловое положение
• Угловая скорость
• Азимут
• Бесконечно малое вращение
• Линейная эластичность
• Второй момент площади
• Развернутая фаза

Рекомендации

1. «ISO 80000-3:2019 Величины и единицы. Часть 3: Пространство и время» (2-е изд.). Международная Организация Стандартизации . 2019 . Проверено 23 октября 2019 г.[1] (11 страниц)
2. Le Système International d'Unités [ Международная система единиц ] (PDF) (на французском и английском языках) (9-е изд.), Международное бюро мер и весов, 2019, ISBN 978-92-822-2272-0
3. Томпсон, Эмблер; Тейлор, Барри Н. (04 марта 2020 г.) [02 июля 2009 г.]. «Руководство NIST по использованию международной системы единиц, специальная публикация 811» (изд. 2008 г.). Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 17 июля 2023 г.[2]
4. Клеппнер, Дэниел; Коленков, Роберт (1973). Введение в механику . МакГроу-Хилл. стр. 288–89. ISBN 9780070350489.
5. (Гольдштейн, Пул и Сафко 2002, §4.8)

Источники

• Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П.; Сафко, Джон Л. (2002), Классическая механика (третье изд.), Аддисон Уэсли , ISBN 978-0-201-65702-9
• Веддерберн, Джозеф Х.М. (1934), Лекции по матрицам, AMS , ISBN 978-0-8218-3204-2