Удельная орбитальная энергия

Параметр в гравитационной задаче двух тел

В гравитационной задаче двух тел удельная орбитальная энергия (или энергия vis-viva ) двух вращающихся тел представляет собой постоянную сумму их взаимной потенциальной энергии ( ) и их кинетической энергии ( ), деленную на приведенную массу . ^[1] Согласно уравнению сохранения орбитальной энергии (также называемому уравнением vis-viva), она не меняется со временем: где ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{p}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{k}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &=\varepsilon _{k}+\varepsilon _{p}\\&={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{h^{2}}}\left(1-e^{2}\right)=-{\frac {\mu }{2a}}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle v}$— относительная орбитальная скорость ;
• ${\displaystyle r}$- орбитальное расстояние между телами;
• ${\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})}$— сумма стандартных гравитационных параметров тел;
• ${\displaystyle h}$— удельный относительный момент импульса в смысле относительного момента импульса, деленный на приведенную массу;
• ${\displaystyle e}$- эксцентриситет орбиты ;
• ${\displaystyle a}$большая полуось .

Обычно она выражается в (мегаджоуль на килограмм) или (квадратный километр на секунду в квадрате). Для эллиптической орбиты удельная орбитальная энергия равна отрицательной дополнительной энергии, необходимой для ускорения массы в один килограмм до второй космической скорости ( параболическая орбита ). Для гиперболической орбиты она равна избыточной энергии по сравнению с энергией параболической орбиты. В этом случае удельная орбитальная энергия также называется характеристической энергией . ${\displaystyle {\frac {\text{MJ}}{\text{kg}}}}$ ${\displaystyle {\frac {{\text{km}}^{2}}{{\text{s}}^{2}}}}$

Формы уравнений для различных орбит

Для эллиптической орбиты уравнение удельной орбитальной энергии в сочетании с сохранением удельного углового момента на одной из апсид орбиты упрощается до: ^[2]

$${\displaystyle \varepsilon =-{\frac {\mu }{2a}}}$$где

• ${\displaystyle \mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)}$— стандартный гравитационный параметр ;
• ${\displaystyle a}$большая полуось орбиты .

Доказательство

Для эллиптической орбиты с удельным угловым моментом h, заданным как, мы используем общую форму уравнения удельной орбитальной энергии, с соотношением, что относительная скорость в перицентре равна Таким образом, наше уравнение удельной орбитальной энергии принимает вид и, наконец, с последним упрощением мы получаем: $${\displaystyle h^{2}=\mu p=\mu a\left(1-e^{2}\right)}$$ $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}}$$ $${\displaystyle v_{p}^{2}={h^{2} \over r_{p}^{2}}={h^{2} \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu a\left(1-e^{2}\right) \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu \left(1-e^{2}\right) \over a(1-e)^{2}}}$$ $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\mu }{a}}{\left[{1-e^{2} \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{(1-e)(1+e) \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{1+e \over 2(1-e)}-{2 \over 2(1-e)}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{e-1 \over 2(1-e)}\right]}}$$ $${\displaystyle \varepsilon =-{\mu \over 2a}}$$

Для параболической орбиты это уравнение упрощается до $${\displaystyle \varepsilon =0.}$$

Для гиперболической траектории эта удельная орбитальная энергия определяется как $${\displaystyle \varepsilon ={\mu \over 2a}.}$$

или то же самое, что и для эллипса, в зависимости от соглашения о знаке a .

В этом случае удельная орбитальная энергия также называется характеристической энергией (или ) и равна избыточной удельной энергии по сравнению с таковой для параболической орбиты. ${\displaystyle C_{3}}$

Она связана с гиперболической избыточной скоростью ( орбитальной скоростью на бесконечности) соотношением ${\displaystyle v_{\infty }}$ $${\displaystyle 2\varepsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}.}$$

Это актуально для межпланетных миссий.

Таким образом, если вектор орбитального положения ( ) и вектор орбитальной скорости ( ) известны в одном положении, и известно, то можно вычислить энергию и из нее для любого другого положения — орбитальную скорость. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mu }$

Скорость изменения

Для эллиптической орбиты скорость изменения удельной орбитальной энергии по отношению к изменению большой полуоси равна где $${\displaystyle {\frac {\mu }{2a^{2}}}}$$

• ${\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})}$— стандартный гравитационный параметр ;
• ${\displaystyle a\,\!}$большая полуось орбиты .

В случае круговых орбит эта скорость составляет половину гравитации на орбите. Это соответствует тому факту, что для таких орбит полная энергия составляет половину потенциальной энергии, поскольку кинетическая энергия составляет минус половину потенциальной энергии.

Дополнительная энергия

Если центральное тело имеет радиус R , то дополнительная удельная энергия эллиптической орбиты по сравнению с неподвижностью на поверхности равна

$${\displaystyle -{\frac {\mu }{2a}}+{\frac {\mu }{R}}={\frac {\mu (2a-R)}{2aR}}}$$

Величина равна высоте, на которую эллипс выступает над поверхностью, плюс перицентрическое расстояние (расстояние, на которое эллипс выступает за центр Земли). Для Земли и чуть больше, чем дополнительная удельная энергия равна ; которая является кинетической энергией горизонтальной составляющей скорости, т. е . , . ${\displaystyle 2a-R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (gR/2)}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}V^{2}={\frac {1}{2}}gR}$ ${\displaystyle V={\sqrt {gR}}}$

Примеры

МКС

Период обращения Международной космической станции составляет 91,74 минуты (5504 секунды), следовательно, согласно Третьему закону Кеплера, большая полуось ее орбиты составляет 6738 км. ^{[ необходима цитата ]}  

Удельная орбитальная энергия, связанная с этой орбитой, составляет −29,6  МДж/кг: потенциальная энергия составляет −59,2  МДж/кг, а кинетическая энергия 29,6  МДж/кг. По сравнению с потенциальной энергией на поверхности, которая составляет −62,6  МДж/кг, дополнительная потенциальная энергия составляет 3,4  МДж/кг, а общая дополнительная энергия составляет 33,0  МДж/кг. Средняя скорость составляет 7,7  км/с, чистая дельта-v для достижения этой орбиты составляет 8,1  км/с (фактическая дельта-v обычно на 1,5–2,0  км/с больше из-за атмосферного сопротивления и гравитационного сопротивления ).

Увеличение на метр составит 4,4  Дж/кг; эта скорость соответствует половине местной силы тяжести 8,8  м/ ^с2 .

Для высоты 100  км (радиус 6471  км):

Энергия составляет −30,8  МДж/кг: потенциальная энергия составляет −61,6  МДж/кг, а кинетическая энергия 30,8  МДж/кг. Сравните с потенциальной энергией на поверхности, которая составляет −62,6  МДж/кг. Дополнительная потенциальная энергия составляет 1,0  МДж/кг, общая дополнительная энергия составляет 31,8  МДж/кг.

Увеличение на метр составит 4,8  Дж/кг; эта скорость соответствует половине локальной гравитации 9,5  м/с ² . Скорость составляет 7,8  км/с, чистая дельта-v для достижения этой орбиты составляет 8,0  км/с.

Принимая во внимание вращение Земли, дельта-v может быть  меньше на 0,46 км/с (если двигаться от экватора на восток) или больше (если двигаться на запад).

Вояджер 1

Для Вояджера 1 относительно Солнца:

• ${\displaystyle \mu =GM}$= 132 712 440 018 км ³ ⋅с ⁻² — стандартный гравитационный параметр Солнца
• r = 17 миллиардов километров
• v = 17,1 км/с

Следовательно: $${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{k}+\varepsilon _{p}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=\mathrm {146\,km^{2}s^{-2}} -\mathrm {8\,km^{2}s^{-2}} =\mathrm {138\,km^{2}s^{-2}} }$$

Таким образом, гиперболическая избыточная скорость (теоретическая орбитальная скорость на бесконечности) определяется выражением $${\displaystyle v_{\infty }=\mathrm {16.6\,km/s} }$$

Однако Voyager 1 не имеет достаточной скорости, чтобы покинуть Млечный Путь . Вычисленная скорость применима вдали от Солнца, но в таком положении, когда потенциальная энергия по отношению к Млечному Пути в целом изменилась незначительно, и только если нет сильного взаимодействия с другими небесными телами, кроме Солнца.

Применение тяги

Предполагать:

• a — ускорение, вызванное тягой (скорость времени, с которой тратится дельта-v )
• g — напряженность гравитационного поля
• v — скорость ракеты

Тогда скорость изменения удельной энергии ракеты во времени равна : величине кинетической энергии и величине потенциальной энергии. ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot (\mathbf {a} -\mathbf {g} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {g} }$

Изменение удельной энергии ракеты на единицу изменения дельта-v равно | v |, умноженному на косинус угла между v и a . $${\displaystyle {\frac {\mathbf {v\cdot a} }{|\mathbf {a} |}}}$$

Таким образом, при применении delta-v для увеличения удельной орбитальной энергии это делается наиболее эффективно, если a применяется в направлении v , и когда | v | велико. Если угол между v и g тупой, например, при запуске и при переходе на более высокую орбиту, это означает применение delta-v как можно раньше и на полную мощность. См. также гравитационное сопротивление . При прохождении мимо небесного тела это означает применение тяги при нахождении ближе всего к телу. При постепенном увеличении эллиптической орбиты это означает применение тяги каждый раз, когда приближается к перицентру.

При применении delta-v для уменьшения удельной орбитальной энергии это делается наиболее эффективно, если a применяется в направлении, противоположном направлению v , и снова, когда | v | велико. Если угол между v и g острый, например, при посадке (на небесное тело без атмосферы) и при переходе на круговую орбиту вокруг небесного тела при прибытии извне, это означает применение delta-v как можно позже. При прохождении мимо планеты это означает применение тяги при нахождении ближе всего к планете. При постепенном уменьшении эллиптической орбиты это означает применение тяги каждый раз, когда она находится вблизи перицентра.

Если a находится в направлении v : $${\displaystyle \Delta \varepsilon =\int v\,d(\Delta v)=\int v\,adt}$$

Тангенциальные скорости на высоте

Нижняя ось показывает орбитальные скорости некоторых орбит.

Смотрите также

• Удельное изменение энергии ракет
• Характерная энергия C3 (удвоенная удельная орбитальная энергия)

Ссылки

1. "Удельная энергия". Marspedia . Получено 2022-08-12 .
2. Wie, Bong (1998). "Орбитальная динамика" . Динамика и управление космическими аппаратами . Образовательная серия AIAA. Рестон, Вирджиния: Американский институт аэронавтики и астронавтики . стр. 220. ISBN 1-56347-261-9.