Ссылка (теория узлов)

Совокупность узлов, которые не пересекаются, но могут быть связаны.

Кольца Борромео — связь с тремя компонентами, каждая из которых эквивалентна узлу.

В математической теории узлов связь — это совокупность узлов , которые не пересекаются, но могут быть связаны (или завязаны) вместе. Узел можно описать как связь с одним компонентом. Связи и узлы изучаются в разделе математики, называемом теорией узлов . В этом определении подразумевается, что существует тривиальная ссылочная ссылка, обычно называемая unlink , но это слово также иногда используется в контексте, где нет понятия тривиальной ссылки.

Звено Хопфа, перетянутое скрученным кольцом .

Например, связь коразмерности 2 в 3-мерном пространстве — это подпространство 3-мерного евклидова пространства (или часто 3 -сферы ), компоненты связности которого гомеоморфны окружностям .

Самый простой нетривиальный пример связи с более чем одним компонентом называется ссылкой Хопфа , которая состоит из двух кругов (или развязок ), соединенных один раз. Круги в кольцах Борромео связаны между собой, несмотря на то, что никакие два из них не связаны напрямую. Таким образом, кольца Борромео образуют брунновское зацепление и фактически представляют собой простейшее такое зацепление.

Узел-трилистник, связанный с кругом.

Ссылка Хопфа кобордантна ссылке unlink .​

(2,8) звено тора

Обобщения

Понятие ссылки можно обобщить несколькими способами.

Общие коллекторы

Часто слово « ссылка» используется для описания любого подмногообразия сферы, диффеоморфного дизъюнктному объединению конечного числа сфер , . ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle S^{j}}$

В полной общности слово « ссылка» по существу то же самое, что слово «узел» — контекст таков, что имеется подмногообразие M многообразия N (считающееся тривиально вложенным) и нетривиальное вложение M в N , нетривиальное вложение M в N. в том смысле, что 2-е вложение не изотопно 1-му. Если M отключен, вложение называется ссылкой (или называется связанной ) . Если M связен, он называется узлом.

Клубки, звенья и косы

Хотя (1-мерные) связи определяются как вложения кругов, часто интересно и особенно технически полезно рассматривать вложенные интервалы (нити), как в теории кос .

В общем случае можно рассматривать клубок ^{[1] ​​[2]} – клубок – это вложение

${\displaystyle T\colon X\to \mathbf {R} ^{2}\times I}$

(гладкого) компактного 1-многообразия с границей в плоскости, умноженной на интервал, такого, что граница вложена в ${\displaystyle (X,\partial X)}$ ${\displaystyle I=[0,1],}$ ${\displaystyle T(\partial X)}$

${\displaystyle \mathbf {R} \times \{0,1\}}$( ). ${\displaystyle \{0,1\}=\partial I}$

Типом клубка является многообразие X вместе с фиксированным вложением ${\displaystyle \partial X.}$

Конкретно, связное компактное 1-многообразие с краем представляет собой интервал или круг (компактность исключает открытый интервал и полуоткрытый интервал, ни один из которых не дает нетривиальных вложений, поскольку открытый конец означает, что их можно сжать до точки ), поэтому возможно несвязное компактное 1-многообразие представляет собой набор из n интервалов и m окружностей. Условие того, что граница X лежит в ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle [0,1),}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle S^{1}.}$

${\displaystyle \mathbf {R} \times \{0,1\}}$

говорит, что интервалы либо соединяют две прямые, либо соединяют две точки на одной из прямых, но не накладывает никаких условий на окружности. Можно рассматривать клубки как имеющие вертикальное направление ( I ), лежащие между двумя линиями и, возможно, соединяющие их.

( и ), ${\displaystyle \mathbf {R} \times 0}$ ${\displaystyle \mathbf {R} \times 1}$

а затем иметь возможность двигаться в двумерном горизонтальном направлении ( ) ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$

между этими линиями; их можно спроецировать в виде диаграммы клубка , аналогичной диаграмме узла .

К клубкам относятся звенья (если X состоит только из кругов), косички и другие, кроме них — например, прядь, соединяющая две линии вместе, и связанный вокруг нее круг.

В этом контексте коса определяется как клубок, который всегда идет вниз, производная которого всегда имеет ненулевой компонент в вертикальном ( I ) направлении. В частности, оно должно состоять исключительно из интервалов, а не дублировать себя; однако не указано, где на линии лежат концы.

Строковая ссылкапредставляет собой клубок, состоящий только из интервалов, концы каждой нити которого должны лежать в точках (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2). , 1), ... – т. е. соединяющие целые числа и заканчивающиеся в том же порядке, в котором они начинались (можно использовать любой другой фиксированный набор точек); если это имеет ℓ компонентов, мы называем это « строковой ссылкой ℓ -компонента». Звено веревки не обязательно должно быть косой — оно может загибаться назад, как, например, двухкомпонентное звено веревки с узлом сверху . Коса, которая также является строковой связью, называется чистой косой и соответствует обычному такому понятию.

Основная техническая ценность клубков и струнных связей заключается в том, что они имеют алгебраическую структуру. Изотопические классы клубков образуют тензорную категорию , где для структуры категории можно составить два клубка, если нижний конец одного равен верхнему концу другого (поэтому границы можно сшить), складывая их друг на друга — они не буквально образуют категорию (поточечно), потому что тождества нет, поскольку даже тривиальный клубок занимает вертикальное пространство, но с точностью до изотопии занимает. Тензорная структура задается сопоставлением клубков — размещением одного клубка справа от другого.

Для фиксированного ℓ классы изотопии ℓ -компонентных строковых ссылок образуют моноид (можно составить все ℓ -компонентные строковые ссылки, и существует тождество), но не группу, поскольку изотопические классы строковых ссылок не обязательно должны иметь обратные. Однако классы согласования (а, следовательно, и гомотопические классы) строковых ссылок имеют обратные, где инверсия задается путем переворачивания строковой ссылки вверх ногами и, таким образом, образует группу.

Каждую ссылку можно разрезать на части, чтобы сформировать строковую ссылку, хотя она не уникальна, и инварианты ссылок иногда можно понимать как инварианты строковых ссылок - например, это относится к инвариантам Милнора . Сравните с закрытыми косами .

Смотрите также

• Гиперболическая ссылка
• Отсоединить
• Группа ссылок

Рекомендации

1. Хабеггер, Натан; Лин, XS (1990), «Классификация связей с точностью до гомотопии», Журнал Американского математического общества , 2, 3 (2), Американское математическое общество: 389–419, doi : 10.2307/1990959 , JSTOR  1990959
2. Хабеггер, Натан; Масбаум, Грегор (2000), «Интеграл Концевича и инварианты Милнора», Topology , 39 (6): 1253–1289, CiteSeerX 10.1.1.31.6675 , doi : 10.1016/S0040-9383(99)00041-5