В математике умеренное представление линейной полупростой группы Ли — это представление , имеющее базис, матричные коэффициенты которого лежат в пространстве L p
для любого ε > 0.
Это условие, как только что дано, немного слабее, чем условие, что матричные коэффициенты являются квадратично интегрируемыми , другими словами, лежат в
что было бы определением представления дискретной серии . Если G — линейная полупростая группа Ли с максимальной компактной подгруппой K , допустимое представление ρ группы G смягчается, если указанное выше условие выполняется для K -конечных матричных коэффициентов ρ.
Определение выше также используется для более общих групп, таких как p -адические группы Ли и конечные центральные расширения полупростых вещественных алгебраических групп. Определение "умеренного представления" имеет смысл для произвольных унимодулярных локально компактных групп , но на группах с бесконечными центрами, таких как бесконечные центральные расширения полупростых групп Ли, оно ведет себя не очень хорошо и обычно заменяется немного другим определением. Точнее, неприводимое представление называется умеренным, если оно унитарно при ограничении на центр Z , а абсолютные значения матричных коэффициентов находятся в L 2+ε ( G / Z ).
Умеренные представления на полупростых группах Ли были впервые определены и изучены Хариш-Чандрой (используя другое, но эквивалентное определение), который показал, что они являются именно теми представлениями, которые необходимы для теоремы Планшереля . Они были классифицированы Кнаппом и Цукерманом и использованы Ленглендсом в классификации Ленглендса неприводимых представлений редуктивной группы Ли G в терминах умеренных представлений меньших групп.
Неприводимые умеренные представления были идентифицированы Хариш-Чандрой в его работе по гармоническому анализу на полупростой группе Ли как те представления, которые вносят вклад в меру Планшереля . Первоначальное определение умеренного представления, которое имеет определенные технические преимущества, состоит в том, что его характер Хариш-Чандры должен быть «умеренным распределением» (см. раздел об этом ниже). Из результатов Хариш-Чандры следует, что это эквивалентно более элементарному определению, данному выше. Умеренные представления также, по-видимому, играют фундаментальную роль в теории автоморфных форм . Эта связь, вероятно, была впервые осознана Сатаке (в контексте гипотезы Рамануджана-Петерссона ) и Робертом Ленглендсом и послужила мотивацией для Ленглендса разработать свою схему классификации неприводимых допустимых представлений действительных и p -адических редуктивных алгебраических групп в терминах умеренных представлений меньших групп. Точные предположения, определяющие место темперированных представлений в автоморфном спектре, были сформулированы позднее Джеймсом Артуром и составляют одну из наиболее активно развивающихся частей современной теории автоморфных форм.
Темперированные представления играют важную роль в гармоническом анализе полупростых групп Ли . Неприводимое унитарное представление полупростой группы Ли G является темперированным тогда и только тогда, когда оно находится в носителе меры Планшереля группы G. Другими словами, темперированные представления — это в точности класс представлений группы G, появляющихся в спектральном разложении функций L2 на группе (в то время как дискретные рядовые представления обладают более сильным свойством, заключающимся в том, что индивидуальное представление имеет положительную спектральную меру). Это контрастирует с ситуацией для абелевых и более общих разрешимых групп Ли, где для полного учета спектрального разложения требуется другой класс представлений. Это можно увидеть уже в простейшем примере аддитивной группы R действительных чисел, для которой матричные элементы неприводимых представлений не убывают до 0 на бесконечности.
В программе Ленглендса умеренные представления действительных групп Ли — это те, которые получаются из унитарных характеров торов по функториальности Ленглендса.
Неприводимые темперированные представления полупростой группы Ли были классифицированы Кнаппом и Цукерманом (1976, 1982). Фактически они классифицировали более общий класс представлений, называемых базовыми представлениями . Если P=MAN — разложение Ленглендса параболической подгруппы с каспидальной точкой, то базовое представление определяется как параболически индуцированное представление, связанное с пределом дискретного представления серии M и унитарным представлением абелевой группы A. Если предел дискретного представления серии на самом деле является дискретным представлением серии, то базовое представление называется индуцированным дискретным представлением серии . Любое неприводимое темперированное представление является базовым представлением, и наоборот, любое базовое представление является суммой конечного числа неприводимых темперированных представлений. Точнее, это прямая сумма 2 r неприводимых темперированных представлений, индексированных характерами элементарной абелевой группы R порядка 2 r (называемой R-группой ). Любое базисное представление, а следовательно, и любое неприводимое темперированное представление, является слагаемым индуцированного дискретного серийного представления. Однако не всегда возможно представить неприводимое темперированное представление как индуцированное дискретное серийное представление, поэтому рассматривается более общий класс базисных представлений.
Таким образом, неприводимые темперированные представления являются просто неприводимыми базовыми представлениями и могут быть классифицированы путем перечисления всех базовых представлений и выбора тех, которые являются неприводимыми, другими словами, тех, которые имеют тривиальную R-группу.
Зафиксируем полупростую группу Ли G с максимальной компактной подгруппой K. Хариш-Чандра (1966, раздел 9) определил распределение на G как смягченное , если оно определено на пространстве Шварца группы G. Пространство Шварца, в свою очередь, определяется как пространство гладких функций f на G , таких, что для любого действительного r и любой функции g, полученной из f путем действия слева или справа элементов универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли группы G , функция
ограничено. Здесь Ξ — некоторая сферическая функция на G , инвариантная относительно левого и правого умножения на K , а σ — норма логарифма p , где элемент g из G записывается как: g = kp для k из K и p из P.
