В статистической механике универсальность — это наблюдение, что существуют свойства для большого класса систем, которые не зависят от динамических деталей системы. Системы демонстрируют универсальность в пределе масштабирования, когда большое количество взаимодействующих частей сходится вместе. Современное значение термина было введено Лео Кадановым в 1960-х годах, [ требуется цитата ] но более простая версия концепции уже подразумевалась в уравнении Ван-дер-Ваальса и в более ранней теории фазовых переходов Ландау , которая не включала масштабирование правильно. [ требуется цитата ]
Термин постепенно находит более широкое применение в различных областях математики, включая комбинаторику и теорию вероятностей , когда количественные характеристики структуры (например, асимптотическое поведение) могут быть выведены из нескольких глобальных параметров, фигурирующих в определении, без необходимости знания деталей системы.
Группа перенормировки дает интуитивно привлекательное, хотя и математически нестрогое, объяснение универсальности. Она классифицирует операторы в статистической теории поля на релевантные и нерелевантные. Релевантные операторы — это те, которые отвечают за возмущения свободной энергии, мнимого временного лагранжиана, которые будут влиять на предел континуума и могут быть видны на больших расстояниях. Нерелевантные операторы — это те, которые изменяют только детали на коротких расстояниях. Набор масштабно-инвариантных статистических теорий определяет классы универсальности , а конечномерный список коэффициентов релевантных операторов параметризует околокритическое поведение.
Понятие универсальности возникло при изучении фазовых переходов в статистической механике. [ необходима цитата ] Фазовый переход происходит, когда материал меняет свои свойства резким образом: вода при нагревании закипает и превращается в пар; или магнит при нагревании теряет свой магнетизм. Фазовые переходы характеризуются параметром порядка , таким как плотность или намагниченность, который изменяется в зависимости от параметра системы, такого как температура. Особое значение параметра, при котором система меняет свою фазу, является критической точкой системы . Для систем, которые демонстрируют универсальность, чем ближе параметр к своему критическому значению , тем менее чувствительно параметр порядка зависит от деталей системы.
Если параметр β является критическим при значении β c , то параметр порядка a будет хорошо аппроксимироваться выражением [ необходима ссылка ]
Показатель α является критическим показателем системы. Замечательное открытие, сделанное во второй половине двадцатого века, состояло в том, что очень разные системы имели одинаковые критические показатели. [ необходима цитата ]
В 1975 году Митчелл Фейгенбаум открыл универсальность в итерационных отображениях. [1] [2] [3]
Универсальность получила свое название, потому что она наблюдается в большом разнообразии физических систем. Примеры универсальности включают:
Одним из важных достижений в материаловедении в 1970-х и 1980-х годах было осознание того, что статистическая теория поля, подобная квантовой теории поля, может быть использована для создания микроскопической теории универсальности. [ требуется цитирование ] Основное наблюдение состояло в том, что для всех различных систем поведение при фазовом переходе описывается полем континуума, и что одна и та же статистическая теория поля будет описывать различные системы. Масштабные показатели во всех этих системах могут быть выведены только из теории поля и известны как критические показатели .
Ключевое наблюдение заключается в том, что вблизи фазового перехода или критической точки возмущения происходят во всех масштабах размеров, и поэтому следует искать явно масштабно-инвариантную теорию для описания явлений, как, по-видимому, было впервые изложено в формальной теоретической структуре Покровским и Паташинским в 1965 году [4] . [ требуется ссылка ] Универсальность является побочным продуктом того факта, что существует относительно немного масштабно-инвариантных теорий. Для любой конкретной физической системы подробное описание может иметь много масштабно-зависимых параметров и аспектов. Однако по мере приближения к фазовому переходу масштабно-зависимые параметры играют все меньшую и меньшую роль, а масштабно-инвариантные части физического описания доминируют. Таким образом, упрощенная и часто точно решаемая модель может использоваться для аппроксимации поведения этих систем вблизи критической точки.
Перколяция может быть смоделирована случайной электрической сетью резисторов, в которой электричество течет с одной стороны сети на другую. Общее сопротивление сети, как видно, описывается средней связностью резисторов в сети. [ необходима цитата ]
Образование разрывов и трещин можно смоделировать случайной сетью электрических предохранителей . По мере увеличения электрического тока через сеть некоторые предохранители могут лопнуть, но в целом ток шунтируется вокруг проблемных участков и распределяется равномерно. Однако в определенный момент (при фазовом переходе) может произойти каскадный отказ , когда избыточный ток от одного лопнувшего предохранителя перегружает следующий предохранитель по очереди, пока обе стороны сети полностью не отсоединятся и ток больше не будет течь. [ требуется цитата ]
Для анализа таких систем случайных сетей рассматривается стохастическое пространство всех возможных сетей (то есть канонический ансамбль ) и выполняется суммирование (интеграция) по всем возможным конфигурациям сети. Как и в предыдущем обсуждении, каждая заданная случайная конфигурация понимается как взятая из пула всех конфигураций с некоторым заданным распределением вероятностей; роль температуры в распределении обычно заменяется средней связностью сети. [ необходима цитата ]
Ожидаемые значения операторов, таких как скорость потока, теплоемкость и т. д., получаются путем интегрирования по всем возможным конфигурациям. Этот акт интегрирования по всем возможным конфигурациям является точкой общности между системами в статистической механике и квантовой теории поля . В частности, язык группы перенормировки может быть применен к обсуждению моделей случайных сетей. В 1990-х и 2000-х годах были обнаружены более сильные связи между статистическими моделями и конформной теорией поля . Изучение универсальности остается важной областью исследований.
Как и другие концепции статистической механики (такие как энтропия и основные уравнения ), универсальность оказалась полезной конструкцией для характеристики распределенных систем на более высоком уровне, таких как многоагентные системы . Этот термин был применен [5] к многоагентным симуляциям, где поведение на системном уровне, демонстрируемое системой, не зависит от степени сложности отдельных агентов, будучи почти полностью обусловленным природой ограничений, регулирующих их взаимодействия. В сетевой динамике универсальность относится к тому факту, что, несмотря на разнообразие нелинейных динамических моделей, которые различаются во многих деталях, наблюдаемое поведение многих различных систем придерживается набора универсальных законов. Эти законы не зависят от конкретных деталей каждой системы. [6]
