Унипотентный

В математике унипотентным элементом [ ^1] r кольца R называется такой элемент , что r  − 1 является нильпотентным элементом ; другими словами, ( r  − 1) ⁿ равно нулю для некоторого n .

В частности, квадратная матрица M является унипотентной матрицей тогда и только тогда, когда ее характеристический многочлен P ( t ) является степенью t  − 1. Таким образом, все собственные значения унипотентной матрицы равны 1.

Термин квазиунипотентный означает, что некоторая мощность является унипотентной, например, для диагонализуемой матрицы с собственными значениями, все из которых являются корнями из единицы .

В теории алгебраических групп элемент группы является унипотентным , если он действует унипотентно в некотором естественном представлении группы . Унипотентная аффинная алгебраическая группа — это группа, все элементы которой унипотентны.

Определение

Определение с помощью матриц

Рассмотрим группу верхнетреугольных матриц с ' по диагонали, так что они являются группой матриц ^[2] ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\right\}.}$

Тогда унипотентная группа может быть определена как подгруппа некоторой . Используя теорию схем, группа может быть определена как групповая схема ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \!\left[x_{11},x_{12},\ldots ,x_{nn},{\frac {1}{\text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)}$

и аффинная групповая схема является унипотентной, если она является замкнутой групповой схемой этой схемы.

Определение с помощью теории колец

Элемент x аффинной алгебраической группы унипотентен, если его связанный с ним правый оператор сдвига r _x на аффинном координатном кольце A [ G ] группы G локально унипотентен как элемент кольца линейных эндоморфизмов A [ G ] . (Локально унипотентен означает, что его ограничение на любое конечномерное устойчивое подпространство A [ G ] унипотентен в обычном кольцевом теоретико-последовательном смысле.)

Аффинная алгебраическая группа называется унипотентной, если все ее элементы унипотентны. Любая унипотентная алгебраическая группа изоморфна замкнутой подгруппе группы верхнетреугольных матриц с диагональными элементами 1, и наоборот, любая такая подгруппа унипотентна. В частности, любая унипотентная группа является нильпотентной группой , хотя обратное неверно (контрпример: диагональные матрицы GL _n ( k )).

Например, стандартное представление на со стандартным базисом имеет фиксированный вектор . ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle e_{1}}$

Определение с помощью теории представлений

Если унипотентная группа действует на аффинном многообразии , все ее орбиты замкнуты, а если она действует линейно на конечномерном векторном пространстве , то она имеет ненулевой фиксированный вектор. Фактически, последнее свойство характеризует унипотентные группы. ^[2] В частности, это означает, что не существует нетривиальных полупростых представлений .

Примеры

Ун

Конечно, группа матриц унипотентна. Используя нижний центральный ряд ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e}$

где

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}]}$и ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]}$

есть ассоциированные унипотентные группы. Например, на , центральные ряды являются матричными группами ${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle \mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$, , , и ${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(1)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&0&*\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(2)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&*\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(3)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

приведены некоторые индуцированные примеры унипотентных групп.

Ган

Аддитивная группа является унипотентной группой благодаря вложению ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

${\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$

Обратите внимание, что умножение матриц дает

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&a+b\\0&1\end{bmatrix}}}$

следовательно, это групповое вложение. В более общем смысле, есть вложение из карты ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}^{n}\to \mathbb {U} _{n+1}}$

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\,\mapsto {\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}}$

Используя теорию схем, задается функтором ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}:{\textbf {Sch}}^{op}\to {\textbf {Sets}}}$

где

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X)}$

Ядро Фробениуса

Рассмотрим функтор на подкатегории , есть подфунктор где ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Sch}}/\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \alpha _{p}(X)=\{x\in {\mathcal {O}}(X):x^{p}=0\}}$

поэтому он задается ядром эндоморфизма Фробениуса .

Классификация унипотентных групп по характеристике 0

Над характеристикой 0 существует хорошая классификация унипотентных алгебраических групп относительно нильпотентных алгебр Ли . Напомним, что нильпотентная алгебра Ли является подалгеброй некоторой такой, что итеративное сопряженное действие в конечном итоге заканчивается на нулевом отображении. В терминах матриц это означает, что это подалгебра , матрицы с для . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{n}}$ ${\displaystyle a_{ij}=0}$ ${\displaystyle i\leq j}$

Тогда существует эквивалентность категорий конечномерных нильпотентных алгебр Ли и унипотентных алгебраических групп. ^{[2] стр. 261} Это можно построить с помощью ряда Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа , где для заданной конечномерной нильпотентной алгебры Ли отображение ${\displaystyle H(X,Y)}$

${\displaystyle H:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}{\text{ where }}(X,Y)\mapsto H(X,Y)}$

дает структуру унипотентной алгебраической группы на . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

В обратном направлении экспоненциальное отображение переводит любую нильпотентную квадратную матрицу в унипотентную матрицу. Более того, если U — коммутативная унипотентная группа, экспоненциальное отображение индуцирует изоморфизм из алгебры Ли U в саму U.

Замечания

Унипотентные группы над алгебраически замкнутым полем любой заданной размерности в принципе могут быть классифицированы, но на практике сложность классификации очень быстро возрастает с размерностью, поэтому люди ^{[ кто? ]} склонны сдаваться где-то около размерности 6.

Унипотентный радикал

Унипотентный радикал алгебраической группы G — это множество унипотентных элементов в радикале группы G. Это связная унипотентная нормальная подгруппа группы G , содержащая все другие такие подгруппы. Группа называется редуктивной, если ее унипотентный радикал тривиален. Если G редуктивна, то ее радикал — тор.

Разложение алгебраических групп

Алгебраические группы можно разложить на унипотентные группы, мультипликативные группы и абелевы многообразия , но утверждение о том, как они разлагаются, зависит от характеристики их базового поля .

Характеристика 0

Над характеристикой 0 существует хорошая теорема разложения алгебраической группы, связывающая ее структуру со структурой линейной алгебраической группы и абелева многообразия . Существует короткая точная последовательность групп ^{[3] страница 8} ${\displaystyle G}$

${\displaystyle 0\to M\times U\to G\to A\to 0}$

где — абелево многообразие, имеет мультипликативный тип (то есть , геометрически, является произведением торов и алгебраических групп вида ) и является унипотентной группой. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle U}$

Характеристикап

Когда характеристика базового поля равна p, то для алгебраической группы имеет место аналогичное утверждение ^[3] : существует наименьшая подгруппа такая, что ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

1. ${\displaystyle G/H}$является унипотентной группой
2. ${\displaystyle H}$является расширением абелева многообразия с помощью группы мультипликативного типа. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$
3. ${\displaystyle M}$единственен с точностью до соизмеримости в и единственен с точностью до изогении . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$

разложение Жордана

Любой элемент g линейной алгебраической группы над совершенным полем может быть записан единственным образом как произведение g = g _u   g _s коммутирующих унипотентных и полупростых элементов g _u и g _s . В случае группы GL _n ( C ) это по сути означает, что любая обратимая комплексная матрица сопряжена произведению диагональной матрицы и верхней треугольной матрицы, что является (более или менее) мультипликативной версией разложения Жордана–Шевалле .

Существует также версия разложения Жордана для групп: любая коммутативная линейная алгебраическая группа над совершенным полем является произведением унипотентной группы и полупростой группы.

Смотрите также

• Редукционная группа
• Унипотентное представление
• Теория Делиня–Люстига

Ссылки

1. "Унипотентный элемент - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 2024-09-23 .
2. Milne, JS Linear Algebraic Groups (PDF) . стр. 252–253, Унипотентные алгебраические группы.
3. Brion, Michel (2016-09-27). "Коммутативные алгебраические группы с точностью до изогении". arXiv : 1602.00222 [math.AG].

• А. Борель, Линейные алгебраические группы , ISBN 0-387-97370-2 
• Борель, Арманд (1956), «Линейные алгебраические группы», Анналы математики , вторая серия, 64 (1), Анналы математики: 20–82, номер документа : 10.2307/1969949, JSTOR  1969949
• Попов, В.Л. (2001) [1994], "унипотентный элемент", Энциклопедия математики , EMS Press
• Попов, В.Л. (2001) [1994], "унипотентная группа", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Супруненко, Д.А. (2001) [1994], "унипотентная матрица", Энциклопедия математики , Издательство EMS