Унитарность (физика)

Требование, чтобы операторы эволюции во времени квантовых состояний были унитарными преобразованиями.

В квантовой физике унитарность — это (или унитарный процесс ) условие, при котором временная эволюция квантового состояния согласно уравнению Шрёдингера математически представляется унитарным оператором . Обычно это воспринимается как аксиома или основной постулат квантовой механики, в то время как обобщения унитарности или отклонения от нее являются частью рассуждений о теориях, которые могут выходить за рамки квантовой механики. ^[1] Границей унитарности является любое неравенство, которое следует из унитарности оператора эволюции , т.е. из утверждения, что временная эволюция сохраняет скалярные произведения в гильбертовом пространстве .

Гамильтонова эволюция

Эволюция во времени, описываемая независимым от времени гамильтонианом , представлена ​​однопараметрическим семейством унитарных операторов , для которых гамильтониан является генератором: . В картине Шрёдингера предполагается, что унитарные операторы воздействуют на квантовое состояние системы, тогда как в картине Гейзенберга вместо этого в наблюдаемые включается временная зависимость . ^[2] ${\displaystyle U(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$

Влияние унитарности на результаты измерений

В квантовой механике каждое состояние описывается как вектор в гильбертовом пространстве . Когда выполняется измерение, это пространство удобно описывать с помощью векторного базиса , в котором каждый базисный вектор имеет определенный результат измерения – например, векторный базис с определенным импульсом в случае измерения импульса. В этом базисе оператор измерения является диагональным. ^[3]

Вероятность получения конкретного измеренного результата зависит от амплитуды вероятности, определяемой скалярным произведением физического состояния с базисными векторами , которые диагонализуют оператор измерения. Для физического состояния, которое измеряется после его развития во времени, амплитуда вероятности может быть описана либо внутренним произведением физического состояния после временной эволюции с соответствующими базисными векторами, либо, что то же самое, внутренним произведением физического состояния с базисные векторы, которые развиваются назад во времени. Используя оператор временной эволюции , мы имеем: ^[4] ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\psi \right.\right\rangle =\left\langle \left.e^{-i{\hat {H}}(-t)/\hbar }\phi _{i}\right|\psi \right\rangle }$

Но по определению эрмитова сопряжения это также:

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\psi \right.\right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}\left(e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\right)^{\dagger }\right|\psi \right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}e^{-i{\hat {H}}^{\dagger }(-t)/\hbar }\right|\psi \right\rangle }$

Поскольку эти равенства верны для каждых двух векторов, получаем

${\displaystyle {\hat {H}}^{\dagger }={\hat {H}}}$

Это означает, что гамильтониан эрмитов , а оператор эволюции во времени унитарен . ${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$

Поскольку по правилу Борна норма определяет вероятность получения определенного результата при измерении, унитарность вместе с правилом Борна гарантирует, что сумма вероятностей всегда равна единице. Более того, унитарность вместе с правилом Борна подразумевает, что операторы измерения в картине Гейзенберга действительно описывают, как результаты измерений должны меняться во времени.

Влияние на форму гамильтониана

То, что оператор временной эволюции унитарен, эквивалентно тому, что гамильтониан является эрмитовым . Эквивалентно это означает, что возможные измеренные энергии, которые являются собственными значениями гамильтониана, всегда являются действительными числами.

Амплитуда рассеяния и оптическая теорема

S-матрица используется для описания того, как физическая система изменяется в процессе рассеяния. Фактически он равен оператору временной эволюции в течение очень длительного времени (приближающемуся к бесконечности), действующему на импульсные состояния частиц (или связанного комплекса частиц) на бесконечности. Таким образом, он также должен быть унитарным оператором; расчет, дающий неунитарную S-матрицу, часто подразумевает, что связанное состояние было упущено из виду.

Оптическая теорема

Унитарность S-матрицы предполагает, помимо прочего, оптическую теорему . Это можно увидеть следующим образом: ^[5]

S-матрицу можно записать как:

${\displaystyle S=1+iT}$

где – часть S-матрицы, обусловленная взаимодействиями; например , просто подразумевается, что S-матрица равна 1, взаимодействия не происходит и все состояния остаются неизменными. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=0}$

Унитарность S-матрицы:

${\displaystyle S^{\dagger }S=1}$

тогда эквивалентно:

${\displaystyle -i\left(T-T^{\dagger }\right)=T^{\dagger }T}$

Левая часть в два раза больше мнимой части S-матрицы. Чтобы увидеть, что такое правая часть, давайте посмотрим на любой конкретный элемент этой матрицы, например, между некоторым начальным состоянием и конечным состоянием , каждое из которых может включать в себя множество частиц. Тогда матричный элемент: ${\displaystyle |I\rangle }$ ${\displaystyle \langle F|}$

${\displaystyle \left\langle F\left|T^{\dagger }T\right|I\right\rangle =\sum _{i}\left\langle F|T^{\dagger }|A_{i}\right\rangle \left\langle A_{i}|T|I\right\rangle }$

где {A _i } — множество возможных состояний на оболочке, т.е. состояния импульса частиц (или связанного комплекса частиц) на бесконечности.

Таким образом, удвоенная мнимая часть S-матрицы равна сумме, представляющей собой произведения вкладов всех рассеяний начального состояния S-матрицы в любое другое физическое состояние на бесконечности с рассеяниями последнего в конечное состояние S-матрицы. Поскольку мнимая часть S-матрицы может быть рассчитана по виртуальным частицам , появляющимся в промежуточных состояниях диаграмм Фейнмана , отсюда следует, что эти виртуальные частицы должны состоять только из реальных частиц, которые также могут выступать в качестве конечных состояний. Математический аппарат, который используется для обеспечения этого, включает калибровочную симметрию , а иногда и призраки Фаддеева – Попова .

Границы унитарности

Согласно оптической теореме амплитуда вероятности M (= iT) для любого процесса рассеяния должна подчиняться

${\displaystyle |M|^{2}=2\operatorname {Im} (M)}$

Подобные границы унитарности подразумевают, что амплитуды и сечение не могут слишком сильно увеличиваться с энергией или должны уменьшаться так быстро, как по определенной формуле ^{[ которая? ]} диктует. Например, граница Фруассара говорит, что полное сечение рассеяния двух частиц ограничено , где – константа, а – квадрат энергии центра масс. (См. переменные Мандельштама ) ${\displaystyle c\ln ^{2}s}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle s}$

Смотрите также

• Антиунитарный оператор
• правило Борна
• Аксиомы вероятности
• Квантовый канал
• Теорема Стоуна об однопараметрических унитарных группах
• Теорема Вигнера

Рекомендации

1. Уэллетт, Дженнифер . «Алиса и Боб встречают стену огня». Журнал Кванта . Проверено 15 июня 2023 г.
2. «Лекция 5: Эволюция во времени» (PDF) . 22.51. Квантовая теория радиационных взаимодействий . MIT OpenCourseWare . Проверено 21 августа 2019 г.
3. Коэн-Таннуджи, К., Диу, Б., Лало, Ф., и Дуи, Б. (2006). Квантовая механика (2 т. комплект).
4. Париж, MG (2012). Современные инструменты квантовой механики. Специальные темы Европейского физического журнала, 203 (1), 61–86.
5. Пескин, М. (2018). Введение в квантовую теорию поля , Гл. 7.3. ЦРК Пресс.