Унитарный делитель

Определенный тип делителя целого числа

В математике натуральное число a является унитарным делителем (или делителем Холла ) числа b, если a является делителем b и если a и являются взаимно простыми и не имеют общих множителей, кроме 1. Эквивалентно, делитель a числа b является унитарным делителем тогда и только тогда, когда каждый простой множитель a имеет ту же кратность в a, что и в b . ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$

Концепция унитарного делителя берет свое начало от Р. Вайдьянатхасвами (1931), ^[1], который использовал термин «блочный делитель» .

Пример

Число 5 является унитарным делителем числа 60, поскольку 5 и имеют только 1 в качестве общего множителя. ${\displaystyle {\frac {60}{5}}=12}$

Напротив, 6 является делителем, но не унитарным делителем числа 60, так как 6 и имеют общий множитель, отличный от 1, а именно 2. ${\displaystyle {\frac {60}{6}}=10}$

Сумма единичных делителей

Функция суммы унитарных делителей обозначается строчной греческой буквой сигма, то есть: σ*( n ). Сумма k -х степеней унитарных делителей обозначается как σ* _k ( n ):

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

Это мультипликативная функция . Если собственные единичные делители данного числа в сумме дают это число, то это число называется унитарным совершенным числом .

Характеристики

Число 1 является унитарным делителем каждого натурального числа.

Число унитарных делителей числа n равно 2 ^k , где k — число различных простых множителей числа n . Это происходит потому, что каждое целое число N > 1 является произведением положительных степеней p ^{r _p} различных простых чисел p . Таким образом, каждый унитарный делитель числа N является произведением, над заданным подмножеством S простых делителей { p } числа N , простых степеней p ^{r _p} для p ∈ S . Если имеется k простых множителей, то имеется ровно 2 ^k подмножеств S , и утверждение следует.

Сумма унитарных делителей числа n нечетна , если n является степенью числа 2 (включая 1), и четна в противном случае.

Как количество, так и сумма унитарных делителей n являются мультипликативными функциями n , которые не являются полностью мультипликативными . Производящая функция Дирихле — это

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s-k)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{*}(n)}{n^{s}}}.}$

Каждый делитель числа n является унитарным тогда и только тогда, когда n не содержит квадратов .

Множество всех унитарных делителей n образует булеву алгебру , где meet задается наибольшим общим делителем , а join — наименьшим общим кратным . Эквивалентно, множество унитарных делителей n образует булево кольцо, где сложение и умножение задаются как

${\displaystyle a\oplus b={\frac {ab}{(a,b)^{2}}},\qquad a\odot b=(a,b)}$

где обозначает наибольший общий делитель a и b . ^[2] ${\displaystyle (a,b)}$

Нечетные унитарные делители

Сумма k -х степеней нечетных унитарных делителей равна

${\displaystyle \sigma _{k}^{(o)*}(n)=\sum _{{d\,\mid \,n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}} \atop \gcd(d,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

Он также является мультипликативным, с производящей функцией Дирихле

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta (2s-k)(1-2^{k-2s})}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{(o)*}(n)}{n^{s}}}.}$

Биунитарные делители

Делитель d числа n является двуунитарным делителем , если наибольший общий унитарный делитель d и n / d равен 1. Эта концепция берет свое начало от Д. Сурьянараяны (1972). [Число двуунитарных делителей целого числа, в Теория арифметических функций, Lecture Notes in Mathematics 251: 273–282, New York, Springer–Verlag].

Число двуединичных делителей числа n является мультипликативной функцией числа n со средним порядком , где ^[3] ${\displaystyle A\log x}$

${\displaystyle A=\prod _{p}\left({1-{\frac {p-1}{p^{2}(p+1)}}}\right)\ .}$

Биунитарное совершенное число — это число, равное сумме своих биунитарных аликвотных делителей. Единственными такими числами являются 6, 60 и 90. ^[4]

ОЭИСпоследовательности

• OEIS : A034444 — это σ ^* ₀ ( n )
• OEIS : A034448 — σ ^* ₁ ( n ) 
• OEIS : от A034676 до OEIS : A034682 — это от σ ^* ₂ ( n ) до σ ^* ₈ ( n ). 
• OEIS : A034444 — эточисло единичных делителей ${\displaystyle 2^{\omega }(n)}$
• OEIS : A068068 — это σ ^(o)* ₀ ( n ) 
• OEIS : A192066 — это σ ^(o)* ₁ ( n ) 
• OEIS : A064609 — это ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{1}(i)}$
• OEIS : A306071 — это ${\displaystyle A}$

Ссылки

1. Р. Вайдьянатхасвами (1931). «Теория мультипликативных арифметических функций». Труды Американского математического общества . 33 (2): 579–662. doi : 10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1 .
2. Конвей, Дж. Х.; Нортон, С. П. (1979). «Чудовищный лунный свет». Бюллетень Лондонского математического общества . 11 (3): 308–339.
3. Ивич (1985) стр.395
4. Шандор и др. (2006) стр.115

• Ричард К. Гай (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Springer-Verlag . стр. 84. ISBN 0-387-20860-7. Раздел Б3.
• Пауло Рибенбойм (2000). Мои числа, мои друзья: популярные лекции по теории чисел . Springer-Verlag. стр. 352. ISBN 0-387-98911-0.
• Коэн, Экфорд (1959). «Класс систем вычетов (mod r) и связанных с ними арифметических функций. I. Обобщение инверсии Мёбиуса». Pacific J. Math . 9 (1): 13–23. doi : 10.2140/pjm.1959.9.13 . MR  0109806.
• Коэн, Экфорд (1960). «Арифметические функции, связанные с унитарными делителями целого числа». Mathematische Zeitschrift . 74 : 66–80. doi :10.1007/BF01180473. MR  0112861. S2CID  53004302.
• Коэн, Экфорд (1960). «Число унитарных делителей целого числа». American Mathematical Monthly . 67 (9): 879–880. doi :10.2307/2309455. JSTOR  2309455. MR  0122790.
• Коэн, Грэм Л. (1990). «О бесконечных делителях целых чисел». Math. Comp . 54 (189): 395–411. Bibcode :1990MaCom..54..395C. doi : 10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5 . MR  0993927.
• Коэн, Грэм Л. (1993). «Арифметические функции, связанные с бесконечными делителями целого числа». Int. J. Math. Math. Sci . 16 (2): 373–383. doi : 10.1155/S0161171293000456 .
• Финч, Стивен (2004). «Унитаризм и инфинитаризм» (PDF) .
• Ивич, Александр (1985). Дзета-функция Римана. Теория дзета-функции Римана с приложениями . Публикация Wiley-Interscience. Нью-Йорк и т. д.: John Wiley & Sons. стр. 395. ISBN 0-471-80634-X. Збл  0556.10026.
• Матар, Р. Дж. (2011). «Обзор рядов Дирихле мультипликативных арифметических функций». arXiv : 1106.4038 [math.NT].Раздел 4.2
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9. Збл  1151.11300.
• Тот, Л. (2009). «О биунитарных аналогах арифметической функции Эйлера и функции gcd-sum». J. Int. Seq . 12 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Унитарный делитель». MathWorld .
• Mathoverflow | Булево кольцо унитарных делителей