Тензор упругости

Тензор упругости представляет собой тензор четвертого ранга, описывающий зависимость «напряжение-деформация» в линейно упругом материале. ^{[1] [2]} Другие названия — тензор модуля упругости и тензор жесткости . Общие символы включают и . ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

Определяющее уравнение можно записать в виде

${\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}$

где и – компоненты тензора напряжений Коши и тензора бесконечно малых деформаций , а – компоненты тензора упругости. Подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. ^{[примечание 1]} Эту связь можно интерпретировать как обобщение закона Гука на трехмерный континуум . ${\displaystyle T^{ij}}$ ${\displaystyle E_{kl}}$ ${\displaystyle C^{ijkl}}$

Общий тензор четвертого ранга в 3D имеет 3 ⁴ = 81 независимый компонент , но тензор упругости имеет не более 21 независимого компонента. ^[3] Этот факт следует из симметрии тензоров напряжений и деформаций, а также требования, чтобы напряжение возникало из упругого энергетического потенциала. Для изотропных материалов тензор упругости имеет только две независимые компоненты, которые можно выбрать в качестве модуля объемного сжатия и модуля сдвига . ^[3] ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle F_{ijkl}}$

Определение

Наиболее общая линейная связь между двумя тензорами второго ранга : ${\displaystyle \mathbf {T} ,\mathbf {E} }$

${\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}$

где – компоненты тензора четвертого ранга . ^{[1] [примечание 1]} Тензор упругости определяется как для случая, когда и – тензоры напряжений и деформаций соответственно. ${\displaystyle C^{ijkl}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

Тензор податливости определяется из обратной зависимости напряжение-деформация: ${\displaystyle \mathbf {K} }$

${\displaystyle E^{ij}=K^{ijkl}T_{kl}}$

Эти два связаны

${\displaystyle K_{ijpq}C^{pqkl}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{i}^{k}\delta _{j}^{l}+\delta _{i}^{l}\delta _{j}^{k}\right)}$

где находится дельта Кронекера . ^{[4] [5] [примечание 2]} ${\displaystyle \delta _{n}^{m}}$

Если не указано иное, в этой статье предполагается, что оно определяется на основе соотношения напряжение-деформация линейного упругого материала в пределе малой деформации. ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Особые случаи

изотропный

Для изотропного материала упрощается до ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle C^{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)g^{ij}g^{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)}$

где и – скалярные функции координат материала , – метрический тензор в системе отсчета материала. ^{[6] [7]} В ортонормированном декартовом координатном базисе нет различия между верхними и нижними индексами, и метрический тензор можно заменить дельтой Кронекера: ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$

${\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)\delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\quad {\text{[Cartesian coordinates]}}}$

Подстановка первого уравнения в соотношение «напряжение-деформация» и суммирование по повторяющимся индексам дает

${\displaystyle T^{ij}=\lambda \!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)E^{ij}}$

где след . В таком виде и можно отождествить первый и второй параметры Ламе . Эквивалентное выражение ${\displaystyle \mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \equiv E_{\,i}^{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle T^{ij}=K\!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)\Sigma ^{ij}}$

где модуль объемного сжатия, а ${\displaystyle K=\lambda +(2/3)\mu }$

${\displaystyle \Sigma ^{ij}\equiv E^{ij}-(1/3)\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}}$

являются компонентами тензора сдвига . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$

Кубические кристаллы

Тензор упругости кубического кристалла имеет компоненты

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=\lambda g^{ij}g^{kl}+\mu \left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)\\&+\alpha \left(a^{i}a^{j}a^{k}a^{l}+b^{i}b^{j}b^{k}b^{l}+c^{i}c^{j}c^{k}c^{l}\right)\end{aligned}}}$

где , , и – единичные векторы, соответствующие трем взаимно перпендикулярным осям кристаллической элементарной ячейки . ^[8] Коэффициенты , , и являются скалярами; поскольку они не зависят от координат, они являются внутренними материальными константами. Таким образом, кристалл кубической симметрии описывается тремя независимыми упругими постоянными. ^[9] ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \alpha }$

В ортонормированном декартовом базисе координат нет различия между верхними и нижними индексами, и это дельта Кронекера, поэтому выражение упрощается до ${\displaystyle g^{ij}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{ijkl}&=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\\&+\alpha \left(a_{i}a_{j}a_{k}a_{l}+b_{i}b_{j}b_{k}b_{l}+c_{i}c_{j}c_{k}c_{l}\right)\end{aligned}}}$

Другие классы кристаллов

Аналогичные выражения имеются для компонент других классов симметрии кристаллов. ^[10] Число независимых упругих констант для некоторых из них указано в таблице 1. ^[9] ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Характеристики

Симметрии

Тензор упругости имеет несколько симметрий, которые непосредственно следуют из его определяющего уравнения . ^{[11] [2]} Из симметрии тензоров напряжений и деформаций следует, что ${\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}$

${\displaystyle C_{ijkl}=C_{jikl}\qquad {\text{and}}\qquad C_{ijkl}=C_{ijlk},}$

Обычно также предполагается, что напряжение возникает из-за потенциала упругой энергии : ${\displaystyle U}$

${\displaystyle T^{ij}={\frac {\partial U}{\partial E_{ij}}}}$

что подразумевает

${\displaystyle C_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial E_{ij}\partial E_{kl}}}}$

Следовательно, должно быть симметрично относительно перестановки первой и второй пар индексов: ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}}$

Перечисленные выше симметрии уменьшают количество независимых компонентов с 81 до 21. Если материал имеет дополнительные симметрии, то это число еще больше уменьшается. ^[9]

Преобразования

При вращении компоненты преобразуются как ${\displaystyle C^{ijkl}}$

${\displaystyle C'_{ijkl}=R_{ip}R_{jq}R_{kr}R_{ls}C^{pqrs}}$

где – ковариантные компоненты повернутого базиса, а – элементы соответствующей матрицы вращения . Аналогичное правило преобразования справедливо и для других линейных преобразований. ${\displaystyle C'_{ijkl}}$ ${\displaystyle R_{ij}}$

Инварианты

Компоненты вообще приобретают разные значения при смене базиса. Тем не менее для некоторых типов преобразований существуют определенные комбинации компонентов, называемые инвариантами, которые остаются неизменными. Инварианты определяются относительно заданного набора преобразований, формально известных как групповая операция . Например, инвариант относительно группы собственных ортогональных преобразований, называемый SO(3) , — это величина, которая остается постоянной при произвольных трехмерных вращениях. ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle \mathbf {C} }$обладает двумя линейными и семью квадратичными инвариантами относительно SO(3). ^[12] Линейными инвариантами являются

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}&=C_{\,\,\,ij}^{ij}\\L_{2}&=C_{\,\,\,jj}^{ii}\end{aligned}}}$

а квадратичные инварианты равны

${\displaystyle \left\{L_{1}^{2},\,L_{2}^{2},\,L_{1}L_{2},\,C_{ijkl}C^{ijkl},\,C_{iikl}C^{jjkl},\,C_{iikl}C^{jkjl},\,C_{kiil}C^{kjjl}\right\}}$

Эти величины линейно независимы, то есть ни одна из них не может быть выражена как линейная комбинация других. Они также полны в том смысле, что не существует дополнительных независимых линейных или квадратичных инвариантов. ^[12]

Разложения

Общая стратегия тензорного анализа — разложить тензор на более простые компоненты, которые можно анализировать отдельно. Например, тензор градиента смещения можно разложить как ${\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {\nabla } \mathbf {\xi } }$

${\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {1}{3}}\Theta \mathbf {g} +\mathbf {\Sigma } +\mathbf {R} }$

где – тензор ранга 0 (скаляр), равный следу ; симметричен и не имеет следов; и является антисимметричным. ^[13] Покомпонентно, ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma ^{ij}\equiv W^{(ij)}&={\frac {1}{2}}\left(W^{ij}+W^{ji}\right)-{\frac {1}{3}}\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {W} \right)g^{ij}\\R^{ij}\equiv W^{[ij]}&={\frac {1}{2}}\left(W^{ij}-W^{ji}\right)\end{aligned}}}$

Здесь и далее симметризация и антисимметризация обозначаются символами и соответ- ственно. Это разложение неприводимо в том смысле, что оно инвариантно относительно вращений, и является важным инструментом концептуального развития механики сплошной среды. ^[11] ${\displaystyle (ij)}$ ${\displaystyle [ij]}$

Тензор упругости имеет ранг 4, а его разложения более сложны и разнообразны, чем у тензора ранга 2. ^[14] Ниже приводится несколько примеров.

Тензоры M и N

Это разложение получается путем симметризации и антисимметризации двух средних индексов:

${\displaystyle C^{ijkl}=M^{ijkl}+N^{ijkl}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{ijkl}\equiv C^{i(jk)l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}+C^{ikjl}\right)\\N^{ijkl}\equiv C^{i[jk]l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}-C^{ikjl}\right)\end{aligned}}}$

Недостатком этого разложения является то, что и не подчиняются всем исходным симметриям , так как они не симметричны при перестановке первых двух индексов. Кроме того, он не является неприводимым, поэтому не инвариантен относительно линейных преобразований, таких как вращения. ^[2] ${\displaystyle M^{ijkl}}$ ${\displaystyle N^{ijkl}}$ ${\displaystyle C^{ijkl}}$

Неприводимые представления

Неприводимое представление можно построить, рассматривая понятие полностью симметричного тензора, который инвариантен относительно замены любых двух индексов. Полностью симметричный тензор можно построить путем суммирования по всем перестановкам индексов ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle 4!=24}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S^{ijkl}&={\frac {1}{4!}}\sum _{(i,j,k,l)\in S_{4}}C^{ijkl}\\&={\frac {1}{4!}}\left(C^{ijkl}+C^{jikl}+C^{ikjl}+\ldots \right)\end{aligned}}}$

где – набор всех перестановок четырех индексов. ^[2] Благодаря симметрии , эта сумма сводится к ${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$ ${\displaystyle C^{ijkl}}$

${\displaystyle S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(C^{ijkl}+C^{iklj}+C^{iljk}\right)}$

Разница

${\displaystyle A^{ijkl}\equiv C^{ijkl}-S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(2C^{ijkl}-C^{ilkj}-C^{iklj}\right)}$

является асимметричным тензором ( не антисимметричным). Можно показать, что разложение уникально и неприводимо по . Другими словами, любые дополнительные операции симметризации или либо оставят его неизменным, либо приведут к нулю. Она также неприводима относительно произвольных линейных преобразований, т. е. полной линейной группы . ^{[2] [15]} ${\displaystyle C^{ijkl}=S^{ijkl}+A^{ijkl}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle G(3,\mathbb {R} )}$

Однако это разложение не является неприводимым относительно группы вращений SO(3). Вместо этого распадается на три несократимые части и на две: ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=S^{ijkl}+A^{ijkl}\\&=\left(^{(1)}\!S^{ijkl}+\,^{(2)}\!S^{ijkl}+\,^{(3)}\!S^{ijkl}\right)+\,\left(^{(1)}\!A^{ijkl}+^{(2)}\!A^{ijkl}\right)\end{aligned}}}$

См. Итин (2020) ^[15] для получения явных выражений через компоненты . ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Это представление разлагает пространство тензоров упругости в прямую сумму подпространств:

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\left(^{(1)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(2)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(3)}\!{\mathcal {C}}\right)\oplus \,\left(^{(4)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(5)}\!{\mathcal {C}}\right)}$

с размерами

${\displaystyle 21=(1\oplus 5\oplus 9)\oplus (1\oplus 5)}$

Каждое из этих подпространств изоморфно гармоническому тензорному пространству . ^{[15] [16]} Здесь – пространство трехмерных, полностью симметричных, бесследовых тензоров ранга . В частности, и соответствуют , и соответствуют , и соответствуют . ${\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ^{(1)}\!{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle ^{(4)}\!{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{1}}$ ${\displaystyle ^{(2)}\!{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle ^{(5)}\!{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{2}}$ ${\displaystyle ^{(3)}\!{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{4}}$

Смотрите также

• Механика сплошных сред
• Твердая механика
• Определяющее уравнение
• Сопротивление материалов
• Список свойств материалов § Механические свойства
• Теория представлений конечных групп
• Обозначение Фойгта

Сноски

1. Здесь верхние и нижние индексы обозначают контравариантную и ковариантную компоненты соответственно, хотя для декартовых координат это различие можно игнорировать . В результате некоторые ссылки представляют компоненты, используя только более низкие индексы.
2. Объединение прямых и обратных соотношений «напряжение-деформация» дает E _ij = K _ijpq C ^pqkl E _kl . Из-за второстепенных симметрий C ^pqkl = C ^qpkl и C ^pqkl = C ^pqlk это уравнение не определяет однозначно K _ijpq C ^pqkl . Фактически, K _ijpq C ^pqkl = a δ ^k _i δ ^l _j + (1 − a ) δ ^l _i δ ^k _j является решением для любого 0 ⩽ a ⩽ 1 . Однако только a = 1/2 сохраняет минорные симметрии K , так что это правильное решение с физической точки зрения.

Рекомендации

1. Thorne & Blandford 2017, стр. 580.
2. Itin & Hehl 2013.
3. Thorne & Blandford 2017, стр. 581.
4. Хилл 1965.
5. Коуин 1989.
6. Марсден и Хьюз 1994, с. 223.
7. Хель и Итин 2002.
8. Томас 1966.
9. Ландау и Лифшиц 1970.
10. Шринивасан и Нигам 1969.
11. Thorne & Blandford 2017.
12. Норрис 2007.
13. Торн и Блэндфорд, 2017, с. 571.
14. Моахер и Норрис 2006, стр. 221–222.
15. Itin 2020.
16. Олив, Колев и Оффре, 2017.

Библиография

• Фейнмановские лекции по физике - Тензор упругости
• Коуин, Стивен К. (1989). «Свойства тензора анизотропной упругости». Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики . 42 (2): 249–266. дои : 10.1093/qjmam/42.2.249. eISSN  1464-3855. ISSN  0033-5614.
• Хель, Фридрих В.; Итин, Яков (2002). «Соотношения Коши в линейной теории упругости». Журнал упругости и физики твердых тел . 66 (2): 185–192. arXiv : cond-mat/0206175 . дои : 10.1023/А: 1021225230036. ISSN  0374-3535. S2CID  18618340.
• Хилл, Р. (апрель 1965 г.). «Сплошная микромеханика упругопластических поликристаллов». Журнал механики и физики твердого тела . 13 (2): 89–101. Бибкод : 1965JMPSo..13...89H. дои : 10.1016/0022-5096(65)90023-2. ISSN  0022-5096.
• Итин, Яков; Хель, Фридрих В. (апрель 2013 г.). «Конститутивный тензор линейной упругости: его разложения, соотношения Коши, нулевые лагранжианы и распространение волн». Журнал математической физики . 54 (4): 042903. arXiv : 1208.1041 . Бибкод : 2013JMP....54d2903I. дои : 10.1063/1.4801859. eISSN  1089-7658. ISSN  0022-2488. S2CID  119133966.
• Итин, Яков (20 апреля 2020 г.). «Неприводимое матричное разрешение для классов симметрии тензоров упругости». Математика и механика твердого тела . 25 (10): 1873–1895. arXiv : 1812.03367 . дои : 10.1177/1081286520913596. eISSN  1741-3028. ISSN  1081-2865. S2CID  219087296.
• Ландау, Лев Д. ; Лифшиц, Евгений Михайлович (1970). Теория упругости . Том. 7 (2-е изд.). Пергамон Пресс . ISBN 978-0-08-006465-9.
• Марсден, Джеррольд Э.; Хьюз, Томас-младший (1994). Математические основы эластичности. Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-67865-8. ОСЛК  1117171567.
• Моахер, Махер; Норрис, Эндрю Н. (5 октября 2006 г.). «Ближайший упругий тензор произвольной симметрии к тензору упругости более низкой симметрии» (PDF) . Журнал эластичности . 85 (3): 215–263. дои : 10.1007/s10659-006-9082-0. eISSN  1573-2681. ISSN  0374-3535. S2CID  12816173.
• Норрис, AN (22 мая 2007 г.). «Квадратичные инварианты упругих модулей». Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики . 60 (3): 367–389. arXiv : cond-mat/0612506 . дои : 10.1093/qjmam/hbm007. eISSN  1464-3855. ISSN  0033-5614.
• Олив, М.; Колев, Б.; Оффре, Н. (24 мая 2017 г.). «Основы минимальной целостности тензора упругости». Архив рациональной механики и анализа . ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа». 226 (1): 1–31. arXiv : 1605.09561 . Бибкод : 2017ArRMA.226....1O. дои : 10.1007/s00205-017-1127-y. ISSN  0003-9527. S2CID  253711197.
• Шринивасан, ТП; Нигам, С.Д. (1969). «Инвариантные упругие константы кристаллов» . Журнал математики и механики . 19 (5): 411–420. eISSN  0095-9057. ISSN  1943-5274. JSTOR  24901866.
• Томас, Тайвань (февраль 1966 г.). «О соотношении напряжений и деформаций кубических кристаллов». Труды Национальной академии наук . 55 (2): 235–239. Бибкод : 1966PNAS...55..235T. дои : 10.1073/pnas.55.2.235 . eISSN  1091-6490. ISSN  0027-8424. ПМК  224128 . ПМИД  16591328.
• Торн, Кип С .; Бландфорд, Роджер Д. (2017). Современная классическая физика: оптика, жидкости, плазма, упругость, теория относительности и статистическая физика . Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691159027.