Уравнение Кортевега–Де Фриза

Математическая модель волн на мелководной поверхности

Решение уравнения Кортевега–де Фриза в виде кноидальной волны через квадрат эллиптической функции Якоби cn (и со значением параметра m = 0,9 ).

Численное решение уравнения КдФ u _t + u u _x + δ ² u _{x x x} = 0 ( δ = 0,022 ) с начальным условием u ( x , 0) = cos(π x ) . Временная эволюция была выполнена по схеме Забуски–Крускала. ^[1] Начальная косинусоидальная волна эволюционирует в последовательность волн одиночного типа.

Двухсолитонное решение уравнения КдФ

В математике уравнение Кортевега –де Фриза (КдФ) является частным дифференциальным уравнением (ЧДУ), которое служит математической моделью волн на мелководных поверхностях. Оно особенно примечательно как прототипический пример интегрируемого ЧДУ и демонстрирует многие ожидаемые поведения для интегрируемого ЧДУ, такие как большое количество явных решений, в частности солитонных решений, и бесконечное количество сохраняющихся величин , несмотря на нелинейность, которая обычно делает ЧДУ неразрешимыми. КдФ можно решить методом обратной задачи рассеяния (МОР). ^[2] Фактически, Гарднер , Грин , Крускал и Миура разработали классический метод обратной задачи рассеяния для решения уравнения КдФ.

Уравнение КдФ было впервые введено Буссинеском (  1877, сноска на стр. 360) и переоткрыто Дидериком Кортевегом и Густавом де Вризом в 1895 году, которые нашли простейшее решение — односолитонное решение. ^{[3] [4]} Понимание уравнения и поведения решений значительно продвинулось вперед благодаря компьютерному моделированию Забуски и Крускала в 1965 году, а затем благодаря разработке обратного преобразования рассеяния в 1967 году.

Определение

Уравнение КдФ представляет собой уравнение в частных производных , которое моделирует (пространственно) одномерные нелинейные дисперсионные недиссипативные волны, описываемые функцией, следующей из: ^[5] ${\displaystyle \phi (x,t)}$

${\displaystyle \partial _{t}\phi +\partial _{x}^{3}\phi -6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,\quad x\in \mathbb {R} ,\;t\geq 0,}$

где учитывает дисперсию, а нелинейный элемент представляет собой адвективный член. ${\displaystyle \partial _{x}^{3}\phi }$ ${\displaystyle \phi \partial _{x}\phi }$

Для моделирования мелководных волн — это смещение высоты водной поверхности от ее равновесной высоты. ${\displaystyle \phi }$

Константа перед последним членом является общепринятой, но не имеет большого значения: умножение , , и на константы можно использовать для того, чтобы сделать коэффициенты любого из трех членов равными любым заданным ненулевым константам. ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi }$

Солитонные решения

Односолитонное решение

Рассмотрим решения, в которых фиксированная форма волны (заданная ) сохраняет свою форму при движении вправо с фазовой скоростью . Такое решение задается . Подстановка его в уравнение КдФ дает обыкновенное дифференциальное уравнение ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varphi (x,t)=f(x-ct-a)=f(X)}$

${\displaystyle -c{\frac {df}{dX}}+{\frac {d^{3}f}{dX^{3}}}-6f{\frac {df}{dX}}=0,}$

или, интегрируя по , ${\displaystyle X}$

${\displaystyle -cf+{\frac {d^{2}f}{dX^{2}}}-3f^{2}=A}$

где - константа интегрирования . Интерпретируя независимую переменную выше как виртуальную переменную времени, это означает удовлетворяет уравнению движения Ньютона частицы единичной массы в кубическом потенциале ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle V(f)=-\left(f^{3}+{\frac {1}{2}}cf^{2}+Af\right)}$.

Если

${\displaystyle A=0,\,c>0}$

тогда потенциальная функция имеет локальный максимум при ; существует решение, в котором начинается в этой точке в «виртуальное время» , в конечном итоге скатывается к локальному минимуму , затем возвращается на другую сторону, достигая равной высоты, а затем меняет направление, снова оказываясь на локальном максимуме в момент времени . Другими словами, приближается к . Это характерная форма решения для уединенной волны . ${\displaystyle V(f)}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X\to -\infty }$

Точнее, решение такое:

${\displaystyle \phi (x,t)=-{\frac {1}{2}}\,c\,\operatorname {sech} ^{2}\left[{{\sqrt {c}} \over 2}(x-c\,t-a)\right]}$

где обозначает гиперболический секанс , а — произвольная константа. ^[6] Это описывает право движущийся солитон со скоростью . ${\displaystyle \operatorname {sech} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$

N-солитонное решение

Известно выражение для решения, которое является -солитонным решением, которое в поздние моменты времени распадается на отдельные одиночные солитоны. ^[7] Решение зависит от убывающего положительного набора параметров и ненулевого набора параметров . Решение дается в виде , где компоненты матрицы задаются как ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \chi _{1},\cdots ,\chi _{N}>0}$ ${\displaystyle \beta _{1},\cdots ,\beta _{N}}$ $${\displaystyle \phi (x,t)=-2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\mathrm {log} [\mathrm {det} A(x,t)]}$$ ${\displaystyle A(x,t)}$ ${\displaystyle A_{nm}(x,t)=\delta _{nm}+{\frac {\beta _{n}e^{8\chi _{n}^{3}t}e^{-(\chi _{n}+\chi _{m})x}}{\chi _{n}+\chi _{m}}}.}$

Этот результат получен с помощью метода обратного рассеяния.

Интегралы движения

Уравнение КдФ имеет бесконечно много интегралов движения , которые не меняются со временем. ^[8] Их можно явно задать как

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(\phi ,\,\partial _{x}\phi ,\,\partial _{x}^{2}\phi ,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,}$

где полиномы определяются рекурсивно с помощью ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&=\phi ,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1}^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i}\quad {\text{ for }}n\geq 2.\end{aligned}}}$

Первые несколько интегралов движения:

• масса ${\displaystyle \int \phi \,\mathrm {d} x,}$
• импульс ${\displaystyle \int \phi ^{2}\,\mathrm {d} x,}$
• энергия . ${\displaystyle \int \left[2\phi ^{3}-\left(\partial _{x}\phi \right)^{2}\right]\,\mathrm {d} x}$

Только нечетные члены приводят к нетривиальным (то есть ненулевым) интегралам движения. ^[9] ${\displaystyle P_{2n+1}}$

Слабые пары

Уравнение КдФ

${\displaystyle \partial _{t}\phi =6\,\phi \,\partial _{x}\phi -\partial _{x}^{3}\phi }$

можно переформулировать как уравнение Лакса

${\displaystyle L_{t}=[L,A]\equiv LA-AL\,}$

с оператором Штурма –Лиувилля : ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+\phi ,\\A&=4\partial _{x}^{3}-6\phi \,\partial _{x}-3[\partial _{x},\phi ]\end{aligned}}}$

где — коммутатор такой, что . ^[10] Пара Лакса учитывает бесконечное число первых интегралов уравнения КдФ. ^[11] ${\displaystyle [\partial _{x},\phi ]}$ ${\displaystyle [\partial _{x},\phi ]f=f\partial _{x}\phi }$

Фактически, является не зависящим от времени оператором Шредингера (без учета констант) с потенциалом . Можно показать, что благодаря этой формулировке Лакса собственные значения фактически не зависят от . ^[12] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \phi (x,t)}$ ${\displaystyle t}$

Представление нулевой кривизны

Установка компонентов связности Лакса в виде уравнения КдФ эквивалентна уравнению нулевой кривизны для связности Лакса, $${\displaystyle L_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\\phi -\lambda &0\end{pmatrix}},L_{t}={\begin{pmatrix}-\phi _{x}&2\phi +4\lambda \\2\phi ^{2}-\phi _{xx}+2\phi \lambda -4\lambda ^{2}&\phi _{x}\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle \partial _{t}L_{x}-\partial _{x}L_{t}+[L_{x},L_{t}]=0.}$$

Принцип наименьшего действия

Уравнение Кортевега – Де Фриза.

${\displaystyle \partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0,}$

— уравнение движения Эйлера–Лагранжа, полученное из плотности Лагранжа , ${\displaystyle {\mathcal {L}}\,}$

с определенным ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi :={\frac {\partial \psi }{\partial x}}.}$

Вывод уравнений Эйлера–Лагранжа

Поскольку лагранжиан (уравнение (1)) содержит вторые производные, уравнение движения Эйлера–Лагранжа для этого поля имеет вид

где — производная по компоненту. ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle \mu }$

Подразумевается сумма, поэтому уравнение (2) на самом деле выглядит так: ${\displaystyle \mu }$

Оцените пять членов уравнения (3), подставив в уравнение (1),

${\displaystyle \partial _{tt}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{tt}\psi )}}\right)=0}$

${\displaystyle \partial _{xx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{xx}\psi )}}\right)=\partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)}$

${\displaystyle \partial _{t}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\psi )}}\right)=\partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)}$

${\displaystyle \partial _{x}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x}\psi )}}\right)=\partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0}$

Запомните определение , и используйте его для упрощения приведенных выше терминов. ${\displaystyle \phi =\partial _{x}\psi }$

${\displaystyle \partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)=-\partial _{xxx}\phi }$

${\displaystyle \partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi }$

${\displaystyle \partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +3\partial _{x}(\phi )^{2}={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi }$

Наконец, подставьте эти три ненулевых члена обратно в уравнение (3), чтобы увидеть

${\displaystyle \left(-\partial _{xxx}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi \right)=0,}$

что в точности соответствует уравнению КдФ

${\displaystyle \partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0.}$

Долгосрочная асимптотика

Можно показать, что любое достаточно быстро распадающееся гладкое решение в конечном итоге распадется на конечную суперпозицию солитонов, движущихся вправо, плюс распадающуюся дисперсионную часть, движущуюся влево. Это впервые наблюдали Забуски и Крускал (1965) и может быть строго доказано с использованием нелинейного анализа наискорейшего спуска для колебательных задач Римана–Гильберта . ^[13]

История

История уравнения Кортевега-де-Вриза началась с экспериментов Джона Скотта Рассела в 1834 году, за которыми последовали теоретические исследования лорда Рэлея и Жозефа Буссинеска около 1870 года и, наконец, Кортевега и де Фриза в 1895 году.

Уравнение КдФ не изучалось после этого, пока Забуски и Крускал (1965) не обнаружили численно, что его решения, по-видимому, распадаются на большие времена на набор «солитонов»: хорошо разделенных уединенных волн. Более того, солитоны, по-видимому, почти не меняют форму, проходя друг через друга (хотя это может вызвать изменение их положения). Они также установили связь с более ранними численными экспериментами Ферми, Пасты, Улама и Цингоу, показав, что уравнение КдФ было пределом непрерывности системы FPUT . Разработка аналитического решения с помощью обратного преобразования рассеяния была выполнена в 1967 году Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой. ^{[2] [14]}

Теперь мы видим, что уравнение КдФ тесно связано с принципом Гюйгенса . ^{[15] [16]}

Приложения и соединения

Уравнение КдФ имеет несколько связей с физическими проблемами. Помимо того, что оно является основным уравнением струны в задаче Ферми–Паста–Улама–Цингоу в пределе континуума, оно приблизительно описывает эволюцию длинных одномерных волн во многих физических условиях, включая:

• мелководные волны со слабонелинейными восстанавливающими силами,
• длинные внутренние волны в стратифицированном по плотности океане ,
• ионно-акустические волны в плазме ,
• акустические волны на кристаллической решетке .

Уравнение КдФ можно также решить с помощью обратного преобразования рассеяния, подобного тому, которое применяется к нелинейному уравнению Шредингера .

Уравнение КдФ и уравнение Гросса–Питаевского

Рассматривая упрощенные решения вида

${\displaystyle \phi (x,t)=\phi (x\pm t)}$

мы получаем уравнение КдФ как

${\displaystyle \pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi +6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,}$

или

${\displaystyle \pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}(\partial _{x}^{2}\phi +3\phi ^{2})=0\,}$

Интегрируя и рассматривая частный случай, в котором постоянная интегрирования равна нулю, имеем:

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{2}=\pm \phi \,}$

что является частным случаем обобщенного стационарного уравнения Гросса–Питаевского (УГП) ${\displaystyle \lambda =1}$

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{\lambda }\phi =\pm \phi \,}$

Поэтому для определенного класса решений обобщенного GPE ( для истинного одномерного конденсата и при использовании трехмерного уравнения в одном измерении) два уравнения являются одним. Более того, принимая случай со знаком минус и действительным, получаем притягивающее самовзаимодействие, которое должно дать яркий солитон. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \lambda =4}$ ${\displaystyle \lambda =2}$ ${\displaystyle \lambda =3}$ ${\displaystyle \phi }$

Вариации

Было изучено много различных вариаций уравнений КдФ. Некоторые из них перечислены в следующей таблице.

Смотрите также

• Уравнение адвекции-диффузии
• Уравнение Бенджамина–Бона–Махони
• Приближение Буссинеска (волны на воде)
• Кноидальная волна
• Дисперсия (волны на воде)
• Бездисперсионное уравнение
• Уравнение Кортевега – Де Фриза пятого порядка.
• Уравнение Кадомцева–Петвиашвили
• иерархия КдВ
• Модифицированное уравнение КдФ–Бюргерса
• Уравнение Новикова–Веселова
• Уравнение Шамеля
• Число Урселла
• Векторный солитон

Примечания

1. Забуски и Крускал 1965.
2. Гарднер и др. 1967.
3. Дарригол 2005, стр. 84.
4. Кортевег и де Фриз 1895.
5. Полянин и Зайцев 2003, Глава 9.1.1. Уравнение Кортевега-де Фриза.
6. Вакакис 2002, стр. 105–108.
7. Дунайский 2009.
8. Миура, Гарднер и Крускал 1968.
9. Дингеманс 1997, стр. 733.
10. Полянин и Зайцев 2003, Глава S.10.1. Метод пары Лакса.
11. Лакс 1968.
12. Дунайский 2009, стр. 31–32.
13. Грюнерт и Тешль 2009.
14. Доксуа и Пейрард 2006.
15. Чалуб и Зубелли 2006.
16. Берест и Луценко 1997.

Ссылки

• Берест, Юрий Ю.; Луценко, Игорь М. (1997). «Принцип Гюйгенса в пространствах Минковского и солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза». Сообщения по математической физике . 190 (1): 113–132. arXiv : solv-int/9704012 . doi :10.1007/s002200050235. ISSN  0010-3616.
• Буссинеск, Ж. (1877), «Очерк теории курантов», «Мемуары представляют пар дайверов ученых» l'Acad. де Sci. Инст. Нат. Франция, XXIII, стр. 1–680.
• Chalub, Fabio ACC; Zubelli, Jorge P. (2006). «Принцип Гюйгенса для гиперболических операторов и интегрируемых иерархий» (PDF) . Physica D: Nonlinear Phenomena . 213 (2): 231–245. doi :10.1016/j.physd.2005.11.008.
• Дарригол, Оливье (2005). Миры потока. Оксфорд; Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856843-8.
• Доксуа, Тьерри; Пейрард, Мишель (2006). Физика солитонов . Кембридж, Великобритания; Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 0-521-85421-0. OCLC  61757137.
• Dingemans, MW (1997). Распространение волн на воде по неровному дну . River Edge, NJ: World Scientific. ISBN 981-02-0427-2.
• Дунайский, Мачей (2009). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд; Нью-Йорк: OUP Oxford. ISBN 978-0-19-857063-9. OCLC  320199531.
• Гарднер, Клиффорд С.; Грин, Джон М.; Крускал, Мартин Д.; Миура, Роберт М. (1967). «Метод решения уравнения Кортевега-де Фриза». Physical Review Letters . 19 (19): 1095–1097. doi :10.1103/PhysRevLett.19.1095. ISSN  0031-9007.
• Грюнерт, Катрин; Тешль, Джеральд (2009), "Долговременная асимптотика для уравнения Кортевега–де Фриза с помощью нелинейного наискорейшего спуска", Матем. физика. анал. геом. , т. 12, № 3, стр. 287–324, arXiv : 0807.5041 , Bibcode : 2009MPAG...12..287G, doi : 10.1007/s11040-009-9062-2, S2CID  8740754
• Кортевег, DJ; де Врис, Г. (1895). "XLI. Об изменении формы длинных волн, распространяющихся в прямоугольном канале, и о новом типе длинных стоячих волн". Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 39 (240): 422–443. doi :10.1080/14786449508620739. ISSN  1941-5982.
• Лакс, Питер Д. (1968). «Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенные волны». Сообщения по чистой и прикладной математике . 21 (5): 467–490. doi :10.1002/cpa.3160210503. ISSN  0010-3640.
• Миура, Роберт М.; Гарднер, Клиффорд С.; Крускал, Мартин Д. (1968), «Уравнение Кортевега–де Фриза и его обобщения. II. Существование законов сохранения и констант движения», J. Math. Phys. , 9 (8): 1204–1209, Bibcode : 1968JMP.....9.1204M, doi : 10.1063/1.1664701, MR  0252826
• Полянин, Андрей Д.; Зайцев, Валентин Ф. (2003). Справочник по нелинейным уравнениям в частных производных . Бока-Ратон, Флорида: Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-355-5.
• Вакакис, Александр Ф. (2002). Нормальные моды и локализация в нелинейных системах . Дордрехт; Бостон: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-7010-9.
• Забуски, Нью-Джерси; Крускал, Мэриленд (1965). «Взаимодействие «солитонов» в бесстолкновительной плазме и повторение начальных состояний». Physical Review Letters . 15 (6): 240–243. doi :10.1103/PhysRevLett.15.240. ISSN  0031-9007.

Внешние ссылки

• Уравнение Кортевега–де Фриза в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Уравнение Кортевега – Де Фриза в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.
• Цилиндрическое уравнение Кортевега–де Фриза в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Модифицированное уравнение Кортевега – Де Фриза в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.
• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Кортевега–де Фриза». MathWorld .
• Вывод уравнения Кортевега–де Фриза для узкого канала.
• Решение уравнения Кортевега–де Вриза с тремя солитонами – [1]
• Три солитона (неустойчивое) решение уравнения Кортевега–де Вриза – [2]
• Математические аспекты уравнений типа Кортевега–де Фриза обсуждаются на вики-сайте Dispersive PDE.
• Солитоны из уравнения Кортевега–де Фриза, автор SM Blinder, The Wolfram Demonstrations Project .
• Солитоны и нелинейные волновые уравнения