Уравнение Райчаудхури

Результат в общей теории относительности

В общей теории относительности уравнение Райчаудхури , или уравнение Ландау-Райчаудхури , ^[1] является фундаментальным результатом, описывающим движение близлежащих частиц материи.

Уравнение важно как фундаментальная лемма для теорем Пенроуза-Хокинга о сингулярности и для изучения точных решений в общей теории относительности , но оно представляет независимый интерес, поскольку предлагает простое и общее подтверждение наших интуитивных ожиданий о том, что гравитация должна быть универсальным притягивающим фактором. сила между любыми двумя битами массы-энергии в общей теории относительности, как и в теории гравитации Ньютона .

Уравнение было открыто независимо индийским физиком Амаль Кумаром Райчаудхури ^[2] и советским физиком Львом Ландау . ^[3]

Математическое утверждение

Учитывая времяподобное поле единичного вектора (которое можно интерпретировать как семейство или конгруэнтность непересекающихся мировых линий через интегральную кривую , не обязательно геодезическую ), уравнение Райчаудхури можно записать ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}+2\omega ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}+{{\dot {X}}^{a}}_{;a}}$

где

${\displaystyle 2\sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;2\omega ^{2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}$

являются (неотрицательными) квадратичными инвариантами тензора сдвига

${\displaystyle \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}}$

и тензор завихренности

${\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}$

соответственно. Здесь,

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}}$

– тензор разложения , – его след , называемый скаляром разложения , и ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}}$

– тензор проекции на гиперплоскости, ортогональные . Кроме того, точка обозначает дифференцирование по собственному времени , отсчитываемому по мировым линиям в конгруэнции. Наконец, след приливного тензора можно также записать как ${\displaystyle {\vec {X}}}$ ${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}}$

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$

Эту величину иногда называют скаляром Райчаудхури .

Интуитивное значение

Скаляр расширения измеряет относительную скорость изменения объема небольшого шарика материи во времени, измеренную центральным движущимся наблюдателем (и поэтому он может принимать отрицательные значения). Другими словами, приведенное выше уравнение дает нам уравнение эволюции для разложения времениподобного сравнения. Если производная (по собственному времени) этой величины окажется отрицательной вдоль некоторой мировой линии (после определенного события), то любое расширение небольшого шарика материи (центр массы которого следует за рассматриваемой мировой линией) должен последовать рецидив. В противном случае возможно дальнейшее расширение.

Тензор сдвига измеряет любую тенденцию изначально сферического шара материи искажаться до эллипсоидной формы. Тензор завихренности измеряет любую тенденцию соседних мировых линий закручиваться друг вокруг друга (если это происходит, наша маленькая капля материи вращается, как это происходит с жидкими элементами в обычном потоке жидкости, который демонстрирует ненулевую завихренность).

Правая часть уравнения Райчаудхури состоит из двух типов членов:

1. термины, которые способствуют (повторному) коллапсу
   • изначально ненулевой скаляр расширения,
   • ненулевой сдвиг,
   • положительный след приливного тензора; именно это условие гарантируется предположением сильного энергетического условия , которое справедливо для наиболее важных типов решений, таких как физически разумные жидкостные растворы ,
2. термины, которые противостоят (повторному) коллапсу
   • ненулевая завихренность, соответствующая ньютоновским центробежным силам ,
   • положительное расхождение вектора ускорения (например, ускорение, направленное наружу из-за сферически-симметричного взрыва или, более прозаично, из-за массовых сил, воздействующих на жидкие элементы в шаре жидкости, удерживаемым вместе собственной гравитацией).

Обычно побеждает один термин. Однако существуют ситуации, в которых баланс может быть достигнут. Этот баланс может быть:

• стабильный : в случае гидростатического равновесия шара идеальной жидкости (например, в модели недр звезды) расширение, сдвиг и завихренность исчезают, а вектор ускорения (необходимая массовая сила на каждом капля жидкости, создаваемая давлением окружающей жидкости) противодействует скаляру Райчаудхури, который для идеальной жидкости выражается в геометрических единицах . В ньютоновской гравитации след приливного тензора равен ; в общей теории относительности тенденция давления противостоять гравитации частично компенсируется этим членом, который при определенных обстоятельствах может стать важным. ${\displaystyle E[{\vec {X}}]^{a}{}_{a}=4\pi (\mu +3p)}$ ${\displaystyle 4\pi \mu }$
• нестабильны : например, мировые линии пылевых частиц в решении Гёделя имеют исчезающий сдвиг, расширение и ускорение, но постоянную завихренность, просто уравновешивающую постоянный скаляр Райчуадхури из-за ненулевой энергии вакуума («космологическая постоянная»).

Теорема о фокусировке

Предположим, что условие сильной энергии выполняется в некоторой области нашего пространства-времени, и пусть это времяподобное геодезическое единичное векторное поле с исчезающей завихренностью или, что то же самое, которое ортогонально гиперповерхности. Например, такая ситуация может возникнуть при изучении мировых линий пылевых частиц в космологических моделях, которые являются точными пылевыми решениями уравнения поля Эйнштейна (при условии, что эти мировые линии не закручиваются друг вокруг друга, и в этом случае конгруэнтность будет иметь ненулевое значение). завихренность). ${\displaystyle {\vec {X}}}$

Тогда уравнение Райчаудхури принимает вид

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}$

Теперь правая часть всегда отрицательна или равна нулю, поэтому скаляр разложения никогда не увеличивается со временем.

Поскольку последние два слагаемых неотрицательны, имеем

${\displaystyle {\dot {\theta }}\leq -{\frac {\theta ^{2}}{3}}}$

Интегрирование этого неравенства по собственному времени дает ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}\geq {\frac {1}{\theta _{0}}}+{\frac {\tau }{3}}}$

Если начальное значение скаляра разложения отрицательно, это означает, что наши геодезические должны сходиться в каустике ( стремятся к минус бесконечности) в течение собственного времени, не более чем после измерения начального значения скаляра разложения. Это не обязательно означает встречу с сингулярностью кривизны, но это сигнализирует о нарушении нашего математического описания движения пыли. ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 3/|\theta _{0}|}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

Оптические уравнения

Существует также оптическая (или нулевая) версия уравнения Райчаудхури для нулевых геодезических конгруэнций.

${\displaystyle {\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}$.

Здесь шляпки указывают на то, что расширение, сдвиг и завихрение имеют место только по отношению к поперечным направлениям. Когда завихренность равна нулю, то при условии нулевой энергии каустики образуются до того, как аффинный параметр достигнет . ${\displaystyle 2/{\widehat {\theta }}_{0}}$

Приложения

Горизонт событий определяется как граница причинного прошлого нулевой бесконечности. Такие границы генерируются нулевыми геодезическими. Аффинный параметр стремится к бесконечности, когда мы приближаемся к нулевой бесконечности, и до этого момента каустики не образуются. Таким образом, расширение горизонта событий должно быть неотрицательным. Поскольку расширение дает скорость изменения логарифма плотности площади, это означает, что площадь горизонта событий никогда не может уменьшаться, по крайней мере, классически, при условии нулевой энергии.

Смотрите также

• Сравнение (общая теория относительности) для вывода кинематического разложения и уравнения Райчаудхури.
• Гравитационная сингулярность
• Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях применения теоремы о фокусировке

Примечания

1. Пространство-время как деформируемое твердое тело, М.О. Тахим, Р.Р. Ландим и К.А.С. Алмейда, arXiv :0705.4120v1.
2. Дадхич, Нареш (август 2005 г.). «Амаль Кумар Райчаудхури (1923–2005)» (PDF) . Современная наука . 89 : 569–570.
3. Крупномасштабная структура пространства-времени Стивена В. Хокинга и ГФР Эллиса , Cambridge University Press, 1973, стр. 84, ISBN 0-521-09906-4 . 

Рекомендации

• Пуассон, Эрик (2004). Инструментарий релятивиста: математика механики черных дыр . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83091-5.См. главу 2 для превосходного обсуждения уравнения Райчаудхури как для времениподобных, так и для нулевых геодезических , а также теоремы о фокусировке.
• Кэрролл, Шон М. (2004). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности . Сан-Франциско: Аддисон-Уэсли . ISBN 0-8053-8732-3.См. приложение F.
• Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; МакКаллум, Малькольм; Хоэнселерс, Корнелиус; Гертль, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46136-7.См. главу 6 для очень подробного введения в геодезические сравнения, включая общую форму уравнения Райчаудхури.
• Хокинг, Стивен и Эллис, СКФ (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09906-4. См. раздел 4.1 для обсуждения общей формы уравнения Райчаудхури.
• Райчаудхури, АК (1955). «Релятивистская космология И.». Физ. Преподобный . 98 (4): 1123–1126. Бибкод : 1955PhRv...98.1123R. дои : 10.1103/PhysRev.98.1123. hdl : 10821/7599 . Статья Райчаудхури, представляющая его уравнение.
• Дасгупта, Анирван; Нандан, Хемвати и Кар, Саян (2009). «Кинематика геодезических потоков на фоне волокнистых черных дыр». Физ. Преподобный Д. 79 (12): 124004. arXiv : 0809.3074 . Бибкод : 2009PhRvD..79l4004D. doi : 10.1103/PhysRevD.79.124004. S2CID  118628925.См. раздел IV, где приведен вывод общей формы уравнений Райчаудхури для трех кинематических величин (а именно скаляра расширения, сдвига и вращения).
• Кар, Саян и СенГупта, Сумитра (2007). «Уравнения Райчаудхури: краткий обзор». Прамана . 69 (1): 49–76. arXiv : gr-qc/0611123 . Бибкод : 2007Прама..69...49К. дои : 10.1007/s12043-007-0110-9. S2CID  119438891.См. обзор уравнений Райчаудхури.

Внешние ссылки

• Значение уравнения поля Эйнштейна Джона К. Баэза и Эмори Ф. Банна. Уравнение Райчаудхури занимает центральное место в этом хорошо известном (и очень рекомендуемом) полутехническом изложении того, что говорит уравнение Эйнштейна.
• Теоретическая космология Райчаудхури, AK Clarendon Press, 1979 https://books.google.co.in/books/about/Theoretical_Cosmology.html?id=p1DApKmlaFoC&redir_esc=y