Уравнение Грэда–Шафранова

Уравнение Грэда –Шафранова ( H. Grad и H. Rubin (1958); Виталий Дмитриевич Шафранов (1966)) — это уравнение равновесия в идеальной магнитной гидродинамике (МГД) для двумерной плазмы , например, осесимметричной тороидальной плазмы в токамаке . Это уравнение имеет ту же форму, что и уравнение Хикса из гидродинамики. ^[1] Это уравнение представляет собой двумерное , нелинейное , эллиптическое уравнение в частных производных, полученное путем сведения идеальных уравнений МГД к двум измерениям, часто для случая тороидальной осесимметрии (случай, актуальный в токамаке). Принимая в качестве цилиндрических координат, функция потока регулируется уравнением, ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-\mu _{0}r^{2}{\frac {dp}{d\psi }}-{\frac {1}{2}}{\frac {dF^{2}}{d\psi }},}$

где - магнитная проницаемость , - давление , а магнитное поле и ток соответственно определяются как ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle p(\psi )}$ ${\displaystyle F(\psi )=rB_{\theta }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &={\frac {1}{r}}\nabla \psi \times {\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }+{\frac {F}{r}}{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta },\\\mu _{0}\mathbf {J} &={\frac {1}{r}}{\frac {dF}{d\psi }}\nabla \psi \times {\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }-\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }.\end{aligned}}}$$

Характер равновесия, будь то токамак , пинч с обращенным полем и т. д., во многом определяется выбором двух функций , а также граничными условиями. ${\displaystyle F(\psi )}$ ${\displaystyle p(\psi )}$

Вывод (в декартовых координатах)

В дальнейшем предполагается, что система является двумерной с инвариантной осью, т.е. дает 0 для любой величины. Тогда магнитное поле можно записать в декартовых координатах как или более компактно, где - векторный потенциал для магнитного поля в плоскости (компоненты x и y). Обратите внимание, что на основе этой формы для B мы можем видеть, что A является постоянным вдоль любой заданной линии магнитного поля, поскольку является везде перпендикулярным к B. (Также обратите внимание, что -A - это функция потока, упомянутая выше.) ${\displaystyle z}$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\left({\frac {\partial A}{\partial y}},-{\frac {\partial A}{\partial x}},B_{z}(x,y)\right),}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla A\times {\hat {\mathbf {z} }}+B_{z}{\hat {\mathbf {z} }},}$$ ${\displaystyle A(x,y){\hat {\mathbf {z} }}}$ ${\displaystyle \nabla A}$ ${\displaystyle \psi }$

Двумерные, стационарные, магнитные структуры описываются балансом сил давления и магнитных сил, то есть: где p — давление плазмы, а j — электрический ток. Известно, что p — константа вдоль любой линии поля (опять же, поскольку везде перпендикулярно B ). Кроме того, двумерное предположение ( ) означает, что z-компонента левой стороны должна быть равна нулю, поэтому z-компонента магнитной силы с правой стороны также должна быть равна нулю. Это означает, что , то есть параллельна . $${\displaystyle \nabla p=\mathbf {j} \times \mathbf {B} ,}$$ ${\displaystyle \nabla p}$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial z}}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{\perp }\times \mathbf {B} _{\perp }=0}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$

Правую часть предыдущего уравнения можно рассматривать в двух частях: где нижний индекс обозначает компоненту в плоскости, перпендикулярной оси -. Компоненту тока в приведенном выше уравнении можно записать в терминах одномерного векторного потенциала как $${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {B} =j_{z}({\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {B_{\perp }} )+\mathbf {j_{\perp }} \times {\hat {\mathbf {z} }}B_{z},}$$ ${\displaystyle \perp }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle j_{z}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla ^{2}A.}$$

Поле в плоскости равно и, используя уравнение Максвелла-Ампера, ток в плоскости определяется выражением $${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }=\nabla A\times {\hat {\mathbf {z} }},}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} _{\perp }={\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla B_{z}\times {\hat {\mathbf {z} }}.}$$

Для того чтобы этот вектор был параллелен , как требуется, вектор должен быть перпендикулярен , и, следовательно, должен, как и , быть инвариантом линий поля. ${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$ ${\displaystyle \nabla B_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$ ${\displaystyle B_{z}}$ ${\displaystyle p}$

Перестановка перекрестных произведений выше приводит к и $${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {B} _{\perp }=\nabla A-(\mathbf {\hat {z}} \cdot \nabla A)\mathbf {\hat {z}} =\nabla A,}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} _{\perp }\times B_{z}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {B_{z}}{\mu _{0}}}(\mathbf {\hat {z}} \cdot \nabla B_{z})\mathbf {\hat {z}} -{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}.}$$

Эти результаты можно подставить в выражение для получения: ${\displaystyle \nabla p}$ $${\displaystyle \nabla p=-\left[{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla ^{2}A\right]\nabla A-{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}.}$$

Так как и являются константами вдоль линии поля и функциями только , то и . Таким образом, вынесение за скобки и перестановка членов дает уравнение Грэда–Шафранова : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B_{z}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nabla p={\frac {dp}{dA}}\nabla A}$ ${\displaystyle \nabla B_{z}={\frac {dB_{z}}{dA}}\nabla A}$ ${\displaystyle \nabla A}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}A=-\mu _{0}{\frac {d}{dA}}\left(p+{\frac {B_{z}^{2}}{2\mu _{0}}}\right).}$$

Вывод в контравариантном представлении

Этот вывод используется только для токамаков, но он может быть поучительным. Используя определение «Теории тороидально ограниченной плазмы 1:3» (Роско Уайт), записывая на основе контраварианта : ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle (\nabla \Psi ,\nabla \phi ,\nabla \zeta )}$ $${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \Psi \times \nabla \phi +{\bar {F}}\nabla \phi ,}$$

у нас есть : ${\displaystyle {\vec {j}}}$ $${\displaystyle \mu _{0}{\vec {j}}=\nabla \times {\vec {B}}=-\Delta ^{*}\Psi \nabla \phi +\nabla {\bar {F}}\times \nabla \phi \quad {\text{, where}}\ \Delta ^{*}=r\partial _{r}(r^{-1}\partial _{r})+\partial _{\phi }^{2}{\text{;}}}$$

тогда уравнение баланса сил: $${\displaystyle \mu _{0}{\vec {j}}\times {\vec {B}}=\mu _{0}\nabla p{\text{.}}}$$

Работая, мы имеем: $${\displaystyle -\Delta ^{*}\Psi ={\bar {F}}{\frac {d{\bar {F}}}{d\Psi }}+\mu _{0}R^{2}{\frac {dp}{d\Psi }}{\text{.}}}$$

Ссылки

1. Смит, СГЛ и Хаттори, И. (2012). Осесимметричные магнитные вихри с завихрением. Сообщения по нелинейной науке и численному моделированию, 17(5), 2101-2107.

Дальнейшее чтение

• Grad, H. и Rubin, H. (1958) Hydromagnetic Equilibria and Force-Free Fields Архивировано 21 июня 2023 г. в Wayback Machine . Труды 2-й конференции ООН по мирному использованию атомной энергии, том 31, Женева: МАГАТЭ, стр. 190.
• Шафранов, В.Д. (1966) Равновесие плазмы в магнитном поле , Обзоры физики плазмы , т. 2, Нью-Йорк: Consultants Bureau, стр. 103.
• Вудс, Лесли К. (2004) Физика плазмы , Вайнхайм: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, глава 2.5.4.
• Хаверкорт, Дж. В. (2009) Осесимметричные идеальные МГД-равновесия токамака . Заметки об уравнении Грэда–Шафранова, избранных аспектах уравнения и его аналитических решениях.
• Хаверкорт, Дж. В. (2009) Осесимметричные идеальные МГД-равновесия с тороидальным потоком . Включение тороидального потока, связь с кинетическими и двухжидкостными моделями и обсуждение конкретных аналитических решений.