Уравнение электромагнитной волны

Уравнение с частными производными, используемое в физике

Уравнение электромагнитной волны — это уравнение в частных производных второго порядка , описывающее распространение электромагнитных волн в среде или в вакууме . Это трехмерная форма волнового уравнения . Однородная форма уравнения, записанная в терминах электрического поля E или магнитного поля B , имеет вид:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(v_{\mathrm {ph} }^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\\left(v_{\mathrm {ph} }^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{aligned}}}$$

где

$${\displaystyle v_{\mathrm {ph} }={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}}$$

- скорость света (т.е. фазовая скорость ) в среде с проницаемостью μ и диэлектрической проницаемостью ε , а ∇ ² - оператор Лапласа . В вакууме v _ph = c ₀ =299 792 458  м/с , фундаментальная физическая константа . ^[1] Уравнение электромагнитной волны выводится из уравнений Максвелла . В большинстве старых работ B называется плотностью магнитного потока или магнитной индукцией . Следующие уравненияпредполагают, что любая электромагнитная волна должна быть поперечной волной , где электрическое поле E и магнитное поле B перпендикулярны направлению распространения волны. $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{aligned}}}$$

Происхождение уравнения электромагнитной волны

Открытка от Максвелла Питеру Тейту .

В своей статье 1865 года под названием « Динамическая теория электромагнитного поля » Джеймс Клерк Максвелл использовал поправку к закону циркуляционного движения Ампера, которую он сделал в части III своей статьи 1861 года « О физических силовых линиях» . В части VI своей статьи 1864 года под названием «Электромагнитная теория света » ^[2] Максвелл объединил ток смещения с некоторыми другими уравнениями электромагнетизма и получил волновое уравнение со скоростью, равной скорости света. Он прокомментировал:

Согласие результатов, по-видимому, показывает, что свет и магнетизм являются проявлениями одной и той же субстанции, и что свет представляет собой электромагнитное возмущение, распространяющееся через поле в соответствии с электромагнитными законами. ^[3]

Вывод Максвелла уравнения электромагнитной волны был заменен в современном физическом образовании гораздо менее громоздким методом, включающим объединение исправленной версии закона Ампера с законом индукции Фарадея .

Чтобы получить уравнение электромагнитной волны в вакууме с использованием современного метода, мы начинаем с современной формы уравнений Максвелла «Хевисайда» . В вакуумном и свободном от заряда пространстве эти уравнения имеют вид:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\end{aligned}}}$$

Это общие уравнения Максвелла, специализированные для случая, когда заряд и ток оба равны нулю. Взяв ротор из уравнений ротора, получаем:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)&=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)&=\nabla \times \left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$

Мы можем использовать векторное тождество

$${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} }$$

где V — любая векторная функция пространства. И

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {V} =\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {V} \right)}$$

где ∇ V — диадическое число , которое при обработке оператором дивергенции ∇ ⋅ дает вектор. Поскольку

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{aligned}}}$$

тогда первый член справа в тождестве обращается в нуль и мы получаем волновые уравнения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{aligned}}}$$

где

$${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\;{\textrm {m/s}}}$$

это скорость света в свободном пространстве.

Ковариантная форма однородного волнового уравнения

Замедление времени при поперечном движении. Требование постоянства скорости света в каждой инерциальной системе отсчета приводит к теории специальной теории относительности .

Эти релятивистские уравнения можно записать в контравариантной форме как

$${\displaystyle \Box A^{\mu }=0}$$

где электромагнитный четырехпотенциал равен

$${\displaystyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)}$$

с условием калибровки Лоренца :

$${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0,}$$

и где

$${\displaystyle \Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}$$

— оператор Даламбера .

Однородное волновое уравнение в искривленном пространстве-времени

Уравнение электромагнитной волны модифицируется двумя способами: производная заменяется ковариантной производной и появляется новый член, зависящий от кривизны.

$${\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0}$$

где — тензор кривизны Риччи , а точка с запятой обозначает ковариантное дифференцирование. ${\displaystyle {R^{\alpha }}_{\beta }}$

Предполагается обобщение условия калибровки Лоренца в искривленном пространстве-времени:

$${\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }=0.}$$

Уравнение неоднородной электромагнитной волны

Источниками электромагнитных волн в вакууме могут быть локализованные, изменяющиеся во времени плотности заряда и тока. Уравнения Максвелла можно записать в виде волнового уравнения с источниками. Добавление источников к волновым уравнениям делает уравнения в частных производных неоднородными.

Решения уравнения однородной электромагнитной волны

Общее решение уравнения электромагнитной волны представляет собой линейную суперпозицию волн вида

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

практически для любой хорошо ведущей себя функции g безразмерного аргумента φ , где ω — угловая частота (в радианах в секунду), а k = ( k _x , k _y , k _z ) — волновой вектор (в радианах на метр).

Хотя функция g может быть и часто является монохроматической синусоидальной волной , она не обязательно должна быть синусоидальной или даже периодической. На практике g не может иметь бесконечную периодичность, поскольку любая реальная электромагнитная волна всегда должна иметь конечную протяженность во времени и пространстве. В результате, и на основе теории разложения Фурье , реальная волна должна состоять из суперпозиции бесконечного набора синусоидальных частот.

Кроме того, для правильного решения волновой вектор и угловая частота не являются независимыми; они должны подчиняться дисперсионному соотношению :

$${\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$$

где k — волновое число , а λ — длина волны . Переменная c может использоваться в этом уравнении только тогда, когда электромагнитная волна находится в вакууме.

Монохроматический, синусоидальный стационарный

Простейший набор решений волнового уравнения получается в результате предположения синусоидальных волн одной частоты в разделимой форме:

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\Re \left\{\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}}$$

где

• i — мнимая единица ,
• ω = 2 π  f  — угловая частота в радианах в секунду ,
•  f  — частота в герцах , а
• ${\displaystyle e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)}$это формула Эйлера .

Решения плоских волн

Рассмотрим плоскость, заданную единичным нормальным вектором

$${\displaystyle \mathbf {n} ={\mathbf {k} \over k}.}$$

Тогда решения волновых уравнений в виде плоских бегущих волн имеют вид

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=\mathbf {E} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\\\mathbf {B} (\mathbf {r} )&=\mathbf {B} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\end{aligned}}}$$

где r = ( x , y , z ) — радиус-вектор (в метрах).

Эти решения представляют собой плоские волны, распространяющиеся в направлении нормального вектора n . Если мы определим направление z как направление n , а направление x как направление E , то по закону Фарадея магнитное поле лежит в направлении y и связано с электрическим полем соотношением

$${\displaystyle c^{2}{\partial B \over \partial z}={\partial E \over \partial t}.}$$

Поскольку дивергенция электрического и магнитного полей равна нулю, в направлении распространения поля отсутствуют.

Это решение является линейно поляризованным решением волновых уравнений. Существуют также циркулярно поляризованные решения, в которых поля вращаются вокруг нормального вектора.

Спектральное разложение

Из-за линейности уравнений Максвелла в вакууме решения можно разложить в суперпозицию синусоид . Это основа метода преобразования Фурье для решения дифференциальных уравнений. Синусоидальное решение уравнения электромагнитной волны принимает вид

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\end{aligned}}}$$

где

• t — время (в секундах),
• ω — угловая частота (в радианах в секунду),
• k = ( k _x , k _y , k _z ) — волновой вектор (в радианах на метр), а
• ${\displaystyle \phi _{0}}$— фазовый угол (в радианах).

Волновой вектор связан с угловой частотой соотношением

$${\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$$

где k — волновое число , а λ — длина волны .

Электромагнитный спектр представляет собой график зависимости величин поля (или энергии) от длины волны.

Расширение мультиполя

Предполагая, что монохроматические поля изменяются во времени как , и используя уравнения Максвелла для исключения B , уравнение электромагнитной волны сводится к уравнению Гельмгольца для E : ${\displaystyle e^{-i\omega t}}$

$${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} =0,\,\mathbf {B} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} ,}$$

с k = ω / c , как указано выше. В качестве альтернативы можно исключить E в пользу B , чтобы получить:

$${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {B} =0,\,\mathbf {E} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} .}$$

Общее электромагнитное поле с частотой ω можно записать как сумму решений этих двух уравнений. Трехмерные решения уравнения Гельмгольца можно выразить как разложения по сферическим гармоникам с коэффициентами, пропорциональными сферическим функциям Бесселя . Однако применение этого разложения к каждому векторному компоненту E или B даст решения, которые не являются в общем случае бездивергентными ( ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ B = 0 ), и поэтому требуют дополнительных ограничений на коэффициенты.

Мультипольное разложение обходит эту трудность, расширяя не E или B , а r ⋅ E или r ⋅ B в сферические гармоники. Эти разложения по-прежнему решают исходные уравнения Гельмгольца для E и B , поскольку для бездивергентного поля F , ∇ ² ( r ⋅ F ) = r ⋅ (∇ ² F ) . Результирующие выражения для общего электромагнитного поля следующие:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\right]\\\mathbf {B} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}\right]\,,\end{aligned}}}$$

где и являются электрическими мультипольными полями порядка (l, m) , а и являются соответствующими магнитными мультипольными полями , а a _E ( l , m ) и a _M ( l , m ) являются коэффициентами разложения. Мультипольные поля определяются как ${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(E)}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(M)}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[B_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}&={\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[E_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\\\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}&=-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\,,\end{aligned}}}$$

где h _l ^(1,2) ( x ) — сферические функции Ганкеля , E _l ^(1,2) и B _l ^(1,2) определяются граничными условиями, а

$${\displaystyle \mathbf {\Phi } _{l,m}={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}(\mathbf {r} \times \nabla )Y_{l,m}}$$

являются векторными сферическими гармониками, нормализованными таким образом, что

$${\displaystyle \int \mathbf {\Phi } _{l,m}^{*}\cdot \mathbf {\Phi } _{l',m'}d\Omega =\delta _{l,l'}\delta _{m,m'}.}$$

Мультипольное разложение электромагнитного поля находит применение в ряде задач, связанных со сферической симметрией, например, диаграммы направленности антенн или ядерный гамма-распад . В этих приложениях часто интересуются мощностью, излучаемой в дальней зоне . В этих областях поля E и B асимптотически приближаются

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &\approx {\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}+a_{M}(l,m)\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\\\mathbf {E} &\approx \mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} .\end{aligned}}}$$

Угловое распределение усредненной по времени излучаемой мощности тогда определяется выражением

$${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2k^{2}}}\left|\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\times \mathbf {\hat {r}} +a_{M}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\right|^{2}.}$$

Смотрите также

Теория и эксперимент

Приложения

Биографии

Примечания

1. Текущая практика заключается в использовании c ₀ для обозначения скорости света в вакууме согласно ISO 31. В оригинальной Рекомендации 1983 года для этой цели использовался символ c . См. NIST Special Publication 330, Приложение 2, стр. 45 Архивировано 2016-06-03 на Wayback Machine
2. Максвелл 1864, стр. 497.
3. См. Максвелл 1864, стр. 499.

Дальнейшее чтение

Электромагнетизм

Журнальные статьи

• Максвелл, Джеймс Клерк, « Динамическая теория электромагнитного поля », Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459-512 (1865). (Эта статья сопровождала выступление Максвелла перед Королевским обществом 8 декабря 1864 года.)

Учебники для бакалавриата

• Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: электричество, магнетизм, свет и элементарная современная физика (5-е изд.) . WH Freeman. ISBN 0-7167-0810-8.
• Эдвард М. Перселл, Электричество и магнетизм (McGraw-Hill, Нью-Йорк, 1985). ISBN 0-07-004908-4 . 
• Герман А. Хаус и Джеймс Р. Мелчер, Электромагнитные поля и энергия (Prentice-Hall, 1989) ISBN 0-13-249020-X . 
• Банеш Хоффман, Относительность и ее корни (Freeman, Нью-Йорк, 1983). ISBN 0-7167-1478-7 . 
• Дэвид Х. Стэлин , Энн В. Моргенталер и Джин Ау Конг, Электромагнитные волны (Prentice-Hall, 1994) ISBN 0-13-225871-4 . 
• Чарльз Ф. Стивенс, Шесть основных теорий современной физики , (MIT Press, 1995) ISBN 0-262-69188-4 . 
• Маркус Зан, Теория электромагнитного поля: подход к решению проблем , (John Wiley & Sons, 1979) ISBN 0-471-02198-9 

Учебники для аспирантов

• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Ландау, Л. Д. , Классическая теория полей ( Курс теоретической физики : Том 2), (Butterworth-Heinemann: Оксфорд, 1987). ISBN 0-08-018176-7 . 
• Максвелл, Джеймс К. (1954). Трактат об электричестве и магнетизме . Дувр. ISBN 0-486-60637-6.
• Чарльз В. Мизнер, Кип С. Торн , Джон Арчибальд Уилер , Гравитация , (1970) WH Freeman, Нью-Йорк; ISBN 0-7167-0344-0 . (Предоставляет трактовку уравнений Максвелла в терминах дифференциальных форм.) 

Векторные исчисления

• PC Matthews Vector Calculus , Springer 1998, ISBN 3-540-76180-2 
• HM Schey, Div Grad Curl и все такое: неформальный текст по векторному исчислению , 4-е издание (WW Norton & Company, 2005) ISBN 0-393-92516-1 .