В своей статье 1865 года под названием « Динамическая теория электромагнитного поля» Джеймс Клерк Максвелл использовал поправку к круговому закону Ампера, которую он сделал в части III своей статьи 1861 года « О физических силовых линиях ». В части VI своей статьи 1864 года под названием «Электромагнитная теория света» [ 2] Максвелл объединил ток смещения с некоторыми другими уравнениями электромагнетизма и получил волновое уравнение со скоростью, равной скорости света. Он прокомментировал:
Совпадение результатов, кажется, показывает, что свет и магнетизм — это явления одного и того же вещества и что свет — это электромагнитное возмущение, распространяющееся через поле в соответствии с электромагнитными законами. [3]
Вывод Максвеллом уравнения электромагнитной волны был заменен в современном физическом образовании гораздо менее громоздким методом, включающим объединение исправленной версии закона цепи Ампера с законом индукции Фарадея .
Чтобы получить уравнение электромагнитной волны в вакууме с использованием современного метода, мы начнем с современной « хевисайдовской» формы уравнений Максвелла . В вакууме и беззарядовом пространстве эти уравнения имеют вид:
Это общие уравнения Максвелла, предназначенные для случая, когда заряд и ток равны нулю. Взяв ротор из уравнений ротора, получим:
Однородное волновое уравнение в искривленном пространстве-времени
Уравнение электромагнитной волны модифицируется двумя способами: производная заменяется ковариантной производной и появляется новый член, зависящий от кривизны.
где – тензор кривизны Риччи , а точка с запятой указывает на ковариантное дифференцирование.
Локализованные изменяющиеся во времени плотности заряда и тока могут действовать как источники электромагнитных волн в вакууме. Уравнения Максвелла можно записать в виде волнового уравнения с источниками. Добавление источников в волновые уравнения делает уравнения в частных производных неоднородными.
Решения однородного уравнения электромагнитных волн
Общее решение уравнения электромагнитных волн представляет собой линейную суперпозицию волн вида
практически для любой корректной функции g с безразмерным аргументом φ , где ω — угловая частота (в радианах в секунду), а k = ( k x , ky , k z ) — волновой вектор (в радианах на метр) .
Хотя функция g может быть и часто является монохроматической синусоидальной волной , она не обязательно должна быть синусоидальной или даже периодической. На практике g не может иметь бесконечную периодичность, поскольку любая реальная электромагнитная волна всегда должна иметь конечную протяженность во времени и пространстве. В результате, согласно теории разложения Фурье , настоящая волна должна состоять из суперпозиции бесконечного набора синусоидальных частот.
Кроме того, для правильного решения волновой вектор и угловая частота не являются независимыми; они должны соответствовать дисперсионному соотношению :
где k — волновое число , а λ — длина волны . Переменную c можно использовать в этом уравнении только тогда, когда электромагнитная волна находится в вакууме.
Монохроматический, синусоидальный установившийся режим
Самый простой набор решений волнового уравнения получается в результате предположения синусоидальных сигналов одной частоты в разделимой форме:
Тогда плоские решения волновых уравнений имеют вид
где r = ( x , y , z ) — вектор положения (в метрах).
Эти решения представляют собой плоские волны, бегущие в направлении вектора нормали n . Если мы определим направление z как направление n , а направление x как направление E , то по закону Фарадея магнитное поле лежит в направлении y и связано с электрическим полем соотношением
Поскольку дивергенция электрического и магнитного полей равна нулю, в направлении распространения полей нет.
Это решение представляет собой линейно поляризованное решение волновых уравнений. Существуют также решения с круговой поляризацией, в которых поля вращаются вокруг нормального вектора.
Спектральное разложение
Из-за линейности уравнений Максвелла в вакууме решения можно разложить на суперпозицию синусоид . На этом основан метод преобразования Фурье для решения дифференциальных уравнений. Синусоидальное решение уравнения электромагнитных волн принимает вид
Электромагнитный спектр представляет собой график зависимости величин (или энергий) поля от длины волны.
Многополюсное расширение
Предполагая, что монохроматические поля изменяются во времени как , если использовать уравнения Максвелла для исключения B , уравнение электромагнитной волны сводится к уравнению Гельмгольца для E :
с k = ω / c , как указано выше. Альтернативно, можно исключить E в пользу B , чтобы получить:
Обычное электромагнитное поле с частотой ω можно записать как сумму решений этих двух уравнений. Трехмерные решения уравнения Гельмгольца можно выразить в виде разложений по сферическим гармоникам с коэффициентами, пропорциональными сферическим функциям Бесселя . Однако применение этого разложения к каждому векторному компоненту E или B даст решения, которые в общем случае не являются бездивергентными ( ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ B = 0 ), и, следовательно, потребуют дополнительных ограничений на коэффициенты.
Мультипольное разложение обходит эту трудность, разлагая не E или B , а r ⋅ E или r ⋅ B в сферические гармоники. Эти разложения по-прежнему решают исходные уравнения Гельмгольца для E и B , потому что для бездивергентного поля F ∇ 2 ( r ⋅ F ) = r ⋅ (∇ 2 F ) . Полученные выражения для общего электромагнитного поля:
где и — электрические мультипольные поля порядка (l, m) , и — соответствующие магнитные мультипольные поля , а a E ( l , m ) и a M ( l , m ) — коэффициенты разложения. Мультипольные поля имеют вид
где h l (1,2) ( x ) — сферические функции Ганкеля , E l (1,2) и B l (1,2) определяются граничными условиями, а
Мультипольное расширение электромагнитного поля находит применение в ряде задач, связанных со сферической симметрией, например диаграммы направленности антенн или ядерный гамма-распад . В этих приложениях часто интересует мощность, излучаемая в дальней зоне . В этих областях поля E и B асимптотически приближаются к
Тогда угловое распределение усредненной по времени излучаемой мощности определяется выражением
Смотрите также
Теория и эксперимент
Приложения
Биографии
Примечания
^ Текущая практика заключается в использовании c 0 для обозначения скорости света в вакууме в соответствии с ISO 31 . В исходной Рекомендации 1983 года для этой цели использовался символ c . См. специальную публикацию 330 NIST, Приложение 2, стр. 45. Архивировано 3 июня 2016 г. в Wayback Machine.
^ Максвелл 1864, стр. 497.
^ См. Максвелл 1864, стр. 499.
дальнейшее чтение
Электромагнетизм
Журнальная статья
Максвелл, Джеймс Клерк, « Динамическая теория электромагнитного поля », «Философские труды Лондонского королевского общества», 155, 459–512 (1865). (Эта статья сопровождала выступление Максвелла перед Королевским обществом 8 декабря 1864 года.)
Учебники для бакалавриата
Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-Х.
Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: электричество, магнетизм, свет и элементарная современная физика (5-е изд.) . У. Х. Фриман. ISBN 0-7167-0810-8.
Эдвард М. Перселл, Электричество и магнетизм (МакГроу-Хилл, Нью-Йорк, 1985). ISBN 0-07-004908-4 .
Герман А. Хаус и Джеймс Р. Мельчер, Электромагнитные поля и энергия (Прентис-Холл, 1989) ISBN 0-13-249020-X .
Банеш Хоффманн, Относительность и ее корни (Фриман, Нью-Йорк, 1983). ISBN 0-7167-1478-7 .