уравнение Абеля

Уравнение для функции, вычисляющей повторяющиеся значения

Уравнение Абеля , названное в честь Нильса Хенрика Абеля , представляет собой разновидность функционального уравнения вида

${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}$

или

${\displaystyle \alpha (f(x))=\alpha (x)+1}$.

Формы эквивалентны, когда α обратимо . h или α управляют итерацией f .​

Эквивалентность

Второе уравнение можно записать

${\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.}$

Взяв x = α ⁻¹ ( y ) , уравнение можно записать

${\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.}$

Для известной функции f ( x ) задача состоит в том, чтобы решить функциональное уравнение для функции α ⁻¹ ≡ h , возможно удовлетворяющее дополнительным требованиям, например α ⁻¹ (0) = 1 .

Замена переменных sα ^{( x )} = Ψ( x ) для вещественного параметра s приводит ^{уравнение} Абеля к знаменитому уравнению Шредера , Ψ( f ( x )) = s  Ψ( x ) .

Дальнейшее изменение F ( x ) = exp( s ^{α ( x )} ) в уравнение Бетчера , F ( f ( x )) = F ( x ) ^s .

Уравнение Абеля является частным случаем (и легко обобщается) уравнения переноса , ^[1]

${\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,}$

например, для , ${\displaystyle \omega (x,1)=f(x)}$

${\displaystyle \omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)}$. (Обратите внимание : ω ( x ,0) = x .)

Функция Абеля α ( x ) дополнительно обеспечивает каноническую координату для адвективных потоков Ли ( группы Ли с одним параметром ).

История

Первоначально сообщалось об уравнении в более общем виде ^{[2] [3]} . Даже в случае одной переменной уравнение нетривиально и допускает специальный анализ. ^{[4] [5] [6]}

В случае линейной передаточной функции решение компактно выражается. ^[7]

Особые случаи

Уравнение тетрации является частным случаем уравнения Абеля с f = exp .

В случае целочисленного аргумента уравнение кодирует рекуррентную процедуру, например:

${\displaystyle \alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,}$

и так далее,

${\displaystyle \alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~.}$

Решения

Уравнение Абеля имеет по крайней мере одно решение тогда и только тогда, когда для всех и всех , , где , – функция , повторяемая n раз . ^[8] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f^{n}(x)\neq x}$ ${\displaystyle f^{n}=f\circ f\circ ...\circ f}$

Аналитические решения (координаты Фату) можно аппроксимировать асимптотическим разложением функции, определяемой степенным рядом, в секторах вокруг параболической неподвижной точки . ^[9] Аналитическое решение единственно с точностью до константы. ^[10]

Смотрите также

• Функциональное уравнение
  • Уравнение Шредера
  • Уравнение Бетчера
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Итерированная функция
• Оператор смены
• Суперфункция

Рекомендации

1. Ачель, Янош , (1966): Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям , Academic Press , переиздано Dover Publications, ISBN  0486445232 .
2. Абель, Нью-Хэмпшир (1826 г.). «Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Größen x und y, wie f(x, y), welche die Eigenschaft haben, ...» Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1 :11–15.
3. А. Р. Швейцер (1912). «Теоремы о функциональных уравнениях». Бык. амер. Математика. Соц . 19 (2): 51–106. дои : 10.1090/S0002-9904-1912-02281-4 .
4. Коркин, А (1882). «Sur un problème d'interpolation», Bull Sci Math & Astron 6 (1) 228–242. В сети
5. Г. Белицкий; Ю. Любиш (1999). «Вещественно-аналитические решения функциональных уравнений Абеля» (PDF) . Студия Математика . 134 (2): 135–141.
6. Йитка Лайтохова (2007). «Групповая итерация функционального уравнения Абеля». Нелинейный анализ: гибридные системы . 1 (1): 95–102. дои : 10.1016/j.nahs.2006.04.002.
7. Г. Белицкий; Ю. Любиш (1998). «Уравнение Абеля и полная разрешимость линейных функциональных уравнений» (PDF) . Студия Математика . 127 : 81–89.
8. Р. Тамбс Личе, Sur l'équation fonctionnelle d'Abel, Университет Трондлима, Норвегия
9. Дудко, Артем (2012). Динамика голоморфных отображений: возрождение координат Фату и поливременная вычислимость множеств Жюлиа. Тезис
10. Классификации параболических ростков и фрактальные свойства орбит Майи Ресман, Загребский университет, Хорватия