Уравнение Бассе–Буссинеска–Осена

Уравнение, описывающее движение частиц в нестационарном потоке жидкости с низким числом Рейнольдса

В гидродинамике уравнение Бассета -Буссинеска-Озеена ( уравнение BBO ) описывает движение — и силы, действующие на — небольшую частицу в нестационарном потоке при низких числах Рейнольдса . Уравнение названо в честь Джозефа Валентина Буссинеска , Альфреда Барнарда Бассета и Карла Вильгельма Озеена .

Формулировка

Уравнение BBO в формулировке, данной Чжу и Фанем (1998, стр. 18–27) и Су (1990), относится к небольшой сферической частице диаметром со средней плотностью , центр которой расположен в точке . Частица движется с лагранжевой скоростью в жидкости с плотностью , динамической вязкостью и эйлеровым полем скорости . Поле скорости жидкости, окружающее частицу, состоит из невозмущенного локального эйлерова поля скорости плюс поля возмущения, созданного присутствием частицы и ее движением относительно невозмущенного поля Для очень малого диаметра частицы последнее локально является константой, значение которой задается невозмущенным эйлеровым полем, оцененным в месте расположения центра частицы, . Малый размер частицы также подразумевает, что возмущенный поток может быть найден в пределе очень малого числа Рейнольдса, что приводит к силе сопротивления, заданной сопротивлением Стокса . Неустойчивость потока относительно частицы приводит к вкладам силы присоединенной массы и силы Бассе . Уравнение BBO гласит: ${\displaystyle d_{p}}$ ${\displaystyle \rho _{p}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{p}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}_{p}(t)={\text{d}}{\boldsymbol {X}}_{p}/{\text{d}}t}$ ${\displaystyle \rho _{f}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}.}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}_{f}(t)={\boldsymbol {u}}_{f}({\boldsymbol {X}}_{p}(t),t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{6}}\rho _{p}d_{p}^{3}{\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {U}}_{p}}{{\text{d}}t}}&=\underbrace {3\pi \mu d_{p}\left({\boldsymbol {U}}_{f}-{\boldsymbol {U}}_{p}\right)} _{\text{term 1}}-\underbrace {{\frac {\pi }{6}}d_{p}^{3}{\boldsymbol {\nabla }}p} _{\text{term 2}}+\underbrace {{\frac {\pi }{12}}\rho _{f}d_{p}^{3}\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\boldsymbol {U}}_{f}-{\boldsymbol {U}}_{p}\right)} _{\text{term 3}}\\&+\underbrace {{\frac {3}{2}}d_{p}^{2}{\sqrt {\pi \rho _{f}\mu }}\int _{t_{_{0}}}^{t}{\frac {1}{\sqrt {t-\tau }}}\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}\tau }}\left({\boldsymbol {U}}_{f}-{\boldsymbol {U}}_{p}\right)\,{\text{d}}\tau } _{\text{term 4}}+\underbrace {\sum _{k}{\boldsymbol {F}}_{k}} _{\text{term 5}}.\end{aligned}}}$

Это второй закон Ньютона , в котором левая часть — скорость изменения линейного импульса частицы , а правая часть — сумма сил, действующих на частицу. Члены в правой части соответственно: ^[1]

1. Сопротивление Стокса,
2. Сила Фруда–Крылова, обусловленная градиентом давления в невозмущенном потоке, с оператором градиента и невозмущенным полем давления, ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}$
3. добавленная масса,
4. Бассет-форс и
5. другие силы, действующие на частицу, такие как гравитация и т. д.

Число Рейнольдса для частиц ${\displaystyle R_{e}:}$

${\displaystyle R_{e}={\frac {\max \left\{\left|{\boldsymbol {U}}_{p}-{\boldsymbol {U}}_{f}\right|\right\}\,d_{p}}{\mu /\rho _{f}}}}$

должно быть меньше единицы , чтобы уравнение BBO давало адекватное представление сил, действующих на частицу. ^[2] ${\displaystyle R_{e}<1}$

Также Чжу и Фань (1998, стр. 18–27) предлагают оценивать градиент давления с помощью уравнений Навье–Стокса :

${\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla }}p=\rho _{f}{\frac {{\text{D}}{\boldsymbol {u}}_{f}}{{\text{D}}t}}-\mu \nabla ^{2}{\boldsymbol {u}}_{f},}$

с материальной производной Обратите внимание , что в уравнениях Навье–Стокса — это поле скорости жидкости, тогда как, как указано выше, в уравнении BBO — это скорость невозмущенного потока, как ее видит наблюдатель, движущийся вместе с частицей. Таким образом, даже в стационарном эйлеровом потоке зависит от времени, если эйлерово поле неоднородно. ${\displaystyle {\text{D}}{\boldsymbol {u}}_{f}/{\text{D}}t}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}.}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}_{f}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}}$

Примечания

1. Чжу и Фань (1998, стр. 18–27)
2. Crowe, CT; Trout, TR; Chung, JN (1995). "Глава XIX – Взаимодействие частиц с вихрями". В Green, Sheldon I. (ред.). Fluid Vortices . Springer. стр. 831. ISBN 9780792333760.

Ссылки

• Чжу, Чао; Фань, Лян-Ши (1998). "Глава 18 – Многофазный поток: газ/твердое тело". В Джонсон, Ричард У. (ред.). Справочник по гидродинамике . Springer. ISBN 9783540646129.
• Су, Шао Л. (1990). Динамика многофазной жидкости . Ashgate Publishing. ISBN 9780566090332.