Уравнение Бенджамина–Бона–Махони

Анимация нагона двух одиночных волн согласно уравнению Бенджамина–Бона–Махони (BBM). Высоты одиночных волн составляют 1,2 и 0,6 соответственно, а их скорости — 1,4 и 1,2.

Верхний график — для системы отсчета, движущейся со средней скоростью одиночных волн. Огибающая догоняющих волн показана серым цветом: обратите внимание, что максимальная высота волны уменьшается во время взаимодействия.

Нижний график (с другим вертикальным масштабом и в неподвижной системе отсчета) показывает колебательный хвост, создаваемый взаимодействием. ^[1] Таким образом, решения уравнения BBM в виде уединенных волн не являются солитонами .

Уравнение Бенджамина–Бона–Махони ( уравнение BBM , также регуляризованное уравнение длинных волн ; RLWE ) — это уравнение в частных производных

${\displaystyle u_{t}+u_{x}+uu_{x}-u_{xxt}=0.\,}$

Это уравнение было изучено в Benjamin , Bona и Mahony (1972) как усовершенствование уравнения Кортевега–де Фриза (уравнение KdV) для моделирования длинных поверхностных гравитационных волн малой амплитуды, распространяющихся однонаправленно в 1+1 измерениях. Они показывают устойчивость и единственность решений уравнения BBM. Это контрастирует с уравнением KdV, которое нестабильно в своих компонентах с высоким волновым числом . Кроме того, в то время как уравнение KdV имеет бесконечное число интегралов движения , уравнение BBM имеет только три. ^{[2] [3]}

Ранее, в 1966 году, это уравнение было введено Перегрином при изучении волновых каналов . ^[4]

Обобщенная n -мерная версия представлена ​​как ^{[5] [6]}

${\displaystyle u_{t}-\nabla ^{2}u_{t}+\operatorname {div} \,\varphi (u)=0.\,}$

где — достаточно гладкая функция от до . Аврин и Голдштейн (1985) доказали глобальное существование решения во всех измерениях. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Решение одиночной волны

Уравнение BBM имеет уединенные волновые решения вида: ^[3]

${\displaystyle u=3{\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}\operatorname {sech} ^{2}{\frac {1}{2}}\left(cx-{\frac {ct}{1-c^{2}}}+\delta \right),}$

где sech — гиперболическая секущая функция, а — сдвиг фазы (на начальное горизонтальное смещение). Для уединенные волны имеют положительное возвышение гребня и движутся в положительном направлении со скоростью Эти уединенные волны не являются солитонами , т.е. после взаимодействия с другими уединенными волнами образуется колебательный хвост, и уединенные волны изменились. ^{[1] [3]} ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle |c|<1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/(1-c^{2}).}$

Гамильтонова структура

Уравнение BBM имеет гамильтонову структуру , поскольку его можно записать как: ^[7]

${\displaystyle u_{t}=-{\mathcal {D}}{\frac {\delta H}{\delta u}},\,}$с гамильтонианом и оператором ${\displaystyle H=\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\tfrac {1}{2}}u^{2}+{\tfrac {1}{6}}u^{3}\right)\,{\text{d}}x\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}=\left(1-\partial _{x}^{2}\right)^{-1}\,\partial _{x}.}$

Здесь — вариация гамильтониана по , а — частный дифференциальный оператор по ${\displaystyle \delta H/\delta u}$ ${\displaystyle H(u)}$ ${\displaystyle u(x),}$ ${\displaystyle \partial _{x}}$ ${\displaystyle x.}$

Законы сохранения

Уравнение BBM обладает ровно тремя независимыми и нетривиальными законами сохранения . ^[3] Первый заменяется на в уравнении BBM, что приводит к эквивалентному уравнению: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u=-v-1}$

${\displaystyle v_{t}-v_{xxt}=v\,v_{x}.}$

Тогда три закона сохранения таковы: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{t}-\left(v_{xt}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}\right)_{x}&=0,\\\left({\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\tfrac {1}{2}}v_{x}^{2}\right)_{t}-\left(v\,v_{xt}+{\tfrac {1}{3}}v^{3}\right)_{x}&=0,\\\left({\tfrac {1}{3}}v^{3}\right)_{t}+\left(v_{t}^{2}-v_{xt}^{2}-v^{2}\,v_{xt}-{\tfrac {1}{4}}v^{4}\right)_{x}&=0.\end{aligned}}}$

Что можно легко выразить в терминах, используя ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v=-u-1.}$

Линейная дисперсия

Линеаризованная версия уравнения BBM выглядит следующим образом:

${\displaystyle u_{t}+u_{x}-u_{xxt}=0.}$

Периодические решения в виде прогрессивной волны имеют вид:

${\displaystyle u=a\,\mathrm {e} ^{i(kx-\omega t)},}$

с волновым числом и угловой частотой . Дисперсионное соотношение линеаризованного уравнения BBM имеет вид ^[2] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega _{\mathrm {BBM} }={\frac {k}{1+k^{2}}}.}$

Аналогично, для линеаризованного уравнения КдФ дисперсионное соотношение имеет вид: ^[2] ${\displaystyle u_{t}+u_{x}+u_{xxx}=0}$

${\displaystyle \omega _{\mathrm {KdV} }=k-k^{3}.}$

Это становится неограниченным и отрицательным для и то же самое относится к фазовой скорости и групповой скорости Следовательно, уравнение КдФ дает волны, распространяющиеся в отрицательном -направлении для больших волновых чисел (короткие длины волн ). Это противоречит его цели как приближения для однонаправленных волн, распространяющихся в положительном -направлении. ^[2] ${\displaystyle k\to \infty ,}$ ${\displaystyle \omega _{\mathrm {KdV} }/k}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \omega _{\mathrm {KdV} }/\mathrm {d} k.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Сильный рост частоты и фазовой скорости с ростом волнового числа создал проблемы при численном решении уравнения КдВ, в то время как уравнение ББМ лишено этих недостатков. ^[2] ${\displaystyle \omega _{\mathrm {KdV} }}$ ${\displaystyle k}$

Примечания

1. Bona, Pritchard & Scott (1980)
2. Бенджамин , Бона и Махони (1972)
3. Олвер (1979)
4. Перегрин (1966)
5. Голдштейн и Вихноски (1980)
6. Эврин и Гольдштейн (1985)
7. Olver, PJ (1980), «О гамильтоновой структуре эволюционных уравнений», Математические труды Кембриджского философского общества , 88 (1): 71–88, Bibcode : 1980MPCPS..88...71O, doi : 10.1017/S0305004100057364, S2CID  10607644

Ссылки

• Avrin, J.; Goldstein, JA (1985), "Глобальное существование уравнения Бенджамина–Бона–Махони в произвольных размерностях", Nonlinear Analysis , 9 (8): 861–865, doi :10.1016/0362-546X(85)90023-9, MR  0799889
• Benjamin, TB ; Bona, JL ; Mahony, JJ (1972), "Model Equations for Long Waves in Nonlinear Dispersive Systems", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Серия A, Математические и физические науки , 272 (1220): 47–78, Bibcode :1972RSPTA.272...47B, doi :10.1098/rsta.1972.0032, ISSN  0962-8428, JSTOR  74079, S2CID  120673596
• Бона, Дж. Л .; Притчард, В. Г.; Скотт, Л. Р. (1980), «Взаимодействие уединенных волн», Physics of Fluids , 23 (3): 438–441, Bibcode : 1980PhFl...23..438B, doi : 10.1063/1.863011
• Goldstein, JA ; Wichnoski, BJ (1980), «Об уравнении Бенджамина–Бона–Махони в высших размерностях», Nonlinear Analysis , 4 (4): 665–675, doi :10.1016/0362-546X(80)90067-X
• Olver, PJ (1979), «Операторы Эйлера и законы сохранения уравнения BBM», Математические труды Кембриджского философского общества , 85 (1): 143–160, Bibcode : 1979MPCPS..85..143O, doi : 10.1017/S0305004100055572, S2CID  10840014
• Перегрин, Д. Х. (1966), «Расчеты развития волнообразного канала», Журнал механики жидкости , 25 (2): 321–330, Bibcode : 1966JFM....25..321P, doi : 10.1017/S0022112066001678, S2CID  122299686
• Цвиллингер, Д. (1998), Справочник по дифференциальным уравнениям (3-е изд.), Бостон, Массачусетс: Academic Press, стр. 174 и 176, ISBN 978-0-12-784396-4, МР  0977062(Предупреждение: на стр. 174 Цвиллинджер неверно формулирует уравнение Бенджамина–Бона–Махони, путая его с похожим уравнением КдФ.)