Уравнение Борна–Ланде

Уравнение Борна-Ланде является средством расчета энергии решетки кристаллического ионного соединения . В 1918 году ^[1] Макс Борн и Альфред Ланде предположили, что энергия решетки может быть получена из электростатического потенциала ионной решетки и отталкивающего потенциального члена энергии. ^[2]

E=-{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}\left(1 -{\frac {1}{n}}\right)

Где:

E = Энергия решетки.
N _A = постоянная Авогадро ;
M = постоянная Маделунга , относящаяся к геометрии кристалла;
z ⁺ = числовой заряд катиона
z ⁻ = числовой заряд аниона
e = ^{элементарный}заряд , 1,6022 × 10−19 Кл
ε ₀ = диэлектрическая проницаемость свободного пространства
4π ε ₀ = 1,112 × 10 ⁻¹⁰ C ² /(Дж·м)
r ₀ = расстояние между ближайшим катионом [ +ve ] и анионом [ -ve ].
n = показатель степени Борна, обычно число от 5 до 12, определяемое экспериментально путем измерения сжимаемости твердого тела или выведенное теоретически.

Вывод

Ионная решетка моделируется как совокупность твердых эластичных сфер, которые сжимаются вместе за счет взаимного притяжения электростатических зарядов на ионах. Они достигают наблюдаемого равновесного расстояния друг от друга за счет уравновешивающего короткодействующего отталкивания.

Электростатический потенциал

Электростатическая потенциальная энергия Ep между парой ионов одинакового и противоположного заряда равна _:

E_{\text{pair}}=-{\frac {z^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}

где

z = величина заряда одного иона

e = ^{элементарный} заряд, 1,6022 × 10−19 Кл

ε ₀ = диэлектрическая проницаемость свободного пространства

π

ε ₀ = 1,112 × 10 ⁻¹⁰ C ² /(Дж·м)

r = расстояние, разделяющее центры ионов

Для простой решетки, состоящей из ионов с равным и противоположным зарядом в соотношении 1:1, взаимодействия между одним ионом и всеми другими ионами решетки необходимо суммировать для вычисления E _M , иногда называемой энергией Маделунга или энергией решетки:

E_{\text{M}}=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r}}

где

M = постоянная Маделунга , которая связана с геометрией кристалла

r = наименьшее расстояние между двумя ионами противоположного заряда

Отталкивающий термин

Борн и Ланде предположили, что отталкивающее взаимодействие между ионами решетки будет пропорционально ⁠1/г ^н⁠ так что отталкивающий энергетический член E _R будет выражен:

E_{\text{R}}={\frac {B}{r^{n}}}

где

B = постоянная масштабирования силы отталкивающего взаимодействия

r = наименьшее расстояние между двумя ионами противоположного заряда

n = показатель степени Борна, число от 5 до 12, выражающее крутизну отталкивающего барьера

Общая энергия

Таким образом, полная интенсивная потенциальная энергия иона в решетке может быть выражена как сумма потенциалов Маделунга и отталкивания:

E(r)=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r}}+{\frac {B}{r^{n }}}

Минимизация этой энергии по отношению к r дает равновесное разделение r ₀ в терминах неизвестной константы B :

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} r}}&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}-{\frac {nB}{r^{n+1}}}\\0&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}^{2}}}-{\frac {nB}{r_{0}^{n+1}}}\\r_{0}&=\left({\frac {4\pi \epsilon _{0}nB}{z^{2}e^{2}M}}\right)^{\frac {1}{n-1}}\\B&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\пи \эпсилон _{0}n}}r_{0}^{n-1}\end{выровнено}}

Оценивая минимальную интенсивную потенциальную энергию и подставляя выражение для B через r _{0 ,} получаем уравнение Борна–Ланде:

E(r_{0})=-{\frac {Mz^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)

Рассчитанные энергии решетки

Уравнение Борна–Ланде дает представление об энергии решетки системы. ^[2]

Рожденный показатель

Показатель Борна обычно находится в диапазоне от 5 до 12. Приблизительные экспериментальные значения приведены ниже: ^[3]

Смотрите также

Ссылки

^ Браун, И. Дэвид (2002). Химическая связь в неорганической химии: модель валентности связи (Переиздание). Нью-Йорк: Oxford University Press . ISBN 0-19-850870-0.
^ ab Johnson, the Open University; RSC; под редакцией David (2002). Металлы и химические изменения (1-е изд.). Кембридж: Королевское химическое общество . ISBN 0-85404-665-8. {{cite book}}: |first=имеет общее название ( помощь )CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ «Энергия решетки» (PDF) .