Уравнения Максвелла–Блоха

Модель квантово-оптической системы

Уравнения Максвелла–Блоха , также называемые оптическими уравнениями Блоха ^[1], описывают динамику двухуровневой квантовой системы, взаимодействующей с электромагнитной модой оптического резонатора. Они аналогичны (но совсем не эквивалентны) уравнениям Блоха , описывающим движение ядерного магнитного момента в электромагнитном поле. Уравнения могут быть выведены либо полуклассически , либо с полностью квантованным полем, если сделаны определенные приближения.

Полуклассическая формулировка

Вывод полуклассических оптических уравнений Блоха почти идентичен решению двухуровневой квантовой системы (см. обсуждение там). Однако обычно эти уравнения приводят к форме матрицы плотности. Система, с которой мы имеем дело, может быть описана волновой функцией:

${\displaystyle \psi =c_{g}\psi _{g}+c_{e}\psi _{e}}$

${\displaystyle \left|c_{g}\right|^{2}+\left|c_{e}\right|^{2}=1}$

Матрица плотности :

${\displaystyle \rho ={\begin{bmatrix}\rho _{ee}&\rho _{eg}\\\rho _{ge}&\rho _{gg}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{e}c_{e}^{*}&c_{e}c_{g}^{*}\\c_{g}c_{e}^{*}&c_{g}c_{g}^{*}\end{bmatrix}}}$

(возможны и другие соглашения; это следует выводу в Metcalf (1999)). ^[2] Теперь можно решить уравнение движения Гейзенберга или перевести результаты решения уравнения Шредингера в форму матрицы плотности. Получаются следующие уравнения, включая спонтанное излучение:

${\displaystyle {\frac {d\rho _{gg}}{dt}}=\gamma \rho _{ee}+{\frac {i}{2}}(\Omega ^{*}{\bar {\rho }}_{eg}-\Omega {\bar {\rho }}_{ge})}$

${\displaystyle {\frac {d\rho _{ee}}{dt}}=-\gamma \rho _{ee}+{\frac {i}{2}}(\Omega {\bar {\rho }}_{ge}-\Omega ^{*}{\bar {\rho }}_{eg})}$

${\displaystyle {\frac {d{\bar {\rho }}_{ge}}{dt}}=-\left({\frac {\gamma }{2}}+i\delta \right){\bar {\rho }}_{ge}+{\frac {i}{2}}\Omega ^{*}(\rho _{ee}-\rho _{gg})}$

${\displaystyle {\frac {d{\bar {\rho }}_{eg}}{dt}}=-\left({\frac {\gamma }{2}}-i\delta \right){\bar {\rho }}_{eg}+{\frac {i}{2}}\Omega (\rho _{gg}-\rho _{ee})}$

При выводе этих формул мы определяем и . Также явно предполагалось, что спонтанное излучение описывается экспоненциальным распадом коэффициента с константой распада . — частота Раби , которая равна ${\displaystyle {\bar {\rho }}_{ge}\equiv \rho _{ge}e^{-i\delta t}}$ ${\displaystyle {\bar {\rho }}_{eg}\equiv \rho _{eg}e^{i\delta t}}$ ${\displaystyle \rho _{eg}(t)}$ ${\displaystyle {\frac {\gamma }{2}}}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega ={\vec {d_{g,e}}}\cdot {\vec {E_{0}}}/\hbar }$,

и — расстройка и измеряет, насколько далека частота света, , от перехода, . Здесь — дипольный момент перехода для перехода, а — амплитуда векторного электрического поля , включающая поляризацию (в смысле ). ${\displaystyle \delta =\omega -\omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle {\vec {d}}_{g,e}}$ ${\displaystyle g\rightarrow e}$ ${\displaystyle {\vec {E}}_{0}={\hat {\epsilon }}E_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {\vec {E_{0}}}{2}}e^{-i\omega t}+c.c.}$

Вывод из квантовой электродинамики полости

Начиная с гамильтониана Джейнса-Каммингса под когерентным приводом

${\displaystyle H=\omega _{c}a^{\dagger }a+\omega _{a}\sigma ^{\dagger }\sigma +ig(a^{\dagger }\sigma -a\sigma ^{\dagger })+iJ(a^{\dagger }e^{-i\omega _{l}t}-ae^{i\omega _{l}t})}$

где — понижающий оператор для поля полости, а — атомный понижающий оператор, записанный в виде комбинации матриц Паули . Зависимость от времени можно устранить, преобразовав волновую функцию согласно , что приводит к преобразованному гамильтониану ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{x}-i\sigma _{y}\right)}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \rightarrow \operatorname {e} ^{-i\omega _{l}t\left(a^{\dagger }a+\sigma ^{\dagger }\sigma \right)}|\psi \rangle }$

${\displaystyle H=\Delta _{c}a^{\dagger }a+\Delta _{a}\sigma ^{\dagger }\sigma +ig(a^{\dagger }\sigma -a\sigma ^{\dagger })+iJ(a^{\dagger }-a)}$

где . В настоящее время гамильтониан имеет четыре члена. Первые два — это собственная энергия атома (или другой двухуровневой системы) и поле. Третий член — это член взаимодействия, сохраняющий энергию, позволяющий полости и атому обмениваться заселенностью и когерентностью. Эти три члена сами по себе порождают лестницу Джейнса-Каммингса одетых состояний и связанную с ней ангармоничность в энергетическом спектре. Последний член моделирует связь между модой полости и классическим полем, т. е. лазером. Сила привода задается в терминах мощности, передаваемой через пустую двухстороннюю полость, как , где — ширина линии полости. Это проливает свет на важный момент, касающийся роли диссипации в работе лазера или другого устройства CQED ; диссипация — это средство, с помощью которого система (связанный атом/полость) взаимодействует со своей средой. С этой целью диссипация включается путем формулирования проблемы в терминах основного уравнения, где последние два члена находятся в форме Линдблада ${\displaystyle \Delta _{i}=\omega _{i}-\omega _{l}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J={\sqrt {2P(\Delta _{c}^{2}+\kappa ^{2})/(\omega _{c}\kappa )}}}$ ${\displaystyle 2\kappa }$

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-i[H,\rho ]+2\kappa \left(a\rho a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(a^{\dagger }a\rho +\rho a^{\dagger }a\right)\right)+2\gamma \left(\sigma \rho \sigma ^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{\dagger }\sigma \rho +\rho \sigma ^{\dagger }\sigma \right)\right)}$

Уравнения движения для ожидаемых значений операторов могут быть выведены из основного уравнения по формулам и . Уравнения движения для , , и , поля полости, атомной когерентности и атомной инверсии соответственно, имеют вид ${\displaystyle \langle O\rangle =\operatorname {tr} \left(O\rho \right)}$ ${\displaystyle \langle {\dot {O}}\rangle =\operatorname {tr} \left(O{\dot {\rho }}\right)}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle \langle \sigma \rangle }$ ${\displaystyle \langle \sigma _{z}\rangle }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle a\rangle =i\left(-\Delta _{c}\langle a\rangle -ig\langle \sigma \rangle -iJ\right)-\kappa \langle a\rangle }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \sigma \rangle =i\left(-\Delta _{a}\langle \sigma \rangle -ig\langle a\sigma _{z}\rangle \right)-\gamma \langle \sigma \rangle }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \sigma _{z}\rangle =-2g\left(\langle a^{\dagger }\sigma \rangle +\langle a\sigma ^{\dagger }\rangle \right)-2\gamma \langle \sigma _{z}\rangle -2\gamma }$

На этом этапе мы создали три из бесконечной лестницы связанных уравнений. Как видно из третьего уравнения, необходимы корреляции более высокого порядка. Дифференциальное уравнение для временной эволюции будет содержать ожидаемые значения произведений операторов более высокого порядка, что приведет к бесконечному набору связанных уравнений. Мы эвристически делаем приближение, что ожидаемое значение произведения операторов равно произведению ожидаемых значений отдельных операторов. Это похоже на предположение, что операторы некоррелированы, и является хорошим приближением в классическом пределе. Оказывается, что полученные уравнения дают правильное качественное поведение даже в режиме одиночного возбуждения. Кроме того, для упрощения уравнений мы делаем следующие замены ${\displaystyle \langle a^{\dagger }\sigma \rangle }$

${\displaystyle \langle a\rangle =(\gamma /{\sqrt {2}}g)x}$

${\displaystyle \langle \sigma \rangle =-p/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \langle \sigma _{z}\rangle =-D}$

${\displaystyle \Theta =\Delta _{c}/\kappa }$

${\displaystyle C=g^{2}/2\kappa \gamma }$

${\displaystyle y={\sqrt {2}}gJ/\kappa \gamma }$

${\displaystyle \Delta =\Delta _{a}/\gamma }$

И уравнения Максвелла–Блоха можно записать в их окончательном виде

${\displaystyle {\dot {x}}=\kappa \left(-2Cp+y-(i\Theta +1)x\right)}$

${\displaystyle {\dot {p}}=\gamma \left(-(1+i\Delta )p+xD\right)}$

${\displaystyle {\dot {D}}=\gamma \left(2(1-D)-(x^{*}p+xp^{*})\right)}$

Применение: взаимодействие атома и лазера

В рамках дипольного приближения и приближения вращающейся волны динамика атомной матрицы плотности при взаимодействии с лазерным полем описывается оптическим уравнением Блоха, действие которого можно разделить на две части: ^[3] оптическую дипольную силу и силу рассеяния. ^[4]

Смотрите также

• Атомный электронный переход
• система Лоренца
• Уравнения Блоха для полупроводников

Ссылки

1. Арекки, Ф.; Бонифачо, Р. (1965). «Теория оптических мазерных усилителей». IEEE Journal of Quantum Electronics . 1 (4): 169–178. doi :10.1109/JQE.1965.1072212. ISSN  0018-9197.
2. Меткалф, Гарольд. Лазерное охлаждение и улавливание Springer 1999 стр. 24-
3. Рой, Ричард (2017). "Иттербий и литий квантовые газы: гетероядерные молекулы и сверхтекучие смеси Бозе-Ферми" (PDF) . Исследования ультрахолодных атомов и молекул в Университете Вашингтона .
4. Фут, Кристофер (2005). Атомная физика . Oxford University Press. С. 137, 198–199.