Уравнение Пуассона–Больцмана

Уравнение, используемое для физиологических интерфейсов, полимерной науки и полупроводников.

Уравнение Пуассона–Больцмана описывает распределение электрического потенциала в растворе в направлении, нормальном к заряженной поверхности. Это распределение важно для определения того, как электростатические взаимодействия будут влиять на молекулы в растворе. Уравнение Пуассона–Больцмана выводится с помощью предположений о среднем поле . ^{[1] [2]} Из уравнения Пуассона–Больцмана было выведено много других уравнений с рядом различных предположений.

Происхождение

Предыстория и происхождение

Уравнение Пуассона-Больцмана описывает модель, предложенную независимо Луи Жоржем Гуи и Дэвидом Леонардом Чепменом в 1910 и 1913 годах соответственно. ^[3] В модели Гуи-Чепмена заряженное твердое тело вступает в контакт с ионным раствором, создавая слой поверхностных зарядов и противоионов или двойной слой . ^[4] Из-за теплового движения ионов слой противоионов представляет собой диффузный слой и более протяженный, чем один молекулярный слой, как ранее предполагал Герман Гельмгольц в модели Гельмгольца. ^[3] Модель слоя Штерна идет на шаг дальше и учитывает конечный размер иона.

Модель Гуи–Чепмена объясняет емкостные качества электрического двойного слоя. ^[4] Простой плоский случай с отрицательно заряженной поверхностью можно увидеть на рисунке ниже. Как и ожидалось, концентрация противоионов выше вблизи поверхности, чем в объеме раствора.

Простой плоский случай для модели Гуи–Чепмена

Уравнение Пуассона–Больцмана описывает электрохимический потенциал ионов в диффузном слое. Трехмерное распределение потенциала можно описать уравнением Пуассона ^[4] , где $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-{\frac {\rho _{e}}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}},}$$

• ${\displaystyle \rho _{e}}$- локальная плотность электрического заряда в Кл/м ³ ,
• ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$- диэлектрическая проницаемость ( относительная диэлектрическая проницаемость ) растворителя,
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$- диэлектрическая проницаемость свободного пространства,
• ψ — электрический потенциал .

Свобода движения ионов в растворе может быть учтена статистикой Больцмана . Уравнение Больцмана используется для расчета локальной плотности ионов таким образом, что где $${\displaystyle c_{i}=c_{i}^{0}\cdot e^{\frac {-W_{i}}{k_{\mathrm {B} }T}},}$$

• ${\displaystyle c_{i}^{0}}$— концентрация ионов в объеме, ^[8]
• ${\displaystyle W_{i}}$это работа, необходимая для перемещения иона ближе к поверхности с бесконечно большого расстояния,
• ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$постоянная Больцмана ,
• ${\displaystyle T}$температура в градусах Кельвина .

Уравнение для локальной плотности ионов можно подставить в уравнение Пуассона, предположив, что совершаемая работа представляет собой только электрическую работу, что наш раствор состоит из соли 1:1 (например, NaCl), и что концентрация соли намного выше концентрации ионов. ^[4] Электрическая работа по перемещению заряженного катиона или заряженного аниона на поверхность с потенциалом ψ может быть представлена ​​как и соответственно. ^[4] Эти уравнения работы можно подставить в уравнение Больцмана, получив два выражения и , где e — заряд электрона, 1,602 × 10 ${\displaystyle W^{+}=e\psi }$ ${\displaystyle W^{-}=-e\psi }$ $${\displaystyle c^{-}=c_{0}\cdot e^{\frac {e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}}$$ ${\displaystyle c^{+}=c_{0}\cdot e^{\frac {-e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}}$⁻¹⁹ кулонов.

Подставляя эти соотношения Больцмана в выражение локальной плотности электрического заряда, можно получить следующее выражение $${\displaystyle \rho _{e}=e{(c^{+}-c^{-})}=c_{0}e\cdot \left[e^{\frac {-e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}-e^{\frac {e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}\right].}$$

Наконец, плотность заряда можно подставить в уравнение Пуассона, чтобы получить уравнение Пуассона–Больцмана. ^[4]

Связанные теории

Уравнение Пуассона–Больцмана может принимать различные формы в различных научных областях. В биофизике и некоторых приложениях химии поверхности оно известно просто как уравнение Пуассона–Больцмана. ^[9] Оно также известно в электрохимии как теория Гуи-Чепмена; в химии растворов как теория Дебая–Хюккеля ; в коллоидной химии как теория Дерягина–Ландау–Фервея–Овербека (DLVO) . ^[9] Для применения уравнения Пуассона–Больцмана к различным моделям интерфейса необходимы лишь незначительные изменения, что делает его весьма полезным инструментом для определения электростатического потенциала на поверхностях. ^[4]

Аналитическое решение

Поскольку уравнение Пуассона–Больцмана является частным дифференциалом второго порядка, его обычно решают численно ; однако при определенных геометриях его можно решить аналитически.

Геометрии

Геометрия, которая наиболее легко способствует этому, — это плоская поверхность. В случае бесконечно протяженной плоской поверхности есть два измерения, в которых потенциал не может измениться из-за симметрии. Предполагая, что эти измерения — измерения y и z, остается только измерение x. Ниже приведено уравнение Пуассона–Больцмана, решенное аналитически в терминах производной второго порядка по x. ^[4]

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {c_{0}e}{\varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot \left[e^{\frac {e\psi (x)}{k_{\mathrm {B} }T}}-e^{\frac {-e\psi (x)}{k_{\mathrm {B} }T}}\right]}$$

Аналитические решения были также найдены для осевых и сферических случаев в конкретном исследовании. ^[10] Уравнение имеет форму логарифма степенного ряда и выглядит следующим образом: $${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dr^{2}}}+{\frac {L}{r}}{\frac {d\psi }{dr}}=e^{\psi }-\delta e^{-\psi }}$$

Он использует безразмерный потенциал , а длины измеряются в единицах радиуса электрона Дебая в области нулевого потенциала (где обозначает плотность числа отрицательных ионов в области нулевого потенциала). Для сферического случая L=2, аксиального случая L=1 и плоского случая L=0. ${\displaystyle \psi ={\frac {e\Phi }{kT}}}$ ${\displaystyle R_{eD}={\sqrt {\frac {kT}{4\pi e^{2}n_{e0}}}}}$ ${\displaystyle n_{e0}}$

Случаи с низким и высоким потенциалом

При использовании уравнения Пуассона–Больцмана важно определить, является ли конкретный случай низким или высоким потенциалом . Случай высокого потенциала становится более сложным, поэтому, если применимо, используйте уравнение низкого потенциала. В условиях низкого потенциала линеаризованная версия уравнения Пуассона–Больцмана (показано ниже) действительна, и она обычно используется, поскольку она более проста и охватывает широкий спектр случаев. ^[11] ${\displaystyle \psi =\psi _{0}e^{-\mathrm {K} x}}$

Низкопотенциальные условия

Строго говоря, низкий потенциал означает, что ; однако результаты, которые дают уравнения, справедливы для более широкого диапазона потенциалов, от 50 до 80 мВ. ^[4] Тем не менее, при комнатной температуре, и это, как правило, стандарт. ^[4] Некоторые граничные условия, которые применяются в случаях низкого потенциала, таковы: на поверхности потенциал должен быть равен поверхностному потенциалу, а на больших расстояниях от поверхности потенциал стремится к нулевому значению. Эта длина затухания расстояния получается из уравнения длины Дебая . ^[4] ${\displaystyle e\left\vert \psi \right\vert \ll k_{\mathrm {B} }T}$ ${\displaystyle \psi \leq \mathrm {25mV} }$ ${\displaystyle \lambda _{D}}$

$${\displaystyle \mathrm {K} ={\sqrt {\frac {2c_{0}e^{2}}{\varepsilon \varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}}}$$

$${\displaystyle \lambda _{D}=\mathrm {K} ^{-1}}$$

По мере увеличения концентрации соли длина Дебая уменьшается из-за того, что ионы в растворе экранируют поверхностный заряд. ^[12] Особый случай этого уравнения — случай воды с одновалентной солью. ^[4] Тогда уравнение длины Дебая имеет вид: ${\displaystyle 25^{\circ }C}$

$${\displaystyle \lambda _{D}={\frac {\mathrm {0.304nm} }{\sqrt {c_{0}}}}}$$

где — концентрация соли в моль/л. Все эти уравнения требуют случаев концентрации соли 1:1, но если присутствуют ионы с более высокой валентностью, используется следующий случай. ^[4] ${\displaystyle c_{0}}$

$${\displaystyle \mathrm {K} ={\sqrt {{\frac {e^{2}}{\varepsilon \varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}\sum c_{i}{Z_{i}}^{2}}}}$$

Дело с высоким потенциалом

Случай высокого потенциала называется «полным одномерным случаем». Для получения уравнения используется общее решение уравнения Пуассона–Больцмана, а случай низких потенциалов опускается. Уравнение решается с безразмерным параметром , который не следует путать с символом пространственной координаты y. ^[4] Используя несколько тригонометрических тождеств и граничных условий, что на больших расстояниях от поверхности безразмерный потенциал и его производная равны нулю, раскрывается уравнение высокого потенциала. ^[4] ${\displaystyle y\equiv {\frac {e\psi }{k_{B}T}}}$

$${\displaystyle e^{-\mathrm {K} x}={\frac {(e^{y/2}-1)(e^{y_{0}/2}+1)}{(e^{y/2}+1)(e^{y_{0}/2}-1)}}}$$

Решенное уравнение показано ниже. ${\displaystyle e^{y/2}}$

$${\displaystyle e^{y/2}={\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}}}$$

Чтобы получить более полезное уравнение, облегчающее построение графиков распределений высокого потенциала, возьмите натуральный логарифм обеих сторон и решите его относительно безразмерного потенциала y.

$${\displaystyle y=2\ln {\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}}}$$

Зная, что , подставим это вместо y в предыдущее уравнение и решим относительно . Получается следующее уравнение. ${\displaystyle y\equiv {\frac {e\psi }{k_{B}T}}}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \psi ={\frac {2k_{B}T}{e}}\cdot \ln {\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}}}$$

$${\displaystyle y_{0}={\frac {e\psi _{0}}{k_{B}T}}}$$

Условия

В случаях низкого потенциала можно использовать уравнение высокого потенциала, и оно все равно даст точные результаты. По мере повышения потенциала линейный случай низкого потенциала переоценивает потенциал как функцию расстояния от поверхности. Эта переоценка видна на расстояниях, меньших половины длины Дебая , где спад круче экспоненциального спада. На следующем рисунке используются линеаризованное уравнение и графическое уравнение высокого потенциала, выведенное выше. Это график зависимости потенциала от расстояния для различных поверхностных потенциалов 50, 100, 150 и 200 мВ. Уравнения, используемые на этом рисунке, предполагают раствор NaCl 80 мМ.

Потенциал против расстояния для различных поверхностных потенциалов 50, 100, 150 и 200 мВ. Уравнения, используемые на этом рисунке, предполагают 80 мМ раствор NaCl.

Общие приложения

Уравнение Пуассона–Больцмана может применяться в различных областях, главным образом как инструмент моделирования для создания приближений для таких приложений, как заряженные биомолекулярные взаимодействия, динамика электронов в полупроводниках или плазме и т. д. Большинство приложений этого уравнения используются в качестве моделей для получения более глубокого понимания электростатики .

Физиологическое применение

Уравнение Пуассона-Больцмана может быть применено к биомолекулярным системам. Одним из примеров является связывание электролитов с биомолекулами в растворе. Этот процесс зависит от электростатического поля, генерируемого молекулой, электростатического потенциала на поверхности молекулы, а также электростатической свободной энергии. ^[13]

Линеаризованное уравнение Пуассона-Больцмана может быть использовано для расчета электростатического потенциала и свободной энергии высокозаряженных молекул, таких как тРНК в ионном растворе с различным числом связанных ионов при различных физиологических ионных силах. Показано, что электростатический потенциал зависит от заряда молекулы, в то время как электростатическая свободная энергия учитывает чистый заряд системы. ^[14]

Другим примером использования уравнения Пуассона-Больцмана является определение профиля электрического потенциала в точках, перпендикулярных фосфолипидному бислою эритроцита . При этом учитываются как гликокаликсный , так и спектриновый слои мембраны эритроцита. Эта информация полезна по многим причинам, включая изучение механической стабильности мембраны эритроцита. ^[15]

Электростатическая свободная энергия

Уравнение Пуассона–Больцмана можно также использовать для расчета электростатической свободной энергии для гипотетической зарядки сферы с использованием следующего интеграла зарядки: где — конечный заряд на сфере $${\displaystyle \Delta G^{\text{el}}=\int ^{\tau }qU(\tau ')\,d\tau '}$$ ${\displaystyle \tau q}$

Электростатическая свободная энергия может быть также выражена с помощью процесса зарядной системы. Следующее выражение использует химический потенциал молекул растворенного вещества и реализует уравнение Пуассона-Больцмана с функционалом Эйлера-Лагранжа : $${\displaystyle \Delta G^{\text{el}}=\int _{V}\left(kT\sum _{i}c_{i}^{\infty }\left[1-\exp \left({\frac {-z_{i}qU}{kT}}\right)\right]+p^{f}U-{\frac {-\varepsilon ({\boldsymbol {\nabla }}U)^{2}}{8\pi }}\right)dV}$$

Обратите внимание, что свободная энергия не зависит от пути зарядки [5c].

Вышеприведенное выражение можно переписать в виде отдельных членов свободной энергии на основе различных вкладов в общую свободную энергию, где $${\displaystyle \Delta G^{\text{el}}=\Delta G^{\text{ef}}+\Delta G^{\text{em}}+\Delta G^{\text{mob}}+\Delta G^{\text{solv}}}$$

• Электростатические фиксированные заряды = ${\displaystyle \Delta G^{\text{ef}}=\int _{V}{\frac {p^{f}U}{2}}dV}$
• Электростатические подвижные заряды = ${\displaystyle \Delta G^{\text{em}}=\int _{V}{\frac {\sum _{i}c_{i}z_{i}qU}{2}}dV}$
• Энтропийная свободная энергия смешения мобильных видов = ${\displaystyle \Delta G^{\text{mob}}=kT\int _{V}c_{i}\ln {\frac {c_{i}}{c_{i}^{\infty }}}dV}$
• Энтропийная свободная энергия смешения растворителя = ${\displaystyle \Delta G^{\text{solv}}=kT\int _{V}\sum _{i}c_{i}^{\infty }\left[1-\exp \left({\frac {-z_{i}qU}{kT}}\right)\right]dV}$

Наконец, объединив последние три члена, получим следующее уравнение, представляющее вклад внешнего пространства в интеграл плотности свободной энергии: $${\displaystyle \Delta G^{\text{out}}=\Delta G^{\text{em}}+\Delta G^{\text{mob}}+\Delta G^{\text{solv}}}$$

Эти уравнения могут действовать как простые геометрические модели для биологических систем, таких как белки , нуклеиновые кислоты и мембраны. ^[13] Это включает в себя уравнения, решаемые с простыми граничными условиями, такими как постоянный поверхностный потенциал. Эти приближения полезны в таких областях, как коллоидная химия . ^[13]

Материаловедение

Аналитическое решение уравнения Пуассона–Больцмана может быть использовано для описания электрон-электронного взаимодействия в металл-диэлектрик- полупроводнике (MIS). ^[16] Это может быть использовано для описания как временной, так и позиционной зависимости диссипативных систем , таких как мезоскопическая система. Это делается путем аналитического решения уравнения Пуассона–Больцмана в трехмерном случае. Решение этого приводит к выражениям функции распределения для уравнения Больцмана и самосогласованного среднего потенциала для уравнения Пуассона . Эти выражения полезны для анализа квантового транспорта в мезоскопической системе. В туннельных переходах металл-диэлектрик-полупроводник электроны могут накапливаться близко к границе раздела между слоями, и в результате квантовый транспорт системы будет зависеть от электрон-электронных взаимодействий. ^[16] Некоторые транспортные свойства, такие как электрический ток и электронная плотность, могут быть известны путем решения для самосогласованного кулоновского среднего потенциала из электрон-электронных взаимодействий, которые связаны с электронным распределением. Поэтому важно аналитически решить уравнение Пуассона-Больцмана, чтобы получить аналитические величины в туннельных переходах МИС. ^[16] Применяя следующее аналитическое решение уравнения Пуассона-Больцмана (см. раздел 2) к туннельным переходам МИС, можно сформировать следующее выражение для выражения электронных транспортных величин, таких как электронная плотность и электрический ток $${\displaystyle f_{1}f^{0}-f_{0}+{\frac {eE_{z}\tau _{0}}{m}}{\frac {\partial f_{0}}{\partial v_{z}}}\left(1-e^{\frac {-\tau }{\tau _{0}}}\right)-\int _{0}^{t}{\frac {e}{m}}e{^{\frac {t-\tau '}{\tau _{0}}}}\nabla \rho [r-v(t-t')]\times {\frac {\partial f_{0}}{\partial v}}dt'}$$

Применяя приведенное выше уравнение к туннельному переходу MIS, электронный транспорт можно проанализировать вдоль оси z, которая перпендикулярна плоскости слоев. В этом случае выбирается переход n-типа со смещением V, приложенным вдоль оси z. Самосогласованный средний потенциал системы можно найти с помощью где $${\displaystyle \rho \rho _{1}+\rho _{2}}$$

• ${\displaystyle \rho _{1}\approx {\frac {aE_{z}}{2\lambda _{D1}}}e^{-\lambda _{D1}z}}$и
• ${\displaystyle \rho _{2}\approx {\frac {ne{\sqrt {\pi }}G(i\lambda _{D1})e^{{\frac {-t}{\tau _{0}}}-\lambda _{D1}z}}{3{\sqrt {3}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\lambda _{D1}}}\left(1-e^{1-{\sqrt {\frac {2ne^{2}t^{2}}{m\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}}}\right)}$

λ называется длиной Дебая .

Электронная плотность и электрический ток могут быть найдены путем манипуляции с уравнением 16 выше как функциями положения z. Эти величины электронного транспорта могут быть использованы для понимания различных свойств транспорта в системе.

Ограничения[4]

Как и любая приближенная модель, уравнение Пуассона–Больцмана является приближением, а не точным представлением. Было сделано несколько предположений для аппроксимации потенциала диффузного слоя. Конечный размер ионов считался незначительным, и ионы рассматривались как отдельные точечные заряды, где предполагалось, что ионы взаимодействуют со средним электростатическим полем всех своих соседей, а не с каждым соседом по отдельности. Кроме того, некулоновские взаимодействия не рассматривались, и некоторые взаимодействия не учитывались, такие как перекрытие сфер гидратации ионов в водной системе. Диэлектрическая проницаемость растворителя предполагалась постоянной, что приводило к грубому приближению, поскольку полярные молекулы не могут свободно перемещаться, когда они сталкиваются с сильным электрическим полем на твердой поверхности.

Хотя модель сталкивается с определенными ограничениями, она очень хорошо описывает электрические двойные слои. Ошибки, возникающие из-за ранее упомянутых предположений, по большей части компенсируют друг друга. Учет некулоновских взаимодействий увеличивает концентрацию ионов на поверхности и приводит к снижению поверхностного потенциала. С другой стороны, включение конечного размера ионов вызывает противоположный эффект. Уравнение Пуассона–Больцмана наиболее подходит для аппроксимации электростатического потенциала на поверхности для водных растворов одновалентных солей при концентрациях менее 0,2 М и потенциалах, не превышающих 50–80 мВ.

В пределе сильных электростатических взаимодействий теория сильной связи более применима, чем слабая связь, предполагаемая при выводе теории Пуассона-Больцмана. ^[17]

Смотрите также

• Двойной слой

Ссылки

1. Нетц, Р. Р.; Орланд, Х. (2000-02-01). «За пределами Пуассона-Больцмана: эффекты флуктуации и корреляционные функции». The European Physical Journal E . 1 (2): 203–214. arXiv : cond-mat/9902085 . Bibcode :2000EPJE....1..203N. doi :10.1007/s101890050023. ISSN  1292-8941. S2CID  119468015.
2. Аттард, Фил (2002-08-07). Термодинамика и статистическая механика: Равновесие путем максимизации энтропии. Academic Press. стр. 318. ISBN 978-0-12-066321-7.
3. Fogolari, F.; Brigo, A.; Molinari, H. (2002). «Уравнение Пуассона–Больцмана для биомолекулярной электростатики: инструмент для структурной биологии». J. Mol. Recogniz . 15 (6): 379–385. doi :10.1002/jmr.577. PMID  12501158. S2CID  17184352.
4. Батт, Х.; Граф, Л.; Каппль, М. (2006). Физика и химия интерфейсов (2-е изд.). Вайнхайм, Германия: Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40629-6.
5. New Mexico State University. "Electric Double Layer" . Получено 1 июня 2014 г.
6. Simon Fraser University. "Химия 465 Лекция 10" (PDF) . Получено 1 июня 2014 г.
7. Department of Chemical Engineering, Carnegie Mellon University. "Применение динамической модели слоя Штерна к измерениям электрофоретической подвижности частиц латекса" (PDF) . Получено 1 июня 2014 г.
8. "Электрический двойной слой". web.nmsu.edu . Получено 2018-06-01 .
9. Lu, BZ; et al. (2008). «Последний прогресс в численных методах для уравнения Пуассона-Больцмана в биофизических приложениях». Commun. Comput. Phys. 3 (5): 973–1009 [стр. 974–980].
10. Д'Ячков, LG (2005). "Аналитическое решение уравнения Пуассона–Больцмана в случаях сферической и осевой симметрии". Technical Physics Letters . 31 (3): 204–207. Bibcode :2005TePhL..31..204D. doi :10.1134/1.1894433. S2CID  120529487.
11. Tuinier, R. (2003). «Приближенные решения уравнения Пуассона–Больцмана в сферической и цилиндрической геометрии». Журнал коллоидной и интерфейсной науки . 258 (1): 45–49. Bibcode : 2003JCIS..258...45T. doi : 10.1016/S0021-9797(02)00142-X.
12. Sperelakis, N. (2012). Справочник по клеточной физиологии: молекулярный подход (3-е изд.). Сан-Диего: Acad. ISBN 978-0-12-387738-3.
13. Fogolari, Federico; Zuccato, Pierfrancesco; Esposito, Gennaro; Viglino, Paola (1999). «Биомолекулярная электростатика с линеаризованным уравнением Пуассона–Больцмана». Biophysical Journal . 76 (1): 1–16. Bibcode :1999BpJ....76....1F. doi :10.1016/S0006-3495(99)77173-0. PMC 1302495 . PMID  9876118. 
14. Грузиэль, Магдалена; Гроховский, Павел; Трильска, Иоанна (2008). «Модель Пуассона-Больцмана для тРНК». Дж. Компьютер. хим. 29 (12): 1970–1981. дои : 10.1002/jcc.20953. ПМК 2599918 . ПМИД  18432617.  
15. Cruz, Frederico AO; Vilhena, Fernando SDS; Cortez, Celia M. (2000). «Решения нелинейного уравнения Пуассона–Больцмана для мембраны эритроцитов». Brazilian Journal of Physics . 30 (2): 403–409. Bibcode : 2000BrJPh..30..403C. doi : 10.1590/S0103-97332000000200023 .
16. Чжан Ли-Чжи; Ван Чжэн-Чуань (2009). «Аналитическое решение уравнения Больцмана-Пуассона и его применение к туннельным переходам МИС». Chinese Physics B . 18 (2): 2975–2980. Bibcode :2009ChPhB..18.2975Z. doi :10.1088/1674-1056/18/7/059. S2CID  250813154.
17. Moreira, AG; Netz, RR (2000). «Теория сильной связи для распределений противоионов». Europhysics Letters . 52 (6): 705–711. arXiv : cond-mat/0009376 . Bibcode : 2000EL.....52..705M. doi : 10.1209/epl/i2000-00495-1. S2CID  18058376.

Внешние ссылки

• Адаптивный решатель Пуассона–Больцмана – бесплатный программный пакет с открытым исходным кодом для электростатики Пуассона–Больцмана и биомолекулярной сольватации.
• Zap – решатель электростатики Пуассона-Больцмана
• Решатель Пуассона-Больцмана на основе согласованного интерфейса и границ MIBPB
• CHARMM-GUI: решатель PBEQ
• AFMPB — адаптивный быстрый многополюсный решатель Пуассона–Больцмана, бесплатный и с открытым исходным кодом
• Глобальные классические решения уравнения Больцмана с дальнодействующими взаимодействиями, Филип Т. Грессман и Роберт М. Стрейн, 2009, Пенсильванский университет, математический факультет, Филадельфия, Пенсильвания, США.