Уравнение Тейта

Уравнение механики жидкости, связывающее плотность и давление

В механике жидкости уравнение Тейта — это уравнение состояния , используемое для связи плотности жидкости с гидростатическим давлением . Уравнение было первоначально опубликовано Питером Гатри Тейтом в 1888 году в виде ^[1]

${\displaystyle {\frac {V_{0}-V}{PV_{0}}}={\frac {A}{\Pi +P}}}$

где - гидростатическое давление в дополнение к атмосферному, - объем при атмосферном давлении, - объем под дополнительным давлением , а - экспериментально определенные параметры. Очень подробное историческое исследование уравнения Тейта с физической интерпретацией двух параметров и приведено в ссылке. ^[2] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A,\Pi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Pi }$

Уравнение состояния Тейта-Таммана

В 1895 году ^{[3] [4]} первоначальное изотермическое уравнение Тейта было заменено Тамманном уравнением вида

${\displaystyle {K}=-{V_{0}}\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}={V_{0}}{\frac {(B+P)}{C}}}$

где - изотермический смешанный модуль объемной упругости. Это уравнение обычно известно как уравнение Тейта . Интегральная форма обычно записывается ${\displaystyle K}$

${\displaystyle V=V_{0}-C\log \left({\frac {B+P}{B+P_{0}}}\right)}$

где

• ${\displaystyle V\ }$удельный объем вещества (в единицах мл / г или м3 ^/ кг)
• ${\displaystyle V_{0}}$это удельный объем при ${\displaystyle P=P_{0}}$
• ${\displaystyle B\ }$(те же единицы, что и ) и (те же единицы, что и ) являются функциями температуры ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle C\ }$ ${\displaystyle V_{0}}$

Формула давления

Выражение для давления через удельный объем имеет вид

${\displaystyle P=(B+P_{0})\exp \left(-{\frac {V-V_{0}}{C}}\right)-B\,.}$

Очень подробное исследование уравнения состояния Тейта-Таммана с физической интерпретацией двух эмпирических параметров и приведено в главе 3 ссылки. ^[2] Выражения как функции температуры для двух эмпирических параметров и приведены для воды, морской воды, гелия-4 и гелия-3 во всей жидкой фазе вплоть до критической температуры . Особый случай переохлажденной фазы воды обсуждается в Приложении D ссылки. ^[5] Случай жидкого аргона между температурой тройной точки и 148 К подробно рассматривается в разделе 6 ссылки. ^[6] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T_{c}}$

Уравнение состояния Тейта-Мурнагана

Удельный объем как функция давления, предсказанный уравнением состояния Тейта-Мурнагана.

Другое популярное изотермическое уравнение состояния, известное под названием «уравнение Тейта» ^{[7] [8],} — это модель Мурнагана ^[9], которую иногда выражают как

${\displaystyle {\frac {V}{V_{0}}}=\left[1+{\frac {n}{K_{0}}}\,(P-P_{0})\right]^{-1/n}}$

где — удельный объем при давлении , — удельный объем при давлении , — модуль объемной упругости при , а — параметр материала. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle n}$

Формула давления

Это уравнение в форме давления можно записать как

${\displaystyle P={\frac {K_{0}}{n}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{n}-1\right]+P_{0}={\frac {K_{0}}{n}}\left[\left({\frac {\rho }{\rho _{0}}}\right)^{n}-1\right]+P_{0}.}$

где — плотности массы при , соответственно. Для чистой воды типичные параметры: = 101,325 Па, = 1000 кг/куб.м, = 2,15 ГПа и = 7,15. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \rho ,\rho _{0}}$ ${\displaystyle P,P_{0}}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle n}$

Обратите внимание, что эта форма уравнения состояния Тейта идентична форме уравнения состояния Мурнагана .

Формула модуля объемной упругости

Касательный модуль объемной упругости, предсказанный моделью Макдональда–Тейта, равен

${\displaystyle K=K_{0}\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{n}\,.}$

Уравнение состояния Тумлирца–Таммана–Тайта

Уравнение состояния Тумлирца-Таммана-Тайта, основанное на подгонке к экспериментальным данным по чистой воде.

Связанное уравнение состояния, которое можно использовать для моделирования жидкостей, — это уравнение Тумлирца (иногда называемое уравнением Таммана и первоначально предложенное Тумлирцем в 1909 году и Тамманном в 1911 году для чистой воды). ^{[4] [10]} Это соотношение имеет вид

${\displaystyle V(P,S,T)=V_{\infty }-K_{1}S+{\frac {\lambda }{P_{0}+K_{2}S+P}}}$

где — удельный объем, — давление, — соленость, — температура, — удельный объем при , и — параметры, которые можно подобрать по экспериментальным данным. ${\displaystyle V(P,S,T)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V_{\infty }}$ ${\displaystyle P=\infty }$ ${\displaystyle K_{1},K_{2},P_{0}}$

Версия уравнения Тейта для пресной воды по Тумлирцу-Тамманну, т.е. когда , имеет вид ${\displaystyle S=0}$

${\displaystyle V=V_{\infty }+{\frac {\lambda }{P_{0}+P}}\,.}$

Для чистой воды температурная зависимость имеет вид: ^[10] ${\displaystyle V_{\infty },\lambda ,P_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=1788.316+21.55053\,T-0.4695911\,T^{2}+3.096363\times 10^{-3}\,T^{3}-0.7341182\times 10^{-5}\,T^{4}\\P_{0}&=5918.499+58.05267\,T-1.1253317\,T^{2}+6.6123869\times 10^{-3}\,T^{3}-1.4661625\times 10^{-5}\,T^{4}\\V_{\infty }&=0.6980547-0.7435626\times 10^{-3}\,T+0.3704258\times 10^{-4}\,T^{2}-0.6315724\times 10^{-6}\,T^{3}\\&+0.9829576\times 10^{-8}\,T^{4}-0.1197269\times 10^{-9}\,T^{5}+0.1005461\times 10^{-11}\,T^{6}\\&-0.5437898\times 10^{-14}\,T^{7}+0.169946\times 10^{-16}\,T^{8}-0.2295063\times 10^{-19}\,T^{9}\end{aligned}}}$

В приведенных выше примерах температура указывается в градусах Цельсия, в барах, в куб. см/г и в бар-куб. см/г. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle V_{\infty }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Формула давления

Обратное соотношение Тумлирца–Таммана–Тайта для давления как функции удельного объема имеет вид

${\displaystyle P={\frac {\lambda }{V-V_{\infty }}}-P_{0}\,.}$

Формула модуля объемной упругости

Формула Тумлирца-Таммана-Тайта для мгновенного касательного модуля упругости чистой воды является квадратичной функцией (альтернативу см. в ^[4] ) ${\displaystyle P}$

${\displaystyle K=-V\,{\frac {\partial P}{\partial V}}={\frac {V\,\lambda }{(V-V_{\infty })^{2}}}=(P_{0}+P)+{\frac {V_{\infty }}{\lambda }}(P_{0}+P)^{2}\,.}$

Модифицированное уравнение состояния Тейта

В частности, после изучения подводных взрывов и, точнее, излучаемых ударных волн, Дж. Г. Кирквуд предложил в 1965 году ^[11] более подходящую форму уравнения состояния для описания высоких давлений (>1 ​​кбар), выразив коэффициент изэнтропической сжимаемости как

${\displaystyle -{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{S}={\frac {1}{n(B+P)}}}$

где представляет здесь энтропию. Два эмпирических параметра и теперь являются функцией энтропии, такой что ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B}$

• ${\displaystyle n\ }$безразмерен
• ${\displaystyle B\ }$имеет те же единицы измерения, что и ${\displaystyle P}$

Интеграция приводит к следующему выражению для объема вдоль изэнтропы: ${\displaystyle V(P,S)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\frac {V}{V_{0}}}=\left(1+{\frac {P_{0}}{B}}\right)^{1/n}\left(1+{\frac {P}{B}}\right)^{-1/n}}$

где . ${\displaystyle V_{0}=V(P_{0},S)}$

Формула давления

Выражение для давления через удельный объем вдоль изэнтропы имеет вид ${\displaystyle P(V,S)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle P=(B+P_{0})\,\left({\cfrac {V_{0}}{V}}\right)^{n}-B\,.}$

Очень подробное исследование модифицированного уравнения состояния Тейта с физической интерпретацией двух эмпирических параметров и приведено в главе 4 ссылки. ^[2] Выражения как функции энтропии для двух эмпирических параметров и приведены для воды, гелия-3 и гелия-4. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B}$

Смотрите также

• Уравнение состояния

Ссылки

1. Тейт, ПГ (1888). «Отчет о некоторых физических свойствах пресной и морской воды». Физика и химия путешествия HMS Challenger . Том II, часть IV.
2. Aitken, Frederic; Foulc, Jean-Numa (2019). От глубоководных районов до лаборатории 3: от работы Тейта о сжимаемости морской воды до уравнений состояния жидкостей. Лондон, Великобритания: ISTE - WILEY. ISBN 9781786303769.
3. Тамманн, Г. (1895). «Über die Abhängigkeit der vollumina von Lösungen vom druck». Zeitschrift für Physikalische Chemie . 17 : 620–636.
4. Hayward, ATJ (1967). Уравнения сжимаемости жидкостей: сравнительное исследование. British Journal of Applied Physics, 18(7), 965. http://mitran-lab.amath.unc.edu:8081/subversion/Lithotripsy/MultiphysicsFocusing/biblio/TaitEquationOfState/Hayward_CompressEqnsLiquidsComparative1967.pdf
5. Aitken, F.; Volino, F. (ноябрь 2021 г.). «Новое единое уравнение состояния для описания динамической вязкости и коэффициента самодиффузии для всех жидких фаз воды от 200 до 1800 К на основе новой оригинальной микроскопической модели». Physics of Fluids . 33 (11): 117112. arXiv : 2108.10666 . Bibcode :2021PhFl...33k7112A. doi :10.1063/5.0069488. S2CID  237278734.
6. Aitken, Frédéric; Denat, André; Volino, Ferdinand (24 апреля 2024 г.). "Новое необширное уравнение состояния для жидких фаз аргона, включая метастабильные состояния, от линии плавления до 2300 К и 50 ГПа". Fluids . 9 (5): 102. arXiv : 1504.00633 . doi : 10.3390/fluids9050102 .
7. Томпсон, П. А. и Биверс, Г. С. (1972). Динамика сжимаемой жидкости. Журнал прикладной механики, 39, 366.
8. Кедринский, ВК (2006). Гидродинамика взрыва: эксперименты и модели. Springer Science & Business Media.
9. Макдональд, Дж. Р. (1966). Некоторые простые изотермические уравнения состояния. Reviews of Modern Physics, 38(4), 669.
10. Фишер, Ф. Х. и О. Э. Дайал-младший. Уравнение состояния чистой воды и морской воды. № MPL-U-99/67. ИНСТИТУТ ОКЕАНОГРАФИИ СКРИППС, МОРСКАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ ЛАБОРАТОРИЯ, 1975. http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a017775.pdf
11. Коул, Р. Х. (1965). Подводные взрывы . Нью-Йорк: Dover Publications.