Усеченный тетраэдр

В геометрии усеченный тетраэдр представляет собой архимедово тело . Он имеет 4 правильные шестиугольные грани, 4 равносторонние треугольные грани, 12 вершин и 18 ребер (двух типов). Его можно построить, обрезав все 4 вершины правильного тетраэдра на одну треть от исходной длины ребра.

Более глубокое усечение, при котором из каждой вершины удаляется тетраэдр с половиной исходной длины ребра, называется выпрямлением . В результате выпрямления тетраэдра получается октаэдр . ^[1]

Усеченным тетраэдром называется многогранник Гольдберга $G III (1,1),$ содержащий треугольные и шестиугольные грани.

Усеченный тетраэдр можно назвать кантическим кубом , с диаграммой Коксетера ,, имеющий половину вершин согнутого куба ( ромбокубооктаэдра ),. Есть две двойственные позиции этой конструкции, и объединение их создает однородное соединение двух усеченных тетраэдров .

Площадь и объём

Площадь A и объем V усеченного тетраэдра с длиной ребра a равны:

{\begin{aligned}A&=7{\sqrt {3}}a^{2}&&\approx 12.124\,355\,65a^{2}\\V&={\tfrac {23}{12 }}{\sqrt {2}}a^{3}&&\approx 2.710\,575\,995a^{3}.\end{aligned}}

Самая плотная упаковка

Считается, что наиболее плотная упаковка архимедова усеченного тетраэдра равна Φ = 207/208, как сообщили две независимые группы, использующие методы Монте-Карло . ^[2]^[3] Хотя не существует математического доказательства того, что это наилучшая возможная упаковка для усеченного тетраэдра, высокая близость к единству и независимость результатов делают маловероятным обнаружение еще более плотной упаковки. Фактически, если усечение углов немного меньше, чем у усеченного архимедова тетраэдра, эту новую форму можно использовать для полного заполнения пространства. ^[2]

Декартовы координаты

Декартовы координаты 12 вершин усеченного тетраэдра с центром в начале координат и длиной ребра √8 представляют собой перестановки (±1,±1,±3) с четным числом знаков минус:

(+3,+1,+1), (+1,+3,+1), (+1,+1,+3)
(−3,−1,+1), (−1,−3,+1), (−1,−1,+3)
(−3,+1,−1), (−1,+3,−1), (−1,+1,−3)
(+3,−1,−1), (+1,−3,−1), (+1,−1,−3)

Другая простая конструкция существует в 4-мерном пространстве в виде ячеек усеченной 16-клетки с вершинами в виде перестановки координат:

(0,0,1,2)

Ортогональная проекция

Сферическая черепица

Усеченный тетраэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.

Многогранник Фриауфа

Версия усеченного тетраэдра с более низкой симметрией (усеченный тетрагональный дисфеноид с симметрией порядка 8 D _2d ) называется многогранником Фриауфа в кристаллах, таких как сложные металлические сплавы . Эта форма соответствует 5 многогранникам Фриауфа вокруг оси, давая двугранный угол 72 градуса на подмножестве из 6-6 ребер. ^{[ нужна ссылка ]} Он назван в честь Дж. Б. Фриауфа и его статьи 1927 года «Кристаллическая структура интерметаллического соединения MgCu ₂ ». ^[4]

Использование

Гигантские усеченные тетраэдры использовались для тематических павильонов «Человек-исследователь» и «Человек-продюсер» на выставке «Экспо-67» . Они были сделаны из массивных стальных балок, скрепленных болтами в геометрическую решетку. Усеченные тетраэдры были соединены между собой решетчатыми стальными платформами. Все эти здания были снесены после окончания выставки «Экспо-67», поскольку они не были построены так, чтобы выдерживать суровые погодные условия Монреаля на протяжении многих лет. Их единственные остатки находятся в городских архивах Монреаля, Государственных архивах Канады и фотоколлекциях туристов того времени. ^[5]

Пазл Тетраминкс имеет форму усеченного тетраэдра . Эта головоломка показывает рассечение усеченного тетраэдра на 4 октаэдра и 6 тетраэдров . Он содержит 4 центральные плоскости вращения. ^{[ нужна цитата ]}