В геометрии усеченный 5-ячейник — это однородный 4-мерный многогранник , образованный усечением правильного 5 -ячейника .
Существует две степени усечения, включая битусечение .
Усеченный 5-ячейник , усеченный пентахорон или усеченный 4-симплекс ограничен 10 ячейками : 5 тетраэдрами и 5 усеченными тетраэдрами . Каждая вершина окружена 3 усеченными тетраэдрами и одним тетраэдром; вершинная фигура — удлиненный тетраэдр.
Усеченная 5-ячейка может быть построена из 5-ячейки путем усечения ее вершин на 1/3 длины ее ребра. Это преобразует 5 тетраэдрических ячеек в усеченные тетраэдры и вводит 5 новых тетраэдрических ячеек, расположенных рядом с исходными вершинами.
Усеченные тетраэдры соединены друг с другом своими шестиугольными гранями, а с тетраэдрами — своими треугольными гранями.
В матрице конфигурации показаны все подсчеты инцидентности между элементами. Диагональные числа f-вектора выводятся с помощью построения Витхоффа , деля полный групповой порядок на подгрупповой порядок, удаляя по одному зеркалу за раз. [1]
Проекция усеченного тетраэдра-первой диаграммы Шлегеля усеченной 5-ячейки в трехмерное пространство имеет следующую структуру:
Такое расположение ячеек в проекции аналогично расположению граней в проекции граней вперед усеченного тетраэдра в 2-мерное пространство. Усеченная 5-ячейка является 4-мерным аналогом усеченного тетраэдра.
Декартовы координаты вершин усеченной 5-ячейки с центром в начале координат и длиной ребра 2 равны:
Проще говоря, вершины усеченной 5-клетки могут быть построены на гиперплоскости в 5-пространстве как перестановки (0,0,0,1,2) или (0,1,2,2,2). Эти координаты берутся из положительных ортантных граней усеченного пентакросса и битусеченного пентеракта соответственно.
Выпуклая оболочка усеченного 5-ячейника и его двойственного (предполагая, что они конгруэнтны) представляет собой неоднородный полихор, состоящий из 60 ячеек: 10 тетраэдров , 20 октаэдров (как треугольные антипризмы), 30 тетраэдров (как тетрагональные двуклиноиды) и 40 вершин. Его вершинная фигура — гексакисный треугольный купол .
Усеченный пятиячейник (также называемый усеченным пентахороном , декахороном и 10-ячейником ) представляет собой 4-мерный многогранник , или 4-политоп , состоящий из 10 ячеек в форме усеченных тетраэдров .
Топологически, при его наивысшей симметрии, [[3,3,3]], существует только одна геометрическая форма, содержащая 10 однородных усеченных тетраэдров. Шестиугольники всегда правильные из-за инверсионной симметрии полихорона, из которых правильный шестиугольник является единственным таким случаем среди дитригонов (изогональный шестиугольник с 3-кратной симметрией).
В 1912 году Э. Л. Элте определил его как полуправильный многогранник.
Каждая шестиугольная грань усеченных тетраэдров соединена в дополнительной ориентации с соседним усеченным тетраэдром. Каждое ребро разделено двумя шестиугольниками и одним треугольником. Каждая вершина окружена 4 усеченными тетраэдрическими ячейками в тетрагональной двуклиновидной вершинной фигуре .
Усеченная пятиячейка является пересечением двух пентахор в дуальной конфигурации. Таким образом, она также является пересечением пентахоры с гиперплоскостью, которая делит пополам длинную диагональ пентахоры ортогонально. В этом смысле она является 4-мерным аналогом правильного октаэдра ( пересечение правильных тетраэдров в дуальной конфигурации / бисекция тессеракта по длинной диагонали) и правильного шестиугольника (равносторонние треугольники / куб). 5-мерным аналогом является двойно-выпрямленный 5-симплекс , а -мерным аналогом является многогранник, диаграмма Коксетера–Дынкина которого линейна с кольцами в средних одном или двух узлах.
Усеченный 5-ячейник является одним из двух нерегулярных выпуклых однородных 4-многогранников , которые являются ячейково-транзитивными . Другой — усеченный 24-ячейник , который состоит из 48 усеченных кубов.
Этот 4-мерный многогранник имеет более высокую расширенную пентахорическую симметрию (2×A 4 , [[3,3,3]]), удвоенную до порядка 240, поскольку элемент, соответствующий любому элементу базовой 5-мерной ячейки, можно поменять местами с одним из элементов, соответствующих элементу его двойственного многогранника.
Декартовы координаты битусеченной 5-ячейки с центром в начале координат и длиной ребра 2 равны:
Проще говоря, вершины битусеченной 5-клетки могут быть построены на гиперплоскости в 5-пространстве как перестановки (0,0,1,2,2). Они представляют положительные ортантные грани битусеченного пентакросса . Другая 5-пространственная конструкция, центрированная в начале координат, представляет собой все 20 перестановок (-1,-1,0,1,1).
Усеченную пятиячейку можно рассматривать как пересечение двух обычных пятиячеек в двойственных положениях.
=
∩
.
В матрице конфигурации показаны все подсчеты инцидентности между элементами. Диагональные числа f-вектора выводятся с помощью построения Витхоффа , деля полный групповой порядок на подгрупповой порядок, удаляя по одному зеркалу за раз. [2]
Правильный косой многогранник , {6,4|3}, существует в 4-пространстве с 4 шестиугольниками вокруг каждой вершины, в зигзагообразной неплоской вершинной фигуре. Эти шестиугольные грани можно увидеть на битусеченной 5-ячейке, использующей все 60 ребер и 30 вершин. 20 треугольных граней битусеченной 5-ячейки можно увидеть удаленными. Двойственный правильный косой многогранник, {4,6|3}, аналогичным образом связан с квадратными гранями битусеченной 5-ячейки .
Дисфеноидальный 30-ячейник является дуальным к битусеченному 5-ячейнику. Это 4-мерный многогранник (или полихор ), полученный из 5-ячейника . Это выпуклая оболочка двух 5-ячеек в противоположных ориентациях.
Будучи двойственным к однородному полихорону, он является клеточно-транзитивным , состоящим из 30 конгруэнтных тетрагональных двуклиноидов . Кроме того, он вершинно-транзитивен относительно группы Aut(A 4 ).
Эти многогранники входят в набор из 9 однородных 4-мерных многогранников, построенных из группы Коксетера [3,3,3] .
