В геометрии усеченный 5-клеточный — это однородный 4-клеточный многогранник (4-мерный однородный многогранник ), образованный как усечение обычного 5-клеточного .
Существует две степени усечения, включая побитовое усечение .
Усеченный 5-клеточный , усеченный пентахорон или усеченный 4-симплекс ограничен 10 ячейками : 5 тетраэдрами и 5 усеченными тетраэдрами . Каждая вершина окружена тремя усеченными тетраэдрами и одним тетраэдром; вершинная фигура представляет собой вытянутый тетраэдр.
Усеченная 5-ячейка может быть построена из 5-ячейки путем усечения ее вершин на 1/3 длины ее ребра. Это преобразует 5 тетраэдрических ячеек в усеченные тетраэдры и вводит 5 новых тетраэдрических ячеек, расположенных рядом с исходными вершинами.
Усеченные тетраэдры соединены друг с другом своими шестиугольными гранями, а с тетраэдрами - своими треугольными гранями.
В матрице конфигурации показаны все счетчики инцидентов между элементами. Диагональные числа f-вектора получаются с помощью конструкции Витхоффа , разделяющей полный групповой порядок на подгрупповый порядок путем удаления одного зеркала за раз. [1]
Проекция диаграммы Шлегеля усеченного тетраэдра усеченной 5-ячейки в трехмерное пространство имеет следующую структуру:
Такое расположение ячеек в проекции аналогично расположению граней в проекции усеченного тетраэдра гранью вперед в двумерное пространство. Усеченная 5-ячейка является 4-мерным аналогом усеченного тетраэдра.
Декартовы координаты вершин усеченной 5-ячейки с центром в начале координат и длиной ребра 2:
Проще говоря, вершины усеченной 5-клетки можно построить на гиперплоскости в 5-мерном пространстве как перестановки (0,0,0,1,2) или (0,1,2,2,2). Эти координаты берутся из положительных ортантных граней усеченного пентакросса и усеченного пентеракта соответственно.
Выпуклая оболочка усеченной 5-клетки и ее двойника (в предположении, что они конгруэнтны) представляет собой неоднородный полихорон, состоящий из 60 ячеек: 10 тетраэдров , 20 октаэдров (в виде треугольных антипризм), 30 тетраэдров (в виде тетрагональных дисфеноидов) и 40 вершин. . Его вершинная фигура представляет собой шестигранный треугольный купол .
Битусеченный 5-клеточный (также называемый битусеченным пентахороном , декахороном и 10-ячейкой ) представляет собой 4-мерный многогранник , или 4-многогранник , составленный из 10 ячеек в форме усеченных тетраэдров .
Топологически при его высшей симметрии [[3,3,3]] существует только одна геометрическая форма, содержащая 10 однородных усеченных тетраэдров. Шестиугольники всегда правильные из-за инверсионной симметрии полихорона, из которых правильный шестиугольник является единственным таким случаем среди дитригонов (изогональный шестиугольник с 3-кратной симметрией).
Э.Л.Эльте идентифицировал его в 1912 г. как полуправильный многогранник.
Каждая шестиугольная грань усеченных тетраэдров соединена в дополнительной ориентации с соседним усеченным тетраэдром. Каждое ребро является общим для двух шестиугольников и одного треугольника. Каждая вершина окружена 4 усеченными тетраэдрическими ячейками в тетрагональной фигуре вершины дисфеноида .
Усеченная 5-клетка представляет собой пересечение двух пентахор в двойной конфигурации. По существу, это также пересечение пентеракта с гиперплоскостью, которая перпендикулярно делит длинную диагональ пентеракта пополам. В этом смысле это 4-х мерный аналог правильного октаэдра (пересечение правильных тетраэдров в двойной конфигурации/ тессеракта пополам по длинной диагонали) и правильного шестиугольника (равносторонние треугольники/куб). Пятимерный аналог — это биректифицированный 5-симплекс , а -мерный аналог — многогранник, диаграмма Кокстера–Дынкина которого линейна с кольцами в одном или двух средних узлах.
Усеченный побитно 5-ячеечный является одним из двух нерегулярных выпуклых однородных 4-многогранников, которые являются клеточно-транзитивными . Другой — усеченный 24-ячеечный , состоящий из 48 усеченных кубов.
Этот 4-многогранник имеет более высокую расширенную пентахорную симметрию (2×A 4 , [[3,3,3]]), удвоенную до порядка 240, поскольку элемент, соответствующий любому элементу базовой 5-ячейки, можно заменить на один из тех, которые соответствуют элементу его двойника.
Декартовы координаты усеченной 5-ячейки с центром в начале координат и длиной ребра 2:
Проще говоря, вершины усеченной 5-ячейки могут быть построены на гиперплоскости в 5-мерном пространстве как перестановки (0,0,1,2,2). Они представляют собой положительные ортантные грани усеченного пентакросса . Другая пятимерная конструкция с центром в начале координат представляет собой все 20 перестановок (-1,-1,0,1,1).
Усеченную 5-ячейку можно рассматривать как пересечение двух обычных 5-ячейок в двойных положениях.
"="
∩
.
В матрице конфигурации показаны все счетчики инцидентов между элементами. Диагональные числа f-вектора получаются с помощью конструкции Витхоффа , разделяющей полный групповой порядок на подгруппу путем удаления одного зеркала за раз. [2]
Правильный косой многогранник {6,4|3} существует в 4-мерном пространстве с 4 шестиугольниками вокруг каждой вершины в зигзагообразной неплоской вершинной фигуре. Эти шестиугольные грани можно увидеть на усеченной 5-ячейке, использующей все 60 ребер и 30 вершин. 20 треугольных граней усеченной 5-ячейки можно рассматривать как удаленные. Двойственный правильный косой многогранник {4,6|3} аналогичным образом связан с квадратными гранями 5-ячеечной спирали .
Дисфеноидальная 30-клеточная является двойником усеченной 5-клеточной. Это 4-мерный многогранник (или полихорон ), полученный из 5-клеточного . Это выпуклая оболочка двух 5-клеток, расположенных в противоположных направлениях.
Будучи двойником однородного полихорона, он клеточно-транзитивен и состоит из 30 конгруэнтных тетрагональных дисфеноидов . Кроме того, он вершинно-транзитивен относительно группы Aut(A 4 ).
Эти многогранники входят в набор из 9 однородных 4-многогранников , построенных на основе группы Коксетера [3,3,3] .
