Краевая задача

Тип проблемы, связанной с ODE или PDE

Показывает область, в которой действует дифференциальное уравнение , и связанные с ним граничные значения.

При изучении дифференциальных уравнений краевая задача представляет собой дифференциальное уравнение, на которое наложены ограничения, называемые граничными условиями . ^[1] Решением краевой задачи является решение дифференциального уравнения, которое также удовлетворяет граничным условиям.

Краевые задачи возникают в нескольких разделах физики, поскольку они есть в любом физическом дифференциальном уравнении. Проблемы, связанные с волновым уравнением , такие как определение нормальных мод , часто формулируются как краевые задачи. Большим классом важных краевых задач являются задачи Штурма–Лиувилля . Анализ этих задач в линейном случае предполагает использование собственных функций дифференциального оператора .

Чтобы быть полезной в приложениях, краевая задача должна быть корректно поставлена . Это означает, что при наличии входных данных для задачи существует единственное решение, которое непрерывно зависит от входных данных. Большая часть теоретических работ в области уравнений в частных производных посвящена доказательству корректности краевых задач, возникающих из научных и технических приложений.

Среди первых краевых задач, подлежащих изучению, — задача Дирихле о нахождении гармонических функций (решений уравнения Лапласа ); решение было дано по принципу Дирихле .

Объяснение

Краевые задачи аналогичны задачам начального значения . Краевая задача имеет условия, заданные на крайних значениях («границах») независимой переменной в уравнении, тогда как задача с начальным значением имеет все условия, заданные при одном и том же значении независимой переменной (и это значение находится на нижней границе). домена, отсюда и термин «начальное» значение). Граничное значение — это значение данных, которое соответствует минимальному или максимальному входному, внутреннему или выходному значению, указанному для системы или компонента. ^[2]

Например, если независимой переменной является время в области [0,1], задача краевого значения будет определять значения для обоих и , тогда как задача начального значения будет указывать значение и в момент времени . ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle y'(t)}$ ${\displaystyle t=0}$

Определение температуры во всех точках железного стержня, у которого один конец находится при абсолютном нуле , а другой — при температуре замерзания воды, было бы краевой задачей.

Если проблема зависит как от пространства, так и от времени, можно указать значение проблемы в данной точке за все время или в данный момент времени для всего пространства.

Конкретно, примером краевой задачи (в одном пространственном измерении) является

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0}$

необходимо решить для неизвестной функции с граничными условиями ${\displaystyle y(x)}$

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$

Без граничных условий общее решение этого уравнения имеет вид

${\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).}$

Из граничного условия получаем ${\displaystyle y(0)=0}$

${\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}$

откуда следует, что Из граничного условия находим ${\displaystyle B=0.}$ ${\displaystyle y(\pi /2)=2}$

${\displaystyle 2=A\cdot 1}$

Итак, видно, что наложение граничных условий позволило определить единственное решение, которое в данном случае есть ${\displaystyle A=2.}$

${\displaystyle y(x)=2\sin(x).}$

Виды краевых задач

Краевые условия

Поиск функции, описывающей температуру этого идеализированного двумерного стержня, представляет собой краевую задачу с граничными условиями Дирихле . Любая функция решения одновременно решает уравнение теплопроводности и удовлетворяет граничным условиям температуры 0 К на левой границе и температуры 273,15 К на правой границе.

Граничное условие, которое определяет значение самой функции, является граничным условием Дирихле или граничным условием первого типа. Например, если один конец железного стержня удерживать при абсолютном нуле, то значение проблемы будет известно в этой точке пространства.

Граничное условие, которое определяет значение нормальной производной функции, представляет собой граничное условие Неймана или граничное условие второго типа. Например, если на одном конце железного стержня имеется нагреватель, то энергия будет добавляться с постоянной скоростью, но фактическая температура не будет известна.

Если граница имеет форму кривой или поверхности, которая придает значение нормальной производной и самой переменной, то это граничное условие Коши .

Примеры

Сводка граничных условий для неизвестной функции, констант и заданных граничными условиями, а также известных скалярных функций и заданных граничными условиями. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Дифференциальные операторы

Помимо граничного условия, краевые задачи также классифицируются по типу используемого дифференциального оператора. Для эллиптического оператора обсуждаются эллиптические краевые задачи . Для гиперболического оператора обсуждаются гиперболические краевые задачи. Эти категории далее подразделяются на линейные и различные нелинейные типы.

Приложения

Электромагнитный потенциал

В электростатике распространенной проблемой является поиск функции, описывающей электрический потенциал данной области. Если область не содержит заряда, потенциал должен быть решением уравнения Лапласа (так называемая гармоническая функция ). Граничными условиями в этом случае являются условия границы раздела электромагнитных полей . Если в области нет плотности тока , аналогичной процедурой можно определить и магнитный скалярный потенциал .

Смотрите также

Примечания

1. Дэниел Цвиллингер (12 мая 2014 г.). Справочник дифференциальных уравнений. Эльзевир Наука. стр. 536–. ISBN 978-1-4832-2096-3.
2. Международный стандарт ISO/IEC/IEEE — Системы и разработка программного обеспечения . ИСО/МЭК/ИИЭР 24765:2010(Е). стр. том, №, стр. 1-418.

Рекомендации

• А. Д. Полянин и В. Ф. Зайцев, Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание) , Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон, 2003. ISBN 1-58488-297-2 . 
• А. Д. Полянин, Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых , Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон, 2002. ISBN 1-58488-299-9 . 

Внешние ссылки

• «Краевые задачи в теории потенциала», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Краевая задача, методы комплексных переменных», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Линейные дифференциальные уравнения в частных производных: точные решения и краевые задачи в EqWorld: мир математических уравнений.
• «Краевая задача». Схоларпедия .