Принцип Дирихле

В математике , и особенно в теории потенциала , принцип Дирихле — это предположение, что минимизатор определенного энергетического функционала является решением уравнения Пуассона .

Официальное заявление

Принцип Дирихле гласит, что если функция является решением уравнения Пуассона ${\displaystyle u(x)}$

${\displaystyle \Delta u+f=0}$

на области с граничным условием ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle u=g}$на границе , ${\displaystyle \partial \Omega }$

тогда u можно получить как минимизатор энергии Дирихле

${\displaystyle E[v(x)]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x}$

среди всех дважды дифференцируемых функций таких, что on (при условии, что существует хотя бы одна функция, делающая интеграл Дирихле конечным). Это понятие названо в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v=g}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

История

Название «принцип Дирихле» принадлежит Бернхарду Риману , который применил его при изучении комплексных аналитических функций . ^[1]

Риман (и другие, такие как Карл Фридрих Гаусс и Питер Густав Лежен Дирихле ) знали, что интеграл Дирихле ограничен снизу, что доказывает существование инфимума ; однако он считал само собой разумеющимся существование функции, достигающей минимума. Карл Вейерштрасс опубликовал первую критику этого предположения в 1870 году, приведя пример функционала, максимальная нижняя граница которого не является минимальным значением. Примером Вейерштрасса был функционал

${\displaystyle J(\varphi )=\int _{-1}^{1}\left(x{\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}\,dx}$

где непрерывен на , непрерывно дифференцируем на , и подчиняется граничным условиям , где и - константы и . Вейерштрасс показал, что , но ни одна допустимая функция не может быть равна 0. Этот пример не опроверг принцип Дирихле как таковой , поскольку интеграл в примере отличается от интеграла Дирихле. Но это подорвало рассуждения, которые использовал Риман, и стимулировало интерес к доказательству принципа Дирихле, а также к более широким достижениям в вариационном исчислении и, в конечном итоге, функциональном анализе . ^{[2] [3]} ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle \varphi (-1)=a}$ ${\displaystyle \varphi (1)=b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\neq b}$ ${\displaystyle \textstyle \inf _{\varphi }J(\varphi )=0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle J(\varphi )}$

В 1900 году Гильберт позже оправдал использование Риманом принципа Дирихле, разработав прямой метод вариационного исчисления . ^[4]

Смотрите также

• Задача Дирихле
• Двадцатая проблема Гильберта
• Проблема Плато
• Первая личность Грина

Примечания

1. Монна 1975, с. 33
2. Монна 1975, с. 33–37,43–44
3. Джаквинта и Хильдебранд, с. 43–44
4. Монна 1975, с. 55–56, со ссылкой на Гильберта, Дэвида (1905), «Über das Dirichletsche Prinzip», Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке), 1905 (129): 63–67, doi : 10.1515/crll.1905.129.63, S2CID  120074769

Рекомендации

• Курант Р. (1950), Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности. Приложение М. Шиффер , Interscience
• Лоуренс К. Эванс (1998), Уравнения в частных производных , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0772-9
• Джаквинта, Мариано ; Хильдебрандт, Стефан (1996), Вариационное исчисление I , Springer
• А. Ф. Монна (1975), Принцип Дирихле: математическая комедия ошибок и ее влияние на развитие анализа , Остхук, Шелтема и Холкема
• Вайсштейн, Эрик В. «Принцип Дирихле». Математический мир .