тест на энный срок

Тест на расходимость бесконечного ряда

В математике n - членный тест на расходимость ^[1] — это простой тест на расходимость бесконечного ряда :

Если или предел не существует, то расходится. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Многие авторы не дают этому тесту названия или дают ему более короткое название. ^[2]

При проверке сходимости или расходимости ряда этот тест часто проверяют первым ввиду его простоты использования.

В случае p-адического анализа термин «тест» является необходимым и достаточным условием сходимости в силу неархимедова ультраметрического неравенства треугольника .

Использование

В отличие от более сильных тестов сходимости , тест термина не может доказать сам по себе, что ряд сходится . В частности, обратное к тесту утверждение неверно; вместо этого можно сказать следующее:

Если тогда может сойтись, а может и нет. Другими словами, если тест неубедителен. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}$

Гармонический ряд является классическим примером расходящегося ряда, члены которого стремятся к нулю в пределе при . ^[3] Более общий класс p -рядов , ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},}$

иллюстрирует возможные результаты теста:

• Если p ≤ 0, то тест на n -й член определяет ряд как расходящийся.
• Если 0 < p ≤ 1, то тест на n -й член не дает окончательных результатов, но ряд расходится по интегральному тесту на сходимость .
• Если 1 < p , то тест на n -й член не дает окончательных результатов, но ряд сходится по интегральному тесту на сходимость.

Доказательства

Тест обычно доказывается в контрпозитивной форме:

Если сходится, то ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}$

Ограничить манипуляции

Если s _n — частичные суммы ряда, то предположение о сходимости ряда означает, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=L}$

для некоторого числа L. Тогда ^[4]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=\lim _{n\to \infty }s_{n}-\lim _{n\to \infty }s_{n-1}=L-L=0.}$

Критерий Коши

Предположение, что ряд сходится, подразумевает, что он проходит тест сходимости Коши : для каждого существует число N такое, что ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle \left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}\right|<\varepsilon }$

справедливо для всех n > N и p ≥ 1. Установка p = 1 восстанавливает утверждение ^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}$

Объем

Простейшая версия термина test применяется к бесконечным рядам действительных чисел . Два приведенных выше доказательства, ссылаясь на критерий Коши или линейность предела, также работают в любом другом нормированном векторном пространстве ^[6] или любой аддитивно записанной абелевой группе .

Примечания

1. Качор стр.336
2. Например, Рудин (стр. 60) указывает только контрапозитивную форму и не называет ее. Брабенец (стр. 156) называет ее просто тестом на n-ный член . Стюарт (стр. 709) называет ее Тестом на расхождение . Спивак (стр. 473) называет ее Условием исчезновения .
3. Рудин стр.60
4. Брабенец стр.156; Стюарт с.709
5. Рудин (стр. 59-60) использует эту идею доказательства, начиная с другой формулировки критерия Коши.
6. Хансен стр.55; Шухуби стр.375

Ссылки

• Brabenec, Robert (2005). Ресурсы для изучения реального анализа . MAA. ISBN 0883857375.
• Хансен, Вагн Лундсгаард (2006). Функциональный анализ: вход в гильбертово пространство . Всемирная научная. ISBN 9812565639.
• Kaczor, Wiesława и Maria Nowak (2003). Проблемы математического анализа . Американское математическое общество. ISBN 0821820508.
• Рудин, Уолтер (1976) [1953]. Принципы математического анализа (3-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
• Спивак, Майкл (2008). Calculus (4-е изд.). Хьюстон, Техас: Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-91-1.
• Стюарт, Джеймс (1999). Исчисление: Ранние трансцендентали (4-е изд.). Брукс/Коул. ISBN 0-534-36298-2.
• Шухуби, Эрдоган С. (2003). Функциональный анализ . Springer. ISBN 1402016166.