Тесты на сходимость

Математический критерий сходимости ряда

В математике тесты на сходимость — это методы проверки сходимости , условной сходимости , абсолютной сходимости , интервала сходимости или расходимости бесконечного ряда . ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Список тестов

Предел слагаемого

Если предел слагаемого не определен или не равен нулю, то есть , то ряд должен расходиться. В этом смысле частичные суммы являются суммами Коши, только если этот предел существует и равен нулю. Тест не является окончательным, если предел слагаемого равен нулю. Это также известно как тест n-го члена , тест на расхождение или тест на расхождение . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$

Тест соотношения

Это также известно как критерий Даламбера .

Рассмотрим два предела и . Если , ряд расходится. Если , то ряд сходится абсолютно. Если , то тест неубедителен, и ряд может сходиться абсолютно, условно или расходиться. ${\displaystyle \ell =\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ ${\displaystyle L=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ ${\displaystyle \ell >1}$ ${\displaystyle L<1}$ ${\displaystyle \ell \leq 1\leq L}$

Корневой тест

Это также известно как тест на n-й корень или критерий Коши .

Позволять

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

где обозначает верхний предел (возможно ; если предел существует, то это то же самое значение). ${\displaystyle \limsup }$ ${\displaystyle \infty }$

Если r < 1, то ряд сходится абсолютно. Если r > 1, то ряд расходится. Если r = 1, тест на наличие корня неубедителен, и ряд может сходиться или расходиться.

Тест на наличие корня сильнее теста на наличие отношения: всякий раз, когда тест на наличие отношения определяет сходимость или расхождение бесконечного ряда, тест на наличие корня делает то же самое, но не наоборот. ^[1]

Интегральный тест

Ряд можно сравнить с интегралом, чтобы установить сходимость или расходимость. Пусть будет неотрицательной и монотонно убывающей функцией такой, что . Если то ряд сходится. Но если интеграл расходится, то и ряд тоже. Другими словами, ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл. ${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$ $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$$ ${\displaystyle {a_{n}}}$

п-серийный тест

Часто используемым следствием интегрального теста является тест p-серии. Пусть . Тогда сходится, если . ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{n^{p}}}{\bigg )}}$ ${\displaystyle p>1}$

Случай дает гармонический ряд, который расходится. Случай — это проблема Базеля , и ряд сходится к . В общем случае для ряд равен дзета-функции Римана, примененной к , то есть . ${\displaystyle p=1,k=1}$ ${\displaystyle p=2,k=1}$ ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ ${\displaystyle p>1,k=1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \zeta (p)}$

Прямой сравнительный тест

Если ряд является абсолютно сходящимся рядом и при достаточно больших n  , то ряд сходится абсолютно. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Тест сравнения пределов

Если , (то есть каждый элемент двух последовательностей положителен) и предел существует, конечен и не равен нулю, то либо оба ряда сходятся, либо оба ряда расходятся. ${\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}>0}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$

Тест на конденсацию Коши

Пусть — неотрицательная невозрастающая последовательность. Тогда сумма сходится тогда и только тогда, когда сумма сходится. Более того, если они сходятся, то выполняется. ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}}$ ${\displaystyle A\leq A^{*}\leq 2A}$

тест Абеля

Предположим, что следующие утверждения верны:

1. ${\displaystyle \sum a_{n}}$является сходящимся рядом,
2. ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$является монотонной последовательностью, и
3. ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ограничено.

Тогда также сходится. ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$

Тест абсолютной сходимости

Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.

Тест чередующихся серий

Предположим, что следующие утверждения верны:

• ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$монотонный,
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

Тогда и являются сходящимися рядами. Этот тест также известен как критерий Лейбница . ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$

Тест Дирихле

Если это последовательность действительных чисел и последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$

• ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$

• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$

• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$для каждого положительного целого числа N

где M — некоторая константа, тогда ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

сходится.

Тест сходимости Коши

Ряд сходится тогда и только тогда, когда для каждого существует натуральное число N такое, что ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

справедливо для всех n > N и всех p ≥ 1 .

Теорема Штольца–Чезаро

Пусть и — две последовательности действительных чисел. Предположим, что — строго монотонная и расходящаяся последовательность и существует следующий предел: ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\ }$

Тогда предел

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }$

М-тест Вейерштрасса

Предположим, что ( f _n ) — последовательность действительных или комплексных функций, определенных на множестве A , и что существует последовательность неотрицательных чисел ( M _n ), удовлетворяющая условиям

• ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$для всех и вся , и ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle x\in A}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$сходится.

Затем серия

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

сходится абсолютно и равномерно на A.

Расширения к тесту соотношения

Тест отношения может оказаться неубедительным, если предел отношения равен 1. Однако расширения теста отношения иногда позволяют справиться с этим случаем.

Тест Раабе-Дюамеля

Пусть { a _n } — последовательность положительных чисел.

Определять

${\displaystyle b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right).}$

Если

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

существует три возможности:

• если L > 1, то ряд сходится (сюда входит и случай L = ∞)
• если L < 1, то ряд расходится
• и если L = 1, тест неубедителен.

Альтернативная формулировка этого теста следующая. Пусть { a _n } — ряд действительных чисел. Тогда, если b > 1 и K (натуральное число) существуют такие, что

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}}$

для всех n > K ряд { a _n } сходится.

тест Бертрана

Пусть { a _n } — последовательность положительных чисел.

Определять

${\displaystyle b_{n}=\ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right).}$

Если

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

существует, есть три возможности: ^{[2] [3]}

• если L > 1, то ряд сходится (сюда входит и случай L = ∞)
• если L < 1, то ряд расходится
• и если L = 1, тест неубедителен.

тест Гаусса

Пусть { a _n } — последовательность положительных чисел. Если для некоторого β > 1, то сходится, если α > 1 , и расходится, если α ≤ 1. [ ^4] ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\alpha }{n}}+O(1/n^{\beta })}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

тест Куммера

Пусть { a _n } — последовательность положительных чисел. Тогда: ^{[5] [6] [7]}

(1) сходится тогда и только тогда, когда существует последовательность положительных чисел и действительное число c > 0 такие, что . ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\geq c}$

(2) расходится тогда и только тогда, когда существует последовательность положительных чисел такая, что ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0}$

и расходится. ${\displaystyle \sum 1/b_{n}}$

Тест Абу-Мостафы

Пусть будет бесконечным рядом с действительными членами, и пусть будет любой действительной функцией, такой что для всех положительных целых чисел n и вторая производная существует при . Тогда сходится абсолютно, если и расходится в противном случае. ^[8] ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(1/n)=a_{n}}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle f(0)=f'(0)=0}$

Примечания

• Для некоторых конкретных типов рядов существуют более специализированные тесты сходимости, например, для рядов Фурье существует тест Дини .

Примеры

Рассмотрим серию

Тест конденсации Коши подразумевает, что ( i ) конечно сходится, если

конечно сходится. Так как

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}}$

( ii ) — геометрическая прогрессия с отношением . ( ii ) конечно сходится, если ее отношение меньше единицы (а именно ). Таким образом, ( i ) конечно сходится тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle 2^{(1-\alpha )}}$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle \alpha >1}$

Конвергенция продуктов

Хотя большинство тестов имеют дело со сходимостью бесконечных рядов, их также можно использовать для демонстрации сходимости или расходимости бесконечных произведений . Этого можно добиться с помощью следующей теоремы: Пусть будет последовательностью положительных чисел. Тогда бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда ряд сходится. Аналогично, если выполняется, то стремится к ненулевому пределу тогда и только тогда, когда ряд сходится. ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle 0<a_{n}<1}$ ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Это можно доказать, взяв логарифм произведения и применив предельный сравнительный тест. ^[9]

Смотрите также

• Правило Лопиталя
• Правило сдвига

Ссылки

1. Ваксмут, Берт Г. «MathCS.org — Действительный анализ: Тест на соотношение». www.mathcs.org .
2. Франтишек Дюриш, Бесконечная серия: Тесты на сходимость , стр. 24–9. Бакалаврская диссертация.
3. Weisstein, Eric W. "Тест Бертрана". mathworld.wolfram.com . Получено 16.04.2020 .
4. * "Критерий Гаусса", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
5. "Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen" . Журнал для королевы и математики . 1835 (13): 171–184. 01.01.1835. дои : 10.1515/crll.1835.13.171. ISSN  0075-4102. S2CID  121050774.
6. Тонг, Цзинчэн (1994). «Тест Куммера дает характеристики сходимости или расходимости всех положительных рядов». The American Mathematical Monthly . 101 (5): 450–452. doi :10.2307/2974907. JSTOR  2974907.
7. Самельсон, Ганс (1995). «Еще о тесте Куммера». The American Mathematical Monthly . 102 (9): 817–818. doi :10.1080/00029890.1995.12004667. ISSN  0002-9890.
8. Абу-Мостафа, Ясер (1984). «Тест дифференциации для абсолютной сходимости» (PDF) . Mathematics Magazine . 57 (4): 228–231.
9. Белк, Джим (26 января 2008 г.). «Сходимость бесконечных произведений».

Дальнейшее чтение

• Лейтхолд, Луис (1972). Исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.). Нью-Йорк: Harper & Row. С. 655–737. ISBN 0-06-043959-9.