Гипотетический силлогизм

Силлогизм с условной посылкой(ами)

В классической логике гипотетический силлогизм — это допустимая форма аргумента , дедуктивный силлогизм с условным утверждением для одной или обеих его посылок . Древние ссылки указывают на работы Теофраста и Эвдема как на первое исследование этого вида силлогизмов. ^{[1] [2]}

Типы

Гипотетические силлогизмы бывают двух типов: смешанные и чистые. Смешанный гипотетический силлогизм имеет две посылки: одно условное утверждение и одно утверждение, которое либо утверждает, либо отрицает антецедент или консеквент этого условного утверждения. Например,

Если П, то Q.

П.

∴ В.

В этом примере первая посылка является условным утверждением, в котором "P" является антецедентом, а "Q" - консеквентом. Вторая посылка "утверждает" антецедент. Вывод о том, что консеквент должен быть истинным, является дедуктивно верным .

Смешанный гипотетический силлогизм имеет четыре возможные формы, две из которых действительны, а две другие недействительны. Действительный смешанный гипотетический силлогизм либо утверждает антецедент ( modus ponens ), либо отрицает консеквент ( modus tollens ). ^[3] Недействительный гипотетический силлогизм либо утверждает консеквент (ошибка обратного ) , либо отрицает антецедент (ошибка обратного ) .

Существует четыре возможных формы смешанных гипотетических силлогизмов, две из которых являются действительными, а две — недействительными. Рассмотрим простой пример, показывающий, почему формы являются действительными или недействительными. Если «p» представляет «Кандиру — рыба», а «q» представляет «Кандиру имеет жабры», попробуйте убедить себя, заменив эти утверждения на p и q в приведенной выше таблице. ^[3]

Чистый гипотетический силлогизм — это силлогизм, в котором и посылки, и заключение являются условными утверждениями . Антецедент одной посылки должен соответствовать консеквенту другой, чтобы условное утверждение было действительным. Следовательно, условные утверждения содержат оставшийся антецедент как антецедент и оставшийся консеквент как консеквент .

Если П, то Q.

Если Q, то R.

∴ Если P, то R.

Пример на английском:

Если я не проснусь, то не смогу пойти на работу.

Если я не смогу ходить на работу, мне не заплатят.

Поэтому, если я не проснусь, то мне не заплатят.

Логика высказываний

В пропозициональной логике гипотетический силлогизм — это название допустимого правила вывода (часто сокращенно HS , а иногда также называемого цепным аргументом , цепным правилом или принципом транзитивности импликации ). Правило может быть сформулировано следующим образом:

${\displaystyle {\frac {P\to Q,Q\to R}{\therefore P\to R}}}$

Другими словами, всякий раз, когда в строках доказательства встречаются символы « » и « » , « » можно поместить на следующую строку. ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle Q\to R}$ ${\displaystyle P\to R}$

Применимость

Правило гипотетического силлогизма выполняется в классической логике , интуиционистской логике , большинстве систем релевантной логики и многих других системах логики. Однако оно выполняется не во всех логиках, включая, например, немонотонную логику , вероятностную логику и логику по умолчанию . Причина этого в том, что эти логики описывают отменяемые рассуждения , а условные конструкции, которые появляются в реальных контекстах, обычно допускают исключения, предположения по умолчанию, условия ceteris paribus или просто простую неопределенность.

Пример, взятый из Эрнеста В. Адамса, ^[4]

1. Если Джонс победит на выборах, Смит уйдет в отставку после выборов.
2. Если Смит умрет до выборов, выборы победит Джонс.
3. Если Смит умрет до выборов, он уйдет в отставку после выборов.

Очевидно, (3) не следует из (1) и (2). (1) верно по умолчанию, но не выполняется в исключительных обстоятельствах смерти Смита. На практике условные предложения реального мира всегда имеют тенденцию включать в себя предположения по умолчанию или контексты, и может быть невыполнимо или даже невозможно указать все исключительные обстоятельства, в которых они могут оказаться неверными. По аналогичным причинам правило гипотетического силлогизма не выполняется для контрфактуальных условных предложений .

Формальная запись

Правило вывода гипотетического силлогизма может быть записано в секвенциальной нотации, что представляет собой специализацию правила сечения:

${\displaystyle {\frac {P\vdash Q\quad Q\vdash R}{P\vdash R}}}$

где - металогический символ и значение, являющееся синтаксическим следствием в некоторой логической системе ; ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A\vdash B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

и выражается как истинностно-функциональная тавтология или теорема пропозициональной логики :

${\displaystyle ((P\to Q)\land (Q\to R))\to (P\to R)}$

где , , и — предложения, выраженные в некоторой формальной системе . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle R}$

Доказательство

Альтернативные формы

Альтернативная форма гипотетического силлогизма, более полезная для классических систем исчисления высказываний с импликацией и отрицанием (т.е. без символа конъюнкции), выглядит следующим образом:

(ГС1) ${\displaystyle (Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R))}$

Еще одна форма:

(ГС2) ${\displaystyle (P\to Q)\to ((Q\to R)\to (P\to R))}$

Доказательство

Пример доказательств этих теорем в таких системах приведен ниже. Мы используем две из трех аксиом, используемых в одной из популярных систем, описанных Яном Лукасевичем . Доказательства опираются на две из трех аксиом этой системы:

(А1) ${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

(А2) ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

Доказательство (HS1) следующее:

(1)       (пример (A1)) ${\displaystyle ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))}$

(2)       (пример (A2)) ${\displaystyle (p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

(3)       (из (1) и (2) по modus ponens ) ${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))}$

(4)       (пример (A2)) ${\displaystyle ((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))\to (((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))))}$

(5)       (из (3) и (4) по modus ponens ) ${\displaystyle ((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r)))}$

(6)       (пример (A1)) ${\displaystyle (q\to r)\to (p\to (q\to r))}$

(7) (из (5) и (6) по modus ponens ) ${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

Доказательство (HS2) приведено здесь .

Как метатеорема

Всякий раз, когда у нас есть две теоремы вида и , мы можем доказать их следующим образом: ${\displaystyle T_{1}=(Q\to R)}$ ${\displaystyle T_{2}=(P\to Q)}$ ${\displaystyle (P\to R)}$

(1)       (пример доказанной выше теоремы) ${\displaystyle (Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R)))}$

(2)       (пример (T1)) ${\displaystyle Q\to R}$

(3)       (из (1) и (2) по modus ponens) ${\displaystyle (P\to Q)\to (P\to R)}$

(4)       (пример (T2)) ${\displaystyle P\to Q}$

(5)       (из (3) и (4) по modus ponens) ${\displaystyle P\to R}$

Смотрите также

• Правдоподобное рассуждение
• Транзитивное отношение
• Тип силлогизма (дизъюнктивный, гипотетический, юридический, поли-, прослептический, квази-, статистический)

Ссылки

1. «История логики: Теофраст из Эреса» в Encyclopaedia Britannica Online .
2. Сюзанна Бобзиен, «Развитие Modus Ponens в древности: «От Аристотеля до 2-го века нашей эры», Phronesis, Том 47, № 4 (2002), стр. 359-394.
3. Кашеф, Арман. (2023), В поисках универсальной логики: краткий обзор эволюции формальной логики, doi : 10.13140/RG.2.2.24043.82724/1
4. Адамс, Эрнест В. (1975). Логика условных предложений . Дордрехт: Reidel. С. 22.

Внешние ссылки

• Индекс философии: Гипотетический силлогизм