Теория устойчивости

Часть математики, которая изучает устойчивость решений.

Диаграмма устойчивости, классифицирующая отображения Пуанкаре линейной автономной системы как устойчивые или неустойчивые в соответствии с их особенностями. Устойчивость обычно увеличивается слева от диаграммы. ^[1] Некоторые стоки, источники или узлы являются точками равновесия . ${\displaystyle x'=Ax,}$

В математике теория устойчивости занимается устойчивостью решений дифференциальных уравнений и траекторий динамических систем при малых возмущениях начальных условий. Например, уравнение теплопроводности является устойчивым частным дифференциальным уравнением, поскольку малые возмущения начальных данных приводят к малым изменениям температуры в более позднее время в результате принципа максимума . В частных дифференциальных уравнениях можно измерить расстояния между функциями, используя нормы L p или sup, в то время как в дифференциальной геометрии можно измерить расстояние между пространствами, используя расстояние Громова–Хаусдорфа .

В динамических системах орбита называется устойчивой по Ляпунову, если прямая орбита любой точки находится в достаточно малой окрестности или остается в малой (но, возможно, большей) окрестности. Были разработаны различные критерии для доказательства устойчивости или неустойчивости орбиты. При благоприятных обстоятельствах вопрос может быть сведен к хорошо изученной задаче, включающей собственные значения матриц . Более общий метод включает функции Ляпунова . На практике применяется любой из ряда различных критериев устойчивости .

Обзор динамических систем

Многие части качественной теории дифференциальных уравнений и динамических систем имеют дело с асимптотическими свойствами решений и траекторий — что происходит с системой по истечении длительного периода времени. Простейший вид поведения демонстрируется точками равновесия или неподвижными точками и периодическими орбитами . Если конкретная орбита хорошо изучена, естественно спросить далее, приведет ли небольшое изменение начальных условий к аналогичному поведению. Теория устойчивости рассматривает следующие вопросы: будет ли близлежащая орбита бесконечно оставаться близкой к заданной орбите? Будет ли она сходиться к заданной орбите? В первом случае орбита называется устойчивой ; во втором случае она называется асимптотически устойчивой , а заданная орбита называется притягивающей .

Равновесное решение автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка называется: ${\displaystyle f_{e}}$

• устойчивым, если для любого (малого) существует такое, что каждое решение, имеющее начальные условия в пределах расстояния , т.е. от равновесия, остается в пределах расстояния , т.е. для всех . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \|f(t_{0})-f_{e}\|<\delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \|f(t)-f_{e}\|<\epsilon }$ ${\displaystyle t\geq t_{0}}$
• асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и, кроме того, существует такое, что всякий раз, когда то при . ${\displaystyle \delta _{0}>0}$ ${\displaystyle \|f(t_{0})-f_{e}\|<\delta _{0}}$ ${\displaystyle f(t)\rightarrow f_{e}}$ ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

Устойчивость означает, что траектории не слишком сильно меняются при малых возмущениях. Противоположная ситуация, когда близлежащая орбита отталкивается от заданной орбиты, также представляет интерес. В общем случае возмущение начального состояния в некоторых направлениях приводит к тому, что траектория асимптотически приближается к заданной, а в других направлениях — к траектории, удаляющейся от нее. Могут быть также направления, для которых поведение возмущенной орбиты более сложное (ни сходящаяся, ни полностью не ускользающая), и тогда теория устойчивости не дает достаточной информации о динамике.

Одна из ключевых идей в теории устойчивости заключается в том, что качественное поведение орбиты при возмущениях можно проанализировать с помощью линеаризации системы вблизи орбиты. В частности, в каждом равновесии гладкой динамической системы с n -мерным фазовым пространством существует некоторая матрица A размера n × n , собственные значения которой характеризуют поведение близлежащих точек ( теорема Хартмана–Гробмана ). Точнее, если все собственные значения являются отрицательными действительными числами или комплексными числами с отрицательными действительными частями, то точка является устойчивой притягивающей неподвижной точкой, а близлежащие точки сходятся к ней с экспоненциальной скоростью, см. устойчивость по Ляпунову и экспоненциальную устойчивость . Если ни одно из собственных значений не является чисто мнимым (или нулевым), то притягивающие и отталкивающие направления связаны с собственными пространствами матрицы A с собственными значениями, действительная часть которых отрицательна и, соответственно, положительна. Аналогичные утверждения известны для возмущений более сложных орбит.

Устойчивость неподвижных точек в 2D

Схематическое изображение 4 наиболее распространенных видов неподвижных точек.

Парадигматическим случаем является устойчивость начала координат относительно линейного автономного дифференциального уравнения , где и — матрица размера 2 на 2. ${\displaystyle {\dot {X}}=AX}$ ${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$

Иногда мы выполняем смену базиса с помощью для некоторой обратимой матрицы , что дает . Мы говорим , что находится « в новом базисе». Поскольку и , мы можем классифицировать устойчивость начала координат с помощью и , при этом свободно используя смену базиса. ${\displaystyle X'=CX}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\dot {X}}'=C^{-1}ACX'}$ ${\displaystyle C^{-1}AC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \det A=\det C^{-1}AC}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} A=\operatorname {tr} C^{-1}AC}$ ${\displaystyle \det A}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} A}$

Классификация типов устойчивости

Если , то ранг равен нулю или единице. ${\displaystyle \det A=0}$ ${\displaystyle A}$

• Если ранг равен нулю, то , и потока нет. ${\displaystyle A=0}$
• Если ранг равен единице, то и оба являются одномерными. ${\displaystyle \ker A}$ ${\displaystyle \operatorname {im} A}$
  • Если , то пусть span , и пусть будет прообразом , тогда в базисе , и поэтому поток является сдвигом вдоль направления. В этом случае . ${\displaystyle \ker A=\operatorname {im} A}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \ker A}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \{v,w\}}$ ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$
  • Если , то пусть span и пусть span , тогда в базисе, для некоторого ненулевого действительного числа . ${\displaystyle \ker A\neq \operatorname {im} A}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \ker A}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \operatorname {im} A}$ ${\displaystyle \{v,w\}}$ ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0\\0&a\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle a}$
    • Если , то он неустойчив, расходится со скоростью от вдоль параллельных переносов . ${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \ker A}$ ${\displaystyle \operatorname {im} A}$
    • Если , то он устойчив, сходится со скоростью к вдоль параллельных переносов . ${\displaystyle \operatorname {tr} A<0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \ker A}$ ${\displaystyle \operatorname {im} A}$

Если , то сначала находим жорданову нормальную форму матрицы, чтобы получить базис , в котором находится одна из трех возможных форм: ${\displaystyle \det A\neq 0}$ ${\displaystyle \{v,w\}}$ ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}}$где . ${\displaystyle a,b\neq 0}$
  • Если , то . Начало координат является источником , с интегральными кривыми формы ${\displaystyle a,b>0}$ ${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=-(a-b)^{2}\leq 0\\\det A=ab>0\end{cases}}}$ ${\displaystyle y=cx^{b/a}}$
  • Аналогично для . Начало координат — сток . ${\displaystyle a,b<0}$
  • Если или , то , а начало координат является седловой точкой . с интегральными кривыми вида . ${\displaystyle a>0>b}$ ${\displaystyle a<0<b}$ ${\displaystyle \det A<0}$ ${\displaystyle y=cx^{-|b/a|}}$
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}}$где . Это можно еще больше упростить, заменив базис на , после чего . Мы можем явно решить для с . Решение с . Этот случай называется « вырожденным узлом ». Интегральные кривые в этом базисе являются центральными расширениями , плюс ось x. ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1/a&0\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\dot {X}}=AX}$ ${\displaystyle A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle X(t)=e^{At}X(0)}$ ${\displaystyle e^{At}=e^{at}{\begin{bmatrix}1&at\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle x=y\ln y}$
  • Если , то начало координат — вырожденный источник , в противном случае — вырожденный сток . ${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$
  • В обоих случаях, ${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$
• ${\displaystyle a{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$где . В этом случае . ${\displaystyle a>0,\theta \in (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=(2a\sin \theta )^{2}\geq 0}$
  • Если , то это спиральная раковина . В этом случае . Интегральные линии — логарифмические спирали . ${\displaystyle \theta \in (-\pi ,-\pi /2)\cup (\pi /2,\pi ]}$ ${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A<0\end{cases}}}$
  • Если , то это спиральный источник . В этом случае . Интегральные линии представляют собой логарифмические спирали . ${\displaystyle \theta \in (-\pi /2,\pi /2)}$ ${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A>0\end{cases}}}$
  • Если , то это вращение (« нейтральная устойчивость ») со скоростью , не движущееся ни к началу координат, ни от него. В этом случае . Интегральные линии — окружности. ${\displaystyle \theta =-\pi /2,\pi /2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$

Сводка показана на диаграмме устойчивости справа. В каждом случае, за исключением случая , значения позволяют однозначно классифицировать тип потока. ${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$ ${\displaystyle (\operatorname {tr} A,\det A)}$

Для частного случая есть два случая, которые нельзя различить с помощью . В обоих случаях имеет только одно собственное значение с алгебраической кратностью 2. ${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$ ${\displaystyle (\operatorname {tr} A,\det A)}$ ${\displaystyle A}$

• Если собственное значение имеет двумерное собственное пространство ( геометрическая кратность 2), то система представляет собой центральный узел (иногда называемый « звездой » или « дикритическим узлом »), который является либо источником (когда ), либо стоком (когда ). ^[2] ${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} A<0}$
• Если же оно имеет одномерное собственное пространство ( геометрическая кратность 1), то система представляет собой вырожденный узел (если ) или сдвиговый поток (если ). ${\displaystyle \det A>0}$ ${\displaystyle \det A=0}$

Поток, сохраняющий площадь

Когда , то имеем , поэтому поток сохраняет площадь. В этом случае тип потока классифицируется по . ${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$ ${\displaystyle \det e^{At}=e^{\operatorname {tr} (A)t}=1}$ ${\displaystyle \det A}$

• Если , то это вращение («нейтральная устойчивость») вокруг начала координат. ${\displaystyle \det A>0}$
• Если , то это сдвиговый поток. ${\displaystyle \det A=0}$
• Если , то начало координат является седловой точкой. ${\displaystyle \det A<0}$

Устойчивость неподвижных точек

Простейшим видом орбиты является неподвижная точка или равновесие. Если механическая система находится в состоянии устойчивого равновесия, то небольшой толчок приведет к локализованному движению, например, небольшим колебаниям, как в случае маятника . В системе с затуханием устойчивое состояние равновесия, кроме того, асимптотически устойчиво. С другой стороны, для неустойчивого равновесия, такого как шар, покоящийся на вершине холма, определенные небольшие толчки приведут к движению с большой амплитудой, которое может или не может сходиться к исходному состоянию.

Существуют полезные тесты устойчивости для случая линейной системы. Устойчивость нелинейной системы часто можно вывести из устойчивости ее линеаризации .

Карты

Пусть f : R → R — непрерывно дифференцируемая функция с фиксированной точкой a , f ( a ) = a . Рассмотрим динамическую систему, полученную итерацией функции f :

${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\quad n=0,1,2,\ldots .}$

Неподвижная точка a устойчива, если абсолютное значение производной f в точке a строго меньше 1, и неустойчива, если оно строго больше 1. Это происходит потому, что вблизи точки a функция f имеет линейную аппроксимацию с наклоном f' ( a ) :

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).}$

Таким образом

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n+1}-a&=f(x_{n})-a\\&\approx f(a)+f'(a)(x_{n}-a)-a\\&=a+f'(a)(x_{n}-a)-a\end{aligned}}}$

${\displaystyle \Rightarrow f'(a)\approx {\frac {x_{n+1}-a}{x_{n}-a}}}$

что означает, что производная измеряет скорость, с которой последовательные итерации приближаются к фиксированной точке a или отклоняются от нее. Если производная в a равна точно 1 или −1, то для определения устойчивости требуется больше информации.

Существует аналогичный критерий для непрерывно дифференцируемого отображения f : R ⁿ → R ⁿ с неподвижной точкой a , выраженный через его матрицу Якоби в точке a , J _a ( f ) . Если все собственные значения J являются действительными или комплексными числами с абсолютным значением строго меньше 1 , то a является устойчивой неподвижной точкой; если хотя бы одно из них имеет абсолютную величину строго больше 1 , то a является неустойчивой. Так же как и для n = 1, случай наибольшего абсолютного значения, равного 1, требует дальнейшего исследования — тест матрицы Якоби неубедителен. Тот же критерий справедлив в более общем случае для диффеоморфизмов гладкого многообразия .

Линейные автономные системы

Устойчивость неподвижных точек системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами можно проанализировать с помощью собственных значений соответствующей матрицы.

Автономная система

${\displaystyle x'=Ax,}$

где x ( t ) ∈ R ⁿ и A — матрица размера n × n с действительными элементами, имеет постоянное решение

${\displaystyle x(t)=0.}$

(На другом языке начало координат 0 ∈ R ⁿ является точкой равновесия соответствующей динамической системы.) Это решение асимптотически устойчиво при t → ∞ («в будущем») тогда и только тогда, когда для всех собственных значений λ матрицы A , Re ( λ ) < 0. Аналогично, оно асимптотически устойчиво при t → −∞ («в прошлом») тогда и только тогда, когда для всех собственных значений λ матрицы A , Re( λ ) > 0. Если существует собственное значение λ матрицы A с Re( λ ) > 0 , то решение неустойчиво при t → ∞ .

Применение этого результата на практике для решения вопроса об устойчивости начала координат линейной системы облегчается критерием устойчивости Рауса–Гурвица . Собственные значения матрицы являются корнями ее характеристического полинома . Полином от одной переменной с действительными коэффициентами называется полиномом Гурвица, если действительные части всех корней строго отрицательны. Теорема Рауса–Гурвица подразумевает характеристику полиномов Гурвица с помощью алгоритма, который избегает вычисления корней.

Нелинейные автономные системы

Асимптотическую устойчивость неподвижных точек нелинейной системы часто можно установить с помощью теоремы Хартмана–Гробмана .

Предположим, что v — векторное поле класса C ¹ в R ^{n ,} обращающееся в нуль в точке p , v ( p ) = 0. Тогда соответствующая автономная система

${\displaystyle x'=v(x)}$

имеет постоянное решение

${\displaystyle x(t)=p.}$

Пусть J _p ( v ) — матрица Якоби n × n векторного поля v в точке p . Если все собственные значения J имеют строго отрицательную вещественную часть, то решение асимптотически устойчиво. Это условие можно проверить с помощью критерия Рауса–Гурвица .

Функция Ляпунова для общих динамических систем

Общим способом установления устойчивости по Ляпунову или асимптотической устойчивости динамической системы является использование функций Ляпунова .

Смотрите также

• Теория хаоса
• устойчивость по Ляпунову
• Гиперстабильность
• Линейная устойчивость
• Орбитальная устойчивость
• Критерий устойчивости
• Радиус устойчивости
• Структурная устойчивость
• Анализ устойчивости по фон Нейману

Ссылки

1. Egwald Mathematics - Линейная алгебра: Системы линейных дифференциальных уравнений: Анализ линейной устойчивости. Доступно 10 октября 2019 г.
2. "Node - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 2023-03-30 .

• Филипп Холмс и Эрик Т. Ши-Браун (ред.). «Стабильность». Scholarpedia .

Внешние ссылки

• Устойчивые равновесия Михаэля Шрайбера, Демонстрационный проект Вольфрама .