Критерий устойчивости Найквиста

Графический метод определения устойчивости динамической системы

График Найквиста для s = jω . ${\displaystyle G(s)={\frac {1}{s^{2}+s+1}}}$

В теории управления и теории устойчивости критерий устойчивости Найквиста или критерий устойчивости Штрекера–Найквиста , независимо открытый немецким инженером-электриком Феликсом Штрекером  [de] в компании Siemens в 1930 году ^{[1] [2] [3]} и шведско-американским инженером-электриком Гарри Найквистом в компании Bell Telephone Laboratories в 1932 году ^[4] , представляет собой графический метод определения устойчивости динамической системы .

Поскольку он рассматривает только диаграмму Найквиста для систем с открытым контуром , его можно применять без явного вычисления полюсов и нулей как замкнутой, так и открытой системы (хотя количество каждого типа особенностей правой полуплоскости должно быть известно). В результате его можно применять к системам, определяемым нерациональными функциями , например, к системам с задержками. В отличие от диаграмм Боде , он может обрабатывать передаточные функции с особенностями правой полуплоскости. Кроме того, существует естественное обобщение на более сложные системы с несколькими входами и несколькими выходами , например, к системам управления для самолетов.

Критерий устойчивости Найквиста широко используется в электронике и проектировании систем управления , а также в других областях для проектирования и анализа систем с обратной связью . Хотя Найквист является одним из наиболее общих тестов устойчивости, он по-прежнему ограничен линейными стационарными (LTI) системами. Тем не менее, существуют обобщения критерия Найквиста (и графика) для нелинейных систем, такие как круговой критерий и масштабированный относительный график нелинейного оператора . ^[5] Кроме того, другие критерии устойчивости , такие как методы Ляпунова, также могут применяться для нелинейных систем.

Хотя Найквист — это графический метод, он дает лишь ограниченное количество интуиции о том, почему система стабильна или нестабильна, или как модифицировать нестабильную систему, чтобы она стала стабильной. Такие методы, как диаграммы Боде , хотя и менее общие, иногда являются более полезным инструментом проектирования.

График Найквиста

График Найквиста. Хотя частоты на кривой не указаны, можно сделать вывод, что точка нулевой частоты находится справа, а кривая спиралевидно движется к началу координат на высокой частоте. Это связано с тем, что усиление на нулевой частоте должно быть чисто вещественным (по оси X ) и обычно не равно нулю, в то время как большинство физических процессов имеют некоторую степень фильтрации нижних частот, поэтому отклик на высоких частотах равен нулю.

Диаграмма Найквиста — это параметрический график частотной характеристики, используемый в автоматическом управлении и обработке сигналов . Наиболее распространенное использование диаграмм Найквиста — оценка устойчивости системы с обратной связью . В декартовых координатах действительная часть передаточной функции откладывается по оси X , а мнимая часть — по оси Y. Частота развертывается как параметр, в результате чего на каждую частоту приходится одна точка. Тот же график можно описать с помощью полярных координат , где коэффициент усиления передаточной функции — это радиальная координата, а фаза передаточной функции — соответствующая угловая координата. Диаграмма Найквиста названа в честь Гарри Найквиста , бывшего инженера Bell Laboratories .

Оценка устойчивости замкнутой системы с отрицательной обратной связью выполняется путем применения критерия устойчивости Найквиста к графику Найквиста разомкнутой системы (т. е. той же системы без петли обратной связи ). Этот метод легко применим даже для систем с задержками и другими нерациональными передаточными функциями, которые могут показаться сложными для анализа другими методами. Устойчивость определяется путем рассмотрения числа окружностей точки (−1, 0). Диапазон коэффициентов усиления, в котором система будет устойчивой, можно определить путем рассмотрения пересечений действительной оси.

График Найквиста может предоставить некоторую информацию о форме передаточной функции. Например, график предоставляет информацию о разнице между количеством нулей и полюсов передаточной функции ^[6] по углу, под которым кривая приближается к началу координат.

При рисовании от руки иногда используется мультяшная версия графика Найквиста, которая показывает линейность кривой, но где координаты искажены, чтобы показать больше деталей в интересующих областях. При построении вычислительным способом нужно быть осторожным, чтобы охватить все интересующие частоты. Обычно это означает, что параметр пропускается логарифмически, чтобы охватить широкий диапазон значений.

Фон

Математика использует преобразование Лапласа , которое преобразует интегралы и производные во временной области в простое умножение и деление в s- области.

Рассмотрим систему, передаточная функция которой равна ; при помещении ее в замкнутый контур с отрицательной обратной связью передаточная функция замкнутого контура (CLTF) становится следующей: ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle {\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}$

Устойчивость может быть определена путем изучения корней полинома фактора десенсибилизации , например, с использованием массива Рауса , но этот метод несколько утомителен. Выводы также могут быть получены путем изучения передаточной функции открытого контура (OLTF) , используя ее графики Боде или, как здесь, ее полярный график с использованием критерия Найквиста, следующим образом. ${\displaystyle 1+G(s)H(s)}$ ${\displaystyle G(s)H(s)}$

Любая передаточная функция области Лапласа может быть выражена как отношение двух полиномов : ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}.}$

Корни называются нулями , а корни — полюсами . Полюса также называются корнями характеристического уравнения . ${\displaystyle N(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle D(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle D(s)=0}$

Устойчивость определяется значениями его полюсов: для устойчивости действительная часть каждого полюса должна быть отрицательной. Если формируется путем замыкания отрицательной единичной обратной связи вокруг передаточной функции разомкнутого контура, ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$

${\displaystyle G(s)H(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}}$

тогда корни характеристического уравнения также являются нулями или просто корнями . ${\displaystyle 1+G(s)H(s)}$ ${\displaystyle A(s)+B(s)=0}$

Аргументационный принцип Коши

Из комплексного анализа следует , что контур, нарисованный в комплексной плоскости, охватывающий, но не проходящий через какое-либо количество нулей и полюсов функции , может быть отображен на другую плоскость (называемую плоскостью) функцией . Точнее, каждая комплексная точка контура отображается на точку в новой плоскости, что дает новый контур. ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$

График Найквиста , который является контуром, будет охватывать точку плоскости раз , где по принципу аргумента Коши . Здесь и являются, соответственно, количеством нулей и полюсов внутри контура . Обратите внимание, что мы считаем окружности на плоскости в том же смысле, что и контур , и что окружности в противоположном направлении являются отрицательными окружностями. То есть мы считаем окружности по часовой стрелке положительными, а окружности против часовой стрелки — отрицательными. ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{F(s)}=F(\Gamma _{s})}$ ${\displaystyle s={-1/k+j0}}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=P-Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 1+kF(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$

Вместо принципа аргумента Коши в оригинальной статье Гарри Найквиста 1932 года используется менее элегантный подход. Подход, изложенный здесь, похож на подход, использованный Лероем Макколлом (Fundamental theory of servomechanisms 1945) или Хендриком Боде (Network analysis and feedback enhancement design 1945), оба из которых также работали в Bell Laboratories . Этот подход появляется в большинстве современных учебников по теории управления.

Определение

Сначала построим контур Найквиста , контур, охватывающий правую половину комплексной плоскости:

• путь, проходящий вверх по оси, от до . ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle 0-j\infty }$ ${\displaystyle 0+j\infty }$
• полукруглая дуга радиусом , которая начинается в точке и продолжается по часовой стрелке до точки . ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle 0+j\infty }$ ${\displaystyle 0-j\infty }$

Контур Найквиста, отображенный через функцию, дает график в комплексной плоскости. По принципу аргумента число обходов по часовой стрелке начала координат должно быть числом нулей в правой половине комплексной плоскости за вычетом числа полюсов в правой половине комплексной плоскости. Если вместо этого контур отображается через передаточную функцию разомкнутого контура , результатом будет график Найквиста . Подсчитывая окружности результирующего контура −1, мы находим разницу между числом полюсов и нулей в правой половине комплексной плоскости . Вспоминая, что нули являются полюсами замкнутой системы, и отмечая, что полюса совпадают с полюсами , теперь мы формулируем критерий Найквиста : ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$

При наличии контура Найквиста пусть будет числом полюсов, охваченных , и будет числом нулей, охваченных . В качестве альтернативы, и что более важно, если — число полюсов замкнутой системы в правой полуплоскости, а — число полюсов передаточной функции разомкнутого контура в правой полуплоскости, то результирующий контур в -плоскости должен охватить (по часовой стрелке) точку раз таким образом, что . ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{G(s)}}$ ${\displaystyle (-1+j0)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=Z-P}$

Если система изначально нестабильна в разомкнутом контуре, обратная связь необходима для стабилизации системы. Полюса правой полуплоскости (RHP) представляют эту нестабильность. Для устойчивости замкнутого контура системы число корней замкнутого контура в правой половине s -плоскости должно быть равно нулю. Следовательно, число окружностей против часовой стрелки вокруг должно быть равно числу полюсов разомкнутого контура в RHP. Любые окружности по часовой стрелке критической точки частотной характеристикой разомкнутого контура (при оценке от низкой частоты до высокой частоты) будут указывать на то, что система управления с обратной связью будет дестабилизирующей, если контур будет замкнутым. (Использование нулей RHP для «отмены» полюсов RHP не устраняет нестабильность, а скорее гарантирует, что система останется нестабильной даже при наличии обратной связи, поскольку корни замкнутого контура перемещаются между полюсами разомкнутого контура и нулями при наличии обратной связи. Фактически, ноль RHP может сделать нестабильный полюс ненаблюдаемым и, следовательно, не стабилизируемым посредством обратной связи.) ${\displaystyle -1+j0}$

Критерий Найквиста для систем с полюсами на мнимой оси

Рассмотрение выше проводилось с предположением, что передаточная функция разомкнутого контура не имеет полюсов на мнимой оси (т.е. полюсов вида ). Это вытекает из требования принципа аргумента , что контур не может проходить ни через один полюс отображающей функции. Наиболее распространенным случаем являются системы с интеграторами (полюса в нуле). ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle 0+j\omega }$

Чтобы иметь возможность анализировать системы с полюсами на мнимой оси, контур Найквиста можно модифицировать, чтобы избежать прохождения через точку . Один из способов сделать это — построить полукруглую дугу с радиусом вокруг , которая начинается в и движется против часовой стрелки до . Такая модификация подразумевает, что вектор движется по дуге бесконечного радиуса по , где — кратность полюса на мнимой оси. ${\displaystyle 0+j\omega }$ ${\displaystyle r\to 0}$ ${\displaystyle 0+j\omega }$ ${\displaystyle 0+j(\omega -r)}$ ${\displaystyle 0+j(\omega +r)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle -l\pi }$ ${\displaystyle l}$

Математическое выведение

Система с единичной отрицательной обратной связью G со скалярным коэффициентом усиления, обозначенным K

Наша цель — с помощью этого процесса проверить устойчивость передаточной функции нашей системы с единичной обратной связью с коэффициентом усиления k , который определяется выражением

${\displaystyle T(s)={\frac {kG(s)}{1+kG(s)}}}$

То есть, мы хотели бы проверить, выполняется ли характеристическое уравнение приведенной выше передаточной функции, заданное формулой

${\displaystyle D(s)=1+kG(s)=0}$

имеет нули за пределами открытой левой полуплоскости (обычно инициализируется как OLHP).

Мы предполагаем, что у нас есть направленный по часовой стрелке (т.е. отрицательно ориентированный) контур, охватывающий правую полуплоскость, с углублениями, необходимыми для избежания прохождения через нули или полюса функции . Принцип аргумента Коши гласит, что ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle -{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=N=Z-P}$

Где обозначает число нулей , заключенных в контуре, а обозначает число полюсов , заключенных в том же контуре. Переставляя, имеем , то есть ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle D(s)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D(s)}$ ${\displaystyle Z=N+P}$

${\displaystyle Z=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds+P}$

Затем мы замечаем, что имеет точно такие же полюса, как . Таким образом, мы можем найти, подсчитав полюса , которые появляются внутри контура, то есть внутри открытой правой полуплоскости (ORHP). ${\displaystyle D(s)=1+kG(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G(s)}$

Теперь перепишем интеграл выше с помощью подстановки. То есть, положив , имеем ${\displaystyle u(s)=D(s)}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du}$

Затем мы делаем еще одну замену, устанавливая . Это дает нам ${\displaystyle v(u)={\frac {u-1}{k}}}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du=-{{1} \over {2\pi i}}\oint _{v(u(\Gamma _{s}))}{1 \over {v+1/k}}\,dv}$

Теперь мы замечаем, что дает нам изображение нашего контура под , то есть наш график Найквиста . Мы можем еще больше уменьшить интеграл ${\displaystyle v(u(\Gamma _{s}))={{D(\Gamma _{s})-1} \over {k}}=G(\Gamma _{s})}$ ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{G(\Gamma _{s}))}{\frac {1}{v+1/k}}\,dv}$

применяя интегральную формулу Коши . Фактически, мы обнаруживаем, что указанный выше интеграл точно соответствует числу раз, которое график Найквиста обходит точку по часовой стрелке. Таким образом, мы можем окончательно заявить, что ${\displaystyle -1/k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Z={}&N+P\\[6pt]={}&{\text{(number of times the Nyquist plot encircles }}{-1/k}{\text{ clockwise)}}\\&{}+{\text{(number of poles of }}G(s){\text{ in ORHP)}}\end{aligned}}}$

Таким образом, мы обнаруживаем, что, как определено выше, соответствует устойчивой системе с единичной обратной связью, когда , как оценено выше, равно 0. ${\displaystyle T(s)}$ ${\displaystyle Z}$

Важность

Критерий устойчивости Найквиста — это графический метод, который определяет устойчивость динамической системы, такой как система управления с обратной связью. Он основан на принципе аргумента и графике Найквиста передаточной функции разомкнутого контура системы. Он может применяться к системам, которые не определяются рациональными функциями, такими как системы с задержками. Он также может обрабатывать передаточные функции с сингулярностями в правой полуплоскости, в отличие от графиков Боде. Критерий устойчивости Найквиста также может использоваться для нахождения запасов фазы и усиления системы, которые важны для проектирования контроллера частотной области. ^[7]

Краткое содержание

• Если передаточная функция разомкнутого контура имеет нулевой полюс кратности , то график Найквиста имеет разрыв при . При дальнейшем анализе следует предположить, что вектор движется раз по часовой стрелке по полуокружности бесконечного радиуса. После применения этого правила нулевыми полюсами следует пренебречь, т.е. если других нестабильных полюсов нет, то передаточную функцию разомкнутого контура следует считать стабильной. ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle G(s)}$
• Если передаточная функция разомкнутого контура устойчива, то замкнутая система неустойчива тогда и только тогда, когда график Найквиста хотя бы один раз охватывает точку −1. ${\displaystyle G(s)}$
• Если передаточная функция разомкнутого контура нестабильна , то для того , чтобы замкнутая система была устойчивой, для каждого полюса в правой половине комплексной плоскости должна быть одна окружность против часовой стрелки с углом −1. ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$
• Число избыточных окружений ( N  +  P больше 0) в точности равно числу нестабильных полюсов замкнутой системы.
• Однако если график проходит через точку , то принятие решения даже о предельной устойчивости системы становится затруднительным, и единственный вывод, который можно сделать из графика, заключается в том, что на оси существуют нули. ${\displaystyle -1+j0}$ ${\displaystyle j\omega }$

Смотрите также

• Стабильность БИБО
• Участок Боде
• Критерий устойчивости Рауса-Гурвица
• Прирост маржи
• участок Николса
• Круги зала
• Запас по фазе
• Критерий устойчивости Баркгаузена
• Критерий круга
• Контрольная техника
• Ганкелевское сингулярное значение

Ссылки

1. Рейншке, Курт (2014). «Глава 4.3. Das Stabilitätskriterium von Strecker-Nyquist». Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie (на немецком языке) (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . п. 184. ИСБН 978-3-64240960-8. Получено 14.06.2019 .
2. Бисселл, Кристофер К. (2001). «Изобретение «черного ящика»: математика как забытая технология обеспечения в истории инженерии связи» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2019-06-14 . Получено 2019-06-14 .
3. Стрекер, Феликс [на немецком языке] (1947). Die elektrische Selbsterregung mit einer Theorie der aktiven Netzwerke (на немецком языке). Штутгарт, Германия: С. Хирзель Верлаг  [ де ] .(Примечание. Более ранние работы можно найти в разделе литературы.)
4. Найквист, Гарри (январь 1932 г.). «Теория регенерации». Bell System Technical Journal . 11 (1). США: American Telephone and Telegraph Company (AT&T): 126–147. doi :10.1002/j.1538-7305.1932.tb02344.x. S2CID  115002788.
5. Чаффи, Томас; Форни, Фульвио; Сепульчре, Родольф (2023). «Графический нелинейный системный анализ». Труды IEEE по автоматическому управлению . 68 (10): 6067–6081. arXiv : 2107.11272 . doi : 10.1109/TAC.2023.3234016. ISSN  0018-9286. S2CID  236318576.
6. Диаграммы Найквиста, архив 2008-09-30 на Wayback Machine
7. "12.2: Критерий Найквиста для устойчивости". Mathematics LibreTexts . 2017-09-05 . Получено 2023-12-25 .

Дальнейшее чтение

• Фолкнер, Э.А. (1969): Введение в теорию линейных систем ; Чепмен и Холл; ISBN 0-412-09400-2 
• Пиппард, AB (1985): Реакция и устойчивость ; Издательство Кембриджского университета; ISBN 0-521-31994-3 
• Гессинг, Р. (2004): Основы управления ; Силезский технологический университет; ISBN 83-7335-176-0 
• Франклин, Г. (2002): Управление динамическими системами с обратной связью ; Prentice Hall, ISBN 0-13-032393-4 

Внешние ссылки

• Апплеты с изменяемыми параметрами
• EIS Spectrum Analyser — бесплатная программа для анализа и моделирования спектров импеданса.
• Функция MATLAB для создания графика Найквиста частотной характеристики динамической модели системы.
• Формирование графика Найквиста ПИД-регулятора - бесплатный интерактивный виртуальный инструмент, симулятор контура управления
• Функция Mathematica для создания графика Найквиста
• Диаграмма Найквиста для электрических цепей