Стабильная кривая

В алгебраической геометрии устойчивая кривая — это алгебраическая кривая , которая асимптотически устойчива в смысле геометрической теории инвариантов .

Это эквивалентно условию, что это полная связная кривая, единственными сингулярностями которой являются обычные двойные точки , а группа автоморфизмов конечна. Условие, что группа автоморфизмов конечна, можно заменить условием, что она не имеет арифметического рода один и каждый несингулярный рациональный компонент встречается с другими компонентами по крайней мере в 3 точках (Deligne & Mumford 1969).

Полустабильная кривая — это кривая, удовлетворяющая аналогичным условиям, за исключением того, что группа автоморфизмов может быть редуктивной, а не конечной (или, что эквивалентно, ее связный компонент может быть тором). В качестве альтернативы условие, что невырожденные рациональные компоненты встречаются с другими компонентами по крайней мере в трех точках, заменяется условием, что они встречаются по крайней мере в двух точках.

Аналогично кривая с конечным числом отмеченных точек называется устойчивой, если она полна, связна, имеет только обычные двойные точки в качестве особенностей и имеет конечную группу автоморфизмов. Например, эллиптическая кривая (неособая кривая рода 1 с 1 отмеченной точкой) устойчива.

Над комплексными числами связная кривая устойчива тогда и только тогда, когда после удаления всех особых и отмеченных точек универсальные покрытия всех ее компонент изоморфны единичному кругу.

Определение

При наличии произвольной схемы и задании стабильной кривой рода g над определяется как собственный плоский морфизм, такой что геометрические слои представляют собой приведенные , связанные одномерные схемы такие, что ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \pi :C\to S}$ ${\displaystyle C_{s}}$

1. ${\displaystyle C_{s}}$имеет только обычные двухточечные сингулярности
2. Каждый рациональный компонент встречается с другими компонентами более чем в точках ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 2}$
3. ${\displaystyle \dim H^{1}({\mathcal {O}}_{C_{s}})=g}$

Эти технические условия необходимы, поскольку (1) уменьшают техническую сложность (здесь также можно использовать теорию Пикара-Лефшеца), (2) делают кривые жестче, так что нет бесконечно малых автоморфизмов стека модулей, построенных позже, и (3) гарантируют, что арифметический род каждого волокна одинаков. Обратите внимание, что для (1) типы особенностей, обнаруженных в эллиптических поверхностях, могут быть полностью классифицированы.

Примеры

Классический пример семейства устойчивых кривых — семейство кривых Вейерштрасса.

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Q} [t][x,y,z]}{(y^{2}z-x(x-z)(x-tz)}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {Q} [t])\end{matrix}}}$

где слои над каждой точкой гладкие, а вырожденные точки имеют только одну двойную особенность. Этот пример можно обобщить на случай однопараметрического семейства гладких гиперэллиптических кривых, вырождающихся в конечном числе точек. ${\displaystyle \neq 0,1}$

Не примеры

В общем случае более чем одного параметра необходимо позаботиться об удалении кривых, имеющих особенности хуже, чем двухточечные. Например, рассмотрим семейство, построенное из полиномов ${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}}$

${\displaystyle y^{2}=x(x-s)(x-t)(x-1)(x-2)}$

поскольку вдоль диагонали есть недвойные сингулярности. Другой не-пример — это семейство, заданное полиномами ${\displaystyle s=t}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{t}^{1}}$

${\displaystyle x^{3}-y^{2}+t}$

которые представляют собой семейство эллиптических кривых, вырождающихся в рациональную кривую с точкой возврата.

Характеристики

Одним из важнейших свойств стабильных кривых является тот факт, что они являются локальными полными пересечениями. Это подразумевает, что можно использовать стандартную теорию двойственности Серра. В частности, можно показать, что для каждой стабильной кривой есть относительно очень обильный пучок; его можно использовать для вложения кривой в . Используя стандартную теорию схем Гильберта, мы можем построить схему модулей кривых рода, вложенных в некоторое проективное пространство. Многочлен Гильберта задается как ${\displaystyle \omega _{C/S}^{\otimes 3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{5g-6}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}$

В схеме Гильберта содержится подлокус устойчивых кривых

${\displaystyle H_{g}\subset {\textbf {Hilb}}_{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{5g-6}}^{P_{g}}}$

Это представляет собой функтор

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}(S)\cong \left.\left\{{\begin{matrix}&{\text{stable curves }}\pi :C\to S\\&{\text{ with an iso }}\\&\mathbb {P} (\pi _{*}(\omega _{C/S}^{\otimes 3}))\cong \mathbb {P} ^{5g-6}\times S\end{matrix}}\right\}{\Bigg /}{\sim }\right.\cong \operatorname {Hom} (S,H_{g})}$

где — изоморфизмы стабильных кривых. Чтобы сделать это пространством модулей кривых без учета вложения (которое кодируется изоморфизмом проективных пространств), мы должны выполнить mod out на . Это дает нам стек модулей ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle PGL(5g-6)}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}:=[{\underline {H}}_{g}/{\underline {PGL}}(5g-6)]}$

Смотрите также

• Модули алгебраических кривых
• Стабильная карта кривых

Ссылки

• Артин, М.; Винтерс, Г. (1971-11-01). "Вырожденные волокна и стабильная редукция кривых". Топология . 10 (4): 373–383. doi :10.1016/0040-9383(71)90028-0. ISSN  0040-9383.
• Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969), «Неприводимость пространства кривых данного рода», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX  10.1.1.589.288 , doi :10.1007/BF02684599, MR  0262240, S2CID  16482150
• Гизекер, Д. (1982), Лекции по модулям кривых (PDF) , Лекции по математике и физике Института фундаментальных исследований Тата, т. 69, Опубликовано для Института фундаментальных исследований Тата, Бомбей, ISBN 978-3-540-11953-1, МР  0691308
• Харрис, Джо ; Моррисон, Ян (1998), Модули кривых , Graduate Texts in Mathematics, т. 187, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98429-2, г-н  1631825