Устранимая особенность

Неопределенная точка на голоморфной функции, которую можно сделать регулярной

График параболы с устранимой особенностью при x = 2

В комплексном анализе устранимая особенность голоморфной функции — это точка, в которой функция не определена , но можно переопределить функцию в этой точке таким образом, что результирующая функция будет регулярной в окрестности этой точки.

Например, (ненормализованная) функция sinc , определенная как

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {\sin z}{z}}}$

имеет особенность при z = 0. Эту особенность можно устранить, определив, что является пределом sinc при z, стремящемся к 0. Полученная функция голоморфна. В этом случае проблема была вызвана тем, что sinc был задан неопределенным . Взятие разложения в степенной ряд для вокруг особой точки показывает, что ${\displaystyle {\text{sinc}}(0):=1,}$ ${\textstyle {\frac {\sin(z)}{z}}}$

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {1}{z}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k+1)!}}=1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{7!}}+\cdots .}$

Формально, если — открытое подмножество комплексной плоскости , точка из , а — голоморфная функция , то называется устранимой особенностью для , если существует голоморфная функция , совпадающая с на . Мы говорим, что голоморфно продолжима над , если такая существует. ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g:U\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g}$

Теорема Римана

Теорема Римана об устранимых особенностях выглядит следующим образом:

Теорема  —  Пусть — открытое подмножество комплексной плоскости, точка и голоморфная функция, определенная на множестве . Следующие утверждения эквивалентны: ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a\in D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D\setminus \{a\}}$

1. ${\displaystyle f}$голоморфно продолжим над . ${\displaystyle a}$
2. ${\displaystyle f}$непрерывно расширяемо . ${\displaystyle a}$
3. Существует окрестность , на которой ограничено . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$
4. ${\displaystyle \lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}$.

Импликации 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 тривиальны. Чтобы доказать 4 ⇒ 1, сначала напомним, что голоморфность функции при эквивалентна ее аналитичности при ( доказательство ), т.е. представлению в виде степенного ряда. Определим ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\end{cases}}}$

Очевидно, что h голоморфен на и существует ${\displaystyle D\setminus \{a\}}$

${\displaystyle h'(a)=\lim _{z\to a}{\frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}}=\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}$

на 4, следовательно, h голоморфен на D и имеет ряд Тейлора относительно a :

${\displaystyle h(z)=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.}$

Имеем c ₀ = h ( a ) = 0 и c ₁ = h ' ( a ) = 0; следовательно

${\displaystyle h(z)=c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.}$

Следовательно, где , имеем: ${\displaystyle z\neq a}$

${\displaystyle f(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.}$

Однако,

${\displaystyle g(z)=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.}$

является голоморфным на D , таким образом, является расширением . ${\displaystyle f}$

Другие виды сингулярностей

В отличие от функций действительной переменной, голоморфные функции достаточно жесткие, чтобы их изолированные сингулярности могли быть полностью классифицированы. Сингулярность голоморфной функции либо не является сингулярностью вообще, т.е. устранимой сингулярностью, либо относится к одному из следующих двух типов:

1. В свете теоремы Римана, если задана неустранимая особенность, можно задаться вопросом, существует ли натуральное число такое, что . Если да, то называется полюсом , а наименьшее такое число имеет порядок . Таким образом, устранимые особенности — это в точности полюса порядка 0. Голоморфная функция равномерно взрывается вблизи своих других полюсов. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}(z-a)^{m+1}f(z)=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$
2. Если изолированная особенность не является ни устранимой, ни полюсом, она называется существенной особенностью . Великая теорема Пикара показывает, что такая отображает каждую проколотую открытую окрестность на всю комплексную плоскость, за возможным исключением максимум одной точки. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\setminus \{a\}}$

Смотрите также

• Аналитическая способность
• Устранимый разрыв

Внешние ссылки

• Удаляемая особая точка в Encyclopedia of Mathematics