Фазовый портрет

График траекторий динамической системы в фазовом пространстве

Потенциальная энергия и фазовый портрет простого маятника . Обратите внимание, что ось x, будучи угловой, заворачивается сама на себя через каждые 2π радиан.

Фазовый портрет затухающего осциллятора с возрастающей силой затухания. Уравнение движения имеет вид ${\displaystyle {\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega ^{2}x=0.}$

В математике фазовый портрет — это геометрическое представление орбит динамической системы на фазовой плоскости . Каждый набор начальных условий представлен отдельной точкой или кривой .

Фазовые портреты являются бесценным инструментом в изучении динамических систем. Они состоят из графика типичных траекторий в фазовом пространстве . Это раскрывает информацию, например, о том, присутствует ли аттрактор , репеллер или предельный цикл для выбранного значения параметра. Концепция топологической эквивалентности важна для классификации поведения систем, указывая, когда два разных фазовых портрета представляют одно и то же качественное динамическое поведение. Аттрактор — это устойчивая точка, которая также называется «стоком». Репеллер рассматривается как неустойчивая точка, которая также известна как «источник».

Фазовый портрет динамической системы изображает траектории системы (стрелками), устойчивые состояния (точками) и неустойчивые состояния (кругами) в фазовом пространстве. Оси — переменные состояния .

Примеры

Иллюстрация того, как будет построен фазовый портрет для движения простого маятника.

Фазовый портрет уравнения Ван дер Поля , . ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mu (y^{2}-1){\frac {dy}{dt}}+y=0}$

• Простой маятник , см. рисунок (справа).
• Простой гармонический осциллятор , фазовый портрет которого состоит из эллипсов с центром в начале координат, являющемся неподвижной точкой.
• Затухающие гармонические колебания , см. анимацию (справа).
• Осциллятор Ван дер Поля, см. рисунок (внизу справа).

Визуализация поведения обыкновенных дифференциальных уравнений

Фазовый портрет представляет направленное поведение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовый портрет может указывать на устойчивость системы. ^[1]

Поведение фазового портрета системы ОДУ может быть определено собственными значениями или следом и определителем (след = λ ₁ + λ ₂ , определитель = λ ₁ x λ ₂ ) системы. ^[1]

Смотрите также

• Фазовое пространство
• Фазовая плоскость

Ссылки

1. Хейнс Миллер и Артур Мэттук. 18.03 Дифференциальные уравнения. Весна 2010 г. Массачусетский технологический институт: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. Лицензия: Creative Commons BY-NC-SA. (Дополнительные примечания 26 Хейнса Миллера: https://ocw.mit.edu/courses/18-03-differential-equations-spring-2010/resources/mit18_03s10_chapter_26/)

• Jordan, DW; Smith, P. (2007). Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения (четвертое издание). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920824-1.Глава 1.
• Стивен Строгац (2001). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике . ISBN 9780738204536.

Внешние ссылки

• Линейные фазовые портреты, матлет Массачусетского технологического института.