Маятник

Механизм регулирования скорости хода часов

Модель «простого гравитационного маятника» не предполагает наличия трения или сопротивления воздуха.

Маятник — это устройство, сделанное из груза, подвешенного к шарниру так, что он может свободно качаться. ^{[1] Когда} маятник смещается вбок от своего положения покоя, равновесия , он подвергается воздействию восстанавливающей силы из-за гравитации , которая ускорит его обратно к положению равновесия. При освобождении восстанавливающая сила, действующая на массу маятника, заставляет его колебаться около положения равновесия, качаясь вперед и назад. Время одного полного цикла, левого качания и правого качания, называется периодом . Период зависит от длины маятника, а также в небольшой степени от амплитуды , ширины качания маятника.

Регулярное движение маятников использовалось для измерения времени и было самой точной технологией измерения времени в мире до 1930-х годов. ^[2] Маятниковые часы, изобретенные Христианом Гюйгенсом в 1656 году, стали мировым стандартом для измерения времени, использовались в домах и офисах в течение 270 лет и достигли точности около одной секунды в год, прежде чем были заменены кварцевыми часами в качестве стандарта времени в 1930-х годах. Маятники также используются в научных приборах, таких как акселерометры и сейсмометры . Исторически они использовались в качестве гравиметров для измерения ускорения силы тяжести в геофизических исследованиях и даже в качестве стандарта длины. Слово pendulum является неолатинским , от латинского pendulus , что означает « висящий » . ^[3]

Двойной маятник

Анимация двойного составного маятника, демонстрирующего хаотическое поведение. Две секции имеют одинаковую длину и массу, причем масса равномерно распределена по длине каждой секции, а шарниры находятся на самых концах. Движение вычислено методом Рунге–Кутты четвертого порядка.

В физике и математике , в области динамических систем , двойной маятник, также известный как хаотический маятник, представляет собой маятник с другим маятником, прикрепленным к его концу, образуя простую физическую систему , которая демонстрирует богатое динамическое поведение с сильной чувствительностью к начальным условиям . ^[4] Движение двойного маятника регулируется набором связанных обыкновенных дифференциальных уравнений и является хаотическим .

Простой гравитационный маятник

Простой гравитационный маятник ^[5] — это идеализированная математическая модель маятника. ^{[6] [7] [8]} Это груз (или отвес ) на конце невесомого шнура, подвешенного к оси без трения . При начальном толчке он будет качаться вперед и назад с постоянной амплитудой . Реальные маятники подвержены трению и сопротивлению воздуха , поэтому амплитуда их колебаний уменьшается.

Маятник

Период колебания

Период маятника увеличивается с увеличением амплитуды θ ₀ (ширины качания).

Период качания простого гравитационного маятника зависит от его длины , локальной силы тяжести и в небольшой степени от максимального угла , на который маятник отклоняется от вертикали, θ ₀ , называемого амплитудой . ^[9] Он не зависит от массы груза. Если амплитуда ограничена малыми колебаниями, ^{[Примечание 1]} период T простого маятника, время, необходимое для полного цикла, составляет: [ ^10]

где — длина маятника, — местное ускорение свободного падения . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle g}$

Для небольших колебаний период колебаний примерно одинаков для колебаний разного размера: то есть период не зависит от амплитуды . Это свойство, называемое изохронностью , является причиной того, что маятники так полезны для измерения времени. ^[11] Последовательные колебания маятника, даже если они меняются по амплитуде, занимают одинаковое количество времени.

Для больших амплитуд период постепенно увеличивается с амплитудой, поэтому он больше, чем дано уравнением (1). Например, при амплитуде θ ₀ = 0,4 радиан (23°) он на 1% больше, чем дано уравнением (1). Период увеличивается асимптотически (до бесконечности) по мере того, как θ ₀ приближается к π радиан (180°), поскольку значение θ ₀ = π является неустойчивой точкой равновесия для маятника. Истинный период идеального простого гравитационного маятника можно записать в нескольких различных формах (см. маятник (механика) ), одним из примеров является бесконечный ряд : ^{[12] [13]} где в радианах. $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}$$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

Разница между этим истинным периодом и периодом для малых колебаний (1) выше называется круговой ошибкой . В случае типичных напольных часов, маятник которых имеет колебание 6° и, следовательно, амплитуду 3° (0,05 радиан), разница между истинным периодом и приближением малого угла (1) составляет около 15 секунд в день.

При малых колебаниях маятник приближается к гармоническому осциллятору , а его движение как функции времени t приблизительно представляет собой простое гармоническое движение : ^[6] где — постоянная величина, зависящая от начальных условий . $${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}\,t+\varphi \right)}$$ ${\displaystyle \varphi }$

Для реальных маятников период немного меняется в зависимости от таких факторов, как плавучесть и вязкое сопротивление воздуха, масса нити или стержня, размер и форма груза и способ его крепления к нити, а также гибкость и растяжение нити. ^{[12] [14]} В точных приложениях может потребоваться внести поправки на эти факторы в уравнение (1), чтобы точно определить период.

Затухающий, движущийся маятник представляет собой хаотическую систему. ^{[ необходима цитата ]}

Составной маятник

Любое качающееся твердое тело, свободно вращающееся вокруг фиксированной горизонтальной оси, называется составным маятником или физическим маятником . Составной маятник имеет тот же период, что и простой гравитационный маятник длины , называемой эквивалентной длиной или радиусом колебания , равным расстоянию от оси вращения до точки, называемой центром колебания . ^[15] Эта точка расположена под центром масс маятника, на расстоянии, которое зависит от распределения массы маятника. Если большая часть массы сосредоточена в относительно небольшом грузике по сравнению с длиной маятника, центр колебания близок к центру масс. ^[16] ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$

Радиус колебания или эквивалентная длина любого физического маятника может быть показана как ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$ $${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {I_{O}}{mr_{\mathrm {CM} }}}}$$

где - момент инерции маятника относительно точки опоры , - полная масса маятника, - расстояние между точкой опоры и центром масс . Подставляя это выражение в (1) выше, период составного маятника определяется как для достаточно малых колебаний. ^[17] ${\displaystyle I_{O}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\mathrm {CM} }}}}}$$

Например, жесткий однородный стержень длиной, вращающийся вокруг одного конца, имеет момент инерции . Центр масс расположен в центре стержня, поэтому Подстановка этих значений в приведенное выше уравнение дает . Это показывает, что маятник с жестким стержнем имеет тот же период, что и простой маятник длиной в две трети. ${\displaystyle \ell }$ ${\textstyle I_{O}={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}$ ${\textstyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {1}{2}}\ell }$ ${\textstyle T=2\pi {\sqrt {\frac {{\frac {2}{3}}\ell }{g}}}}$

Христиан Гюйгенс доказал в 1673 году, что точка опоры и центр колебаний взаимозаменяемы. ^[18] Это означает, что если любой маятник перевернуть вверх дном и качать от точки опоры, расположенной в его предыдущем центре колебаний, он будет иметь тот же период, что и раньше, а новый центр колебаний будет в старой точке опоры. В 1817 году Генри Катер использовал эту идею для создания типа обратимого маятника, теперь известного как маятник Катера , для улучшенных измерений ускорения силы тяжести.

История

Копия сейсмометра Чжан Хэна . Маятник находится внутри.

Одним из самых ранних известных применений маятника было сейсмометрическое устройство I века династии Хань , созданное китайским ученым Чжан Хэном . ^[19] Его функция заключалась в том, чтобы качать и активировать один из ряда рычагов после того, как он был потревожен толчком землетрясения вдалеке . ^[20] Выпущенный рычагом, небольшой шарик выпадал из устройства в форме урны в один из восьми металлических ртов жаб внизу, в восьми точках компаса, обозначая направление, в котором произошло землетрясение. ^[20]

Многие источники ^{[21] [22] [23] [24]} утверждают, что египетский астроном X века Ибн Юнус использовал маятник для измерения времени, но это была ошибка, которая возникла в 1684 году благодаря британскому историку Эдварду Бернарду . ^{[25] [26] [27] [28]}

В эпоху Возрождения большие маятники с ручным насосом использовались в качестве источников энергии для ручных возвратно-поступательных машин, таких как пилы, мехи и насосы. ^[29]

1602: Исследования Галилея

Итальянский ученый Галилео Галилей был первым, кто изучал свойства маятников, начиная примерно с 1602 года. ^[30] Первый зафиксированный интерес к маятникам, проявленный Галилеем, был около 1588 года в его посмертно опубликованных записях под названием « О движении» , ^{[31] [32]} в которых он отметил, что более тяжелые объекты будут продолжать колебаться в течение большего количества времени, чем более легкие объекты. Самый ранний сохранившийся отчет о его экспериментальных исследованиях содержится в письме Гвидо Убальдо даль Монте из Падуи от 29 ноября 1602 года. ^[33] Его биограф и ученик Винченцо Вивиани утверждал, что его интерес был вызван около 1582 года качательным движением люстры в Пизанском соборе . ^{[34] [35]} Галилей открыл важнейшее свойство, которое делает маятники полезными в качестве хронометров, называемое изохронизмом; период маятника приблизительно не зависит от амплитуды или ширины качания. ^[36] Он также обнаружил, что период не зависит от массы груза и пропорционален квадратному корню длины маятника. Он впервые применил свободно качающиеся маятники в простых приложениях для измерения времени. Санторио Сантори в 1602 году изобрел устройство, которое измеряло пульс пациента по длине маятника; пульсилогиум . ^[37] В 1641 году Галилей продиктовал своему сыну Винченцо проект механизма, который поддерживал качание маятника, который был описан как первые маятниковые часы; ^[36] Винченцо начал строительство, но не завершил его, когда умер в 1649 году. ^[38]

1656: Маятниковые часы

Первые маятниковые часы

В 1656 году голландский ученый Христиан Гюйгенс построил первые маятниковые часы . ^[39] Это было большим усовершенствованием по сравнению с существующими механическими часами; их максимальная точность была улучшена с примерно 15 минут отклонения в день до примерно 15 секунд в день. ^[40] Маятники распространились по Европе, поскольку существующие часы были модернизированы ими. ^[41]

Английский ученый Роберт Гук изучал конический маятник около 1666 года, состоящий из маятника, который свободно качается в двух измерениях, с грузом, вращающимся по кругу или эллипсу. [ ^42] Он использовал движения этого устройства в качестве модели для анализа орбитальных движений планет . ^[43] Гук предположил Исааку Ньютону в 1679 году, что компоненты орбитального движения состоят из инерционного движения вдоль касательного направления плюс притягивающее движение в радиальном направлении. Это сыграло роль в формулировке Ньютоном закона всемирного тяготения . ^{[44] [45]} Роберт Гук также был ответственен за предположение еще в 1666 году, что маятник можно использовать для измерения силы тяжести. ^[42]

Во время своей экспедиции в Кайенну , Французская Гвиана , в 1671 году Жан Рише обнаружил, что маятниковые часы были 2+На 1 ⁄ 2 минуты в день медленнее в Кайенне, чем в Париже. Из этого он сделал вывод, что сила тяжести в Кайенне была ниже. ^{[46] [47]} В 1687 году Исаак Ньютон в Principia Mathematica показал, что это было потому, что Земля была не настоящей сферой, а слегка сплющенной (сплющенной на полюсах) из-за эффекта центробежной силы из-за ее вращения, в результате чего сила тяжести увеличивалась с широтой . ^[48] Портативные маятники начали брать с собой в путешествия в далекие страны в качестве точных гравиметров для измерения ускорения силы тяжести в разных точках Земли, что в конечном итоге привело к точным моделям формы Земли . ^[49]

1673: ГюйгенсHorologium Oscillatorium

В 1673 году, через 17 лет после изобретения маятниковых часов, Христиан Гюйгенс опубликовал свою теорию маятника, Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum . ^{[50] [51]} Марен Мерсенн и Рене Декарт обнаружили около 1636 года, что маятник не совсем изохронен; его период несколько увеличивается с его амплитудой. ^[52] Гюйгенс проанализировал эту проблему, определив, какой кривой должен следовать объект, чтобы спуститься под действием силы тяжести в ту же точку за тот же промежуток времени, независимо от начальной точки; так называемая кривая таутохроны . С помощью сложного метода, который был ранним применением исчисления , он показал, что эта кривая была циклоидой , а не дугой окружности маятника, ^[53] подтвердив, что маятник не был изохронен, и наблюдение Галилея об изохронности было точным только для небольших колебаний. ^[54] Гюйгенс также решил проблему расчета периода маятника произвольной формы (называемого составным маятником ), открыв центр колебаний и его взаимозаменяемость с точкой опоры. ^[55]

Существующий часовой механизм, спусковой механизм с гранями , заставлял маятники качаться по очень широким дугам около 100°. ^[56] Гюйгенс показал, что это было источником неточности, заставляя период меняться с изменениями амплитуды, вызванными небольшими неизбежными изменениями движущей силы часов. ^[57] Чтобы сделать его период изохронным, Гюйгенс установил металлические направляющие циклоидальной формы рядом с шарнирами в своих часах, которые ограничивали подвесной шнур и заставляли маятник следовать по циклоидальной дуге (см. циклоидальный маятник ). ^[58] Это решение оказалось не таким практичным, как простое ограничение качания маятника небольшими углами в несколько градусов. Осознание того, что только небольшие колебания были изохронными, побудило к разработке анкерного спуска около 1670 года, который уменьшил качание маятника в часах до 4°–6°. ^{[56] [59]} Это стало стандартным спусковым механизмом, используемым в маятниковых часах.

1721: Маятники с температурной компенсацией

Маятник Фуко в 1851 году был первой демонстрацией вращения Земли, которая не включала небесные наблюдения, и он создал «маятниковую манию». В этой анимации скорость прецессии сильно преувеличена.

В XVIII и XIX веках роль маятниковых часов как наиболее точного хронометриста мотивировала множество практических исследований по улучшению маятников. Было обнаружено, что основным источником погрешности было то, что стержень маятника расширялся и сжимался при изменении температуры окружающей среды, изменяя период качания. ^{[9] [60]} Эта проблема была решена с изобретением температурно-компенсированных маятников, ртутного маятника в 1721 году ^[61] и решетчатого маятника в 1726 году, что уменьшило погрешность в точных маятниковых часах до нескольких секунд в неделю. ^[58]

Точность измерений силы тяжести, проводимых с помощью маятников, была ограничена трудностью нахождения местоположения их центра колебаний . Гюйгенс открыл в 1673 году, что маятник имеет тот же период колебаний, когда он подвешен к своему центру колебаний, что и когда он подвешен к своей оси, ^[18] и расстояние между двумя точками было равно длине простого гравитационного маятника с тем же периодом. ^[15] В 1818 году британский капитан Генри Катер изобрел обратимый маятник Катера ^[62] , который использовал этот принцип, что сделало возможным очень точные измерения силы тяжести. В течение следующего столетия обратимый маятник был стандартным методом измерения абсолютного ускорения силы тяжести.

1851: маятник Фуко

В 1851 году Жан Бернар Леон Фуко показал, что плоскость колебания маятника, как и гироскопа , имеет тенденцию оставаться постоянной независимо от движения оси, и что это может быть использовано для демонстрации вращения Земли . Он подвесил маятник, свободно качающийся в двух измерениях (позже названный маятником Фуко ), к куполу Пантеона в Париже. Длина шнура составляла 67 м (220 футов). После того, как маятник был приведен в движение, было замечено, что плоскость качания прецессирует или вращается на 360° по часовой стрелке примерно за 32 часа. ^[63] Это была первая демонстрация вращения Земли, которая не зависела от небесных наблюдений, ^[64] и разразилась «маятниковая мания», поскольку маятники Фуко были выставлены во многих городах и привлекали большие толпы. ^{[65] [66]}

1930: Спад использования

Около 1900 года для стержней маятников в часах и других приборах с самой высокой точностью начали использоваться материалы с низким коэффициентом теплового расширения , сначала инвар , сплав никелевой стали, а позже плавленый кварц , что сделало температурную компенсацию тривиальной. ^[67] Точные маятники размещались в резервуарах низкого давления, которые поддерживали постоянное давление воздуха, чтобы предотвратить изменения периода из-за изменений плавучести маятника из-за изменения атмосферного давления . ^[67] Лучшие маятниковые часы достигли точности около секунды в год. ^{[68] [69]}

Точность измерения времени маятника была превзойдена кварцевым генератором , изобретенным в 1921 году, а кварцевые часы , изобретенные в 1927 году, заменили маятниковые часы в качестве лучших в мире хронометров. ^[2] Маятниковые часы использовались в качестве стандартов времени до Второй мировой войны, хотя Французская служба времени продолжала использовать их в своем официальном ансамбле стандартов времени до 1954 года. ^[70] Маятниковые гравиметры были заменены гравиметрами «свободного падения» в 1950-х годах, ^[71] но маятниковые приборы продолжали использоваться в 1970-х годах.

Использовать для измерения времени

В течение 300 лет, с момента его открытия около 1582 года и до разработки кварцевых часов в 1930-х годах, маятник был мировым стандартом для точного измерения времени. ^{[2] [72]} В дополнение к часовым маятникам, свободно качающиеся секундные маятники широко использовались в качестве точных таймеров в научных экспериментах в 17-м и 18-м веках. Маятники требуют большой механической стабильности: изменение длины всего на 0,02%, 0,2 мм в маятнике напольных часов, вызовет ошибку в минуту в неделю. ^[73]

Маятники часов

Маятники часов

Маятники в часах (см. пример справа) обычно изготавливаются из груза или груза (b), подвешенного на стержне из дерева или металла (a) . ^{[9] [74]} Для уменьшения сопротивления воздуха (которое составляет большую часть потерь энергии в точных часах) ^[75] груз традиционно представляет собой гладкий диск с линзовидным поперечным сечением, хотя в старинных часах он часто имел резьбу или украшения, характерные для типа часов. В качественных часах груз делается настолько тяжелым, насколько может поддерживать подвеска и может приводить в движение механизм, поскольку это улучшает регулировку часов (см. Точность ниже). Обычный вес для груза секундного маятника составляет 15 фунтов (6,8 кг). ^[76] Вместо подвешивания на оси, маятники часов обычно поддерживаются короткой прямой пружиной (d) из гибкой металлической ленты. Это позволяет избежать трения и «игры», вызванных осью, а небольшая изгибающая сила пружины просто добавляется к восстанавливающей силе маятника . Часы самой высокой точности имеют шарниры из лезвий «ножа», опирающихся на агатовые пластины. Импульсы для поддержания качания маятника подаются рычагом, висящим позади маятника, называемым костылем , ( e) , который заканчивается вилкой , ( f), зубцы которой охватывают стержень маятника. Костыль толкается вперед и назад спусковым механизмом часов , (g,h) .

Каждый раз, когда маятник проходит через свое центральное положение, он освобождает один зуб спускового колеса (g) . Сила главной пружины часов или движущего груза, подвешенного на шкиве, передаваемая через зубчатую передачу часов , заставляет колесо вращаться, а зуб нажимает на одну из паллет (h) , давая маятнику короткий толчок. Колеса часов, соединенные с спусковым колесом, перемещаются вперед на фиксированное расстояние с каждым качанием маятника, продвигая стрелки часов с постоянной скоростью.

Маятник всегда имеет средство регулировки периода, обычно с помощью регулировочной гайки (c) под грузом, которая перемещает его вверх или вниз по стержню. ^{[9] [77]} Перемещение груза вверх уменьшает длину маятника, заставляя маятник качаться быстрее, а часы отставать. Некоторые точные часы имеют небольшой вспомогательный регулировочный груз на резьбовом валу на грузе, что позволяет производить более тонкую настройку. Некоторые башенные часы и точные часы используют поднос, прикрепленный вблизи середины стержня маятника, к которому можно добавлять или удалять небольшие грузы. Это эффективно смещает центр колебаний и позволяет регулировать скорость без остановки часов. ^{[78] [79]}

Маятник должен быть подвешен к жесткой опоре. ^{[9] [80]} Во время работы любая эластичность будет допускать крошечные незаметные покачивающие движения опоры, что нарушает период часов, приводя к ошибке. Маятниковые часы должны быть надежно прикреплены к прочной стене.

Самая распространенная длина маятника в качественных часах, которая всегда используется в напольных часах , это секундный маятник , длиной около 1 метра (39 дюймов). В каминных часах используются полусекундные маятники длиной 25 см (9,8 дюйма) или короче. Только несколько больших башенных часов используют более длинные маятники, 1,5-секундный маятник длиной 2,25 м (7,4 фута) или иногда двухсекундный маятник длиной 4 м (13 футов) ^{[9] [81]} , который используется в Биг-Бене . ^[82]

Температурная компенсация

Ртутный маятник в астрономических регуляторных часах Адольфа Оппермана, конец 1800-х гг.

Самым большим источником погрешности в ранних маятниках были небольшие изменения длины из-за теплового расширения и сжатия стержня маятника при изменении температуры окружающей среды. ^[83] Это было обнаружено, когда люди заметили, что маятниковые часы шли медленнее летом, на целую минуту в неделю ^{[60] [84]} (одним из первых был Годфруа Венделин , о чем сообщил Гюйгенс в 1658 году). ^[85] Тепловое расширение стержней маятника впервые было изучено Жаном Пикаром в 1669 году. ^{[86] [87]} Маятник со стальным стержнем будет расширяться примерно на 11,3 частей на миллион (ppm) с каждым повышением температуры на градус Цельсия, заставляя его терять около 0,27 секунды в день на каждый градус Цельсия повышения температуры или 9 секунд в день при изменении на 33 °C (59 °F). Деревянные стержни расширяются меньше, теряя всего около 6 секунд в день при изменении температуры на 33 °C (59 °F), поэтому качественные часы часто имели деревянные маятниковые стержни. Дерево приходилось покрывать лаком, чтобы предотвратить попадание водяного пара, поскольку изменения влажности также влияли на длину.

Меркурийный маятник

Первым устройством для компенсации этой ошибки был ртутный маятник, изобретенный Джорджем Грэхемом ^[61] в 1721 году. ^{[9] [84]} Жидкий металл ртути расширяется в объеме с температурой. В ртутном маятнике груз маятника (боб) представляет собой контейнер с ртутью. С повышением температуры стержень маятника становится длиннее, но ртуть также расширяется, и ее уровень поверхности немного поднимается в контейнере, перемещая ее центр масс ближе к оси маятника. При использовании правильной высоты ртути в контейнере эти два эффекта будут нейтрализованы, оставляя центр масс маятника и его период неизменными с температурой. Его главным недостатком было то, что при изменении температуры стержень быстро достигал новой температуры, но массе ртути могло потребоваться день или два, чтобы достичь новой температуры, в результате чего скорость отклонялась в течение этого времени. ^[88] Для улучшения тепловой адаптации часто использовались несколько тонких контейнеров, сделанных из металла. Ртутные маятники были стандартом, используемым в прецизионных регуляторных часах в 20 веке. ^[89]

Маятник с решетчатой ​​структурой

Схема решетчатого маятника

1. внешняя схема
2. нормальная температура
3. более высокая температура

Наиболее широко используемый компенсированный маятник был сетчатым маятником , изобретенным в 1726 году Джоном Харрисоном . ^{[9] [84] [88]} Он состоит из чередующихся стержней из двух разных металлов, один с меньшим тепловым расширением ( КТР ), сталь , и один с большим тепловым расширением, цинк или латунь . Стержни соединены рамой, как показано на рисунке справа, так что увеличение длины цинковых стержней толкает груз вверх, укорачивая маятник. С повышением температуры стальные стержни с низким расширением делают маятник длиннее, в то время как цинковые стержни с высоким расширением делают его короче. При изготовлении стержней правильной длины большее расширение цинка компенсирует расширение стальных стержней, которые имеют большую общую длину, и маятник остается той же длины при изменении температуры.

Маятники из цинковой стали и решётки изготавливаются с 5 стержнями, но тепловое расширение латуни ближе к стали, поэтому для латунно-стальных решёток обычно требуется 9 стержней. Маятники из решётки приспосабливаются к изменениям температуры быстрее, чем ртутные маятники, но учёные обнаружили, что трение стержней, скользящих в своих отверстиях в раме, заставляет маятники из решётки приспосабливаться серией крошечных скачков. ^[88] В часах высокой точности это приводило к внезапному изменению скорости хода часов с каждым скачком. Позже было обнаружено, что цинк подвержен ползучести . По этим причинам ртутные маятники использовались в часах самой высокой точности, но решётки использовались в качественных регуляторных часах.

Маятники с решёткой стали настолько ассоциироваться с хорошим качеством, что и по сей день многие обычные часовые маятники имеют декоративные «поддельные» решётки, которые на самом деле не имеют никакой функции температурной компенсации.

Инвар и плавленый кварц

Около 1900 года были разработаны материалы с низким тепловым расширением, которые можно было использовать в качестве стержней маятника, чтобы сделать сложную температурную компенсацию ненужной. ^{[9] [84]} Они использовались только в нескольких часах высокой точности, прежде чем маятник стал устаревшим как стандарт времени. В 1896 году Шарль Эдуард Гийом изобрел сплав никелевой стали Инвар . Его КТР составляет около 0,9  частей на миллион /°С (0,5 ppm/°F ), что приводит к ошибкам температуры маятника свыше 22 °C (71 °F) всего в 1,3 секунды в день, и эта остаточная ошибка может быть компенсирована до нуля несколькими сантиметрами алюминия под грузом маятника ^{[2] [88]} (это можно увидеть на изображении часов Рифлера выше). Маятники из инвара были впервые использованы в 1898 году в часах-регуляторе Рифлера ^[90] , которые достигли точности 15 миллисекунд в день. Пружины подвески из элинвара использовались для устранения температурных колебаний восстанавливающей силы пружины на маятнике. Позже использовался плавленый кварц , который имел еще более низкий КТР. Эти материалы являются выбором для современных маятников высокой точности. ^[91]

Атмосферное давление

Влияние окружающего воздуха на движущийся маятник является сложным и требует точного расчета механики жидкости , но для большинства целей его влияние на период можно объяснить тремя эффектами: ^{[67] [92]}

• По закону Архимеда эффективный вес груза уменьшается за счет выталкивающей силы воздуха, который он вытесняет, в то время как масса ( инерция ) остается прежней, уменьшая ускорение маятника во время его качания и увеличивая период. Это зависит от давления воздуха и плотности маятника, но не от его формы.
• Маятник несет с собой некоторое количество воздуха, когда он качается, и масса этого воздуха увеличивает инерцию маятника, снова уменьшая ускорение и увеличивая период. Это зависит как от его плотности, так и от формы.
• Вязкое сопротивление воздуха замедляет скорость маятника. Это оказывает незначительное влияние на период, но рассеивает энергию, уменьшая амплитуду. Это снижает добротность маятника , требуя более сильной движущей силы от часового механизма, чтобы поддерживать его движение, что приводит к увеличению возмущения периода.

Увеличение барометрического давления немного увеличивает период маятника из-за первых двух эффектов, примерно на 0,11 секунды в день на килопаскаль (0,37 секунды в день на дюйм ртутного столба ; 0,015 секунды в день на торр ). ^[67] Исследователи, использующие маятники для измерения ускорения силы тяжести, должны были корректировать период с учетом давления воздуха на высоте измерения, вычисляя эквивалентный период маятника, качающегося в вакууме. Маятниковые часы впервые были запущены в баке постоянного давления Фридрихом Тиде в 1865 году в Берлинской обсерватории , ^{[93] [94]} и к 1900 году самые точные часы были установлены в баках, которые поддерживались при постоянном давлении, чтобы исключить изменения атмосферного давления. В качестве альтернативы в некоторых случаях небольшой механизм анероидного барометра, прикрепленный к маятнику, компенсировал этот эффект.

Гравитация

На маятники влияют изменения гравитационного ускорения, которое варьируется на целых 0,5% в разных местах на Земле, поэтому точные маятниковые часы необходимо перекалибровать после перемещения. Даже перемещение маятниковых часов на вершину высокого здания может привести к потере измеримого времени из-за уменьшения гравитации.

Точность маятников как хронометров

Элементы хронометража во всех часах, включая маятники, балансировочные колеса , кварцевые кристаллы, используемые в кварцевых часах , и даже вибрирующие атомы в атомных часах , в физике называются гармоническими осцилляторами . Причина, по которой гармонические осцилляторы используются в часах, заключается в том, что они вибрируют или колеблются на определенной резонансной частоте или периоде и сопротивляются колебаниям на других скоростях. Однако резонансная частота не является бесконечно «острой». Вокруг резонансной частоты существует узкая естественная полоса частот (или периодов), называемая шириной резонанса или полосой пропускания , где гармонический осциллятор будет колебаться. ^{[95] [96]} В часах фактическая частота маятника может случайным образом изменяться в пределах этой ширины резонанса в ответ на возмущения, но на частотах за пределами этой полосы часы вообще не будут функционировать. Ширина резонанса определяется затуханием , потерей энергии на трение за одно колебание маятника.

Вфактор

Часы с маятником Shortt-Synchronome , самые точные маятниковые часы из когда-либо созданных, в музее NIST , Гейтерсберг, Мэриленд , США. Они отсчитывали время с помощью двух синхронизированных маятников. Главный маятник в вакуумном баке (слева) качался практически без помех и управлял подчиненным маятником в корпусе часов (справа), который выполнял задачи импульсации и хронометража. Точность хода составляла около секунды в год.

Мерой устойчивости гармонического осциллятора к возмущениям периода его колебаний является безразмерный параметр, называемый добротностью, равный резонансной частоте, деленной на ширину резонанса . ^{[96] [97]} Чем выше добротность , тем меньше ширина резонанса и тем более постоянна частота или период осциллятора для данного возмущения. ^[98] Обратная величина добротности примерно пропорциональна предельной точности, достижимой гармоническим осциллятором в качестве стандарта времени. ^[99]

Q связано с тем , сколько времени требуется для затухания колебаний осциллятора. Q маятника можно измерить, подсчитав количество колебаний, необходимое для того, чтобы амплитуда колебаний маятника снизилась до 1/ e = 36,8% от начального колебания, и умножив на 'π .

В часах маятник должен получать толчки от движения часов , чтобы поддерживать его качание, чтобы возместить энергию, которую маятник теряет на трение. Эти толчки, применяемые механизмом, называемым спусковым механизмом , являются основным источником возмущения движения маятника. Q равен 2π , умноженному на энергию, запасенную в маятнике, деленную на энергию, потерянную на трение в течение каждого периода колебаний, которая равна энергии, добавленной спусковым механизмом в каждом периоде. Можно видеть, что чем меньше доля энергии маятника, которая теряется на трение, тем меньше энергии нужно добавить, тем меньше возмущение от спуска, тем более «независим» маятник от механизма часов и тем более постоянен его период. Q маятника определяется по формуле: где M — масса груза, ω = 2 π / T — радианная частота колебаний маятника, а Γ — сила трения, действующая на маятник на единицу скорости. $${\displaystyle Q={\frac {M\omega }{\Gamma }}}$$

ω фиксируется периодом маятника, а M ограничивается грузоподъемностью и жесткостью подвески. Таким образом, Q маятников часов увеличивается за счет минимизации потерь на трение (Γ). Прецизионные маятники подвешены на шарнирах с низким трением, состоящих из треугольных «ножевых» кромок, опирающихся на агатовые пластины. Около 99% потерь энергии в свободно качающемся маятнике происходит из-за трения о воздух, поэтому установка маятника в вакуумном резервуаре может увеличить Q , а значит и точность, в 100 раз. ^[100]

Q маятников варьируется от нескольких тысяч в обычных часах до нескольких сотен тысяч для маятников с точным регулятором, качающихся в вакууме. ^[101] Качественные домашние маятниковые часы могут иметь Q 10 000 и точность 10 секунд в месяц. Самыми точными коммерчески производимыми маятниковыми часами были свободные маятниковые часы Shortt-Synchronome , изобретенные в 1921 году. ^{[2] [68] [102] [103] [104]} Их главный маятник из инвара , качающийся в вакуумном резервуаре, имел Q 110 000 ^[101] и частоту ошибок около секунды в год. ^[68]

Их Q 10 ³ –10 ⁵ является одной из причин, по которой маятники являются более точными хронометристами, чем балансовые колеса в часах с Q около 100–300, но менее точными, чем кварцевые кристаллы в кварцевых часах с Q 10 ⁵ –10 ⁶ . ^{[2] [101]}

Спусковой механизм

Маятники (в отличие, например, от кварцевых кристаллов) имеют достаточно низкую добротность , так что возмущение, вызванное импульсами, заставляющими их двигаться, обычно является ограничивающим фактором точности их хронометража. Поэтому конструкция спускового механизма , механизма, который обеспечивает эти импульсы, оказывает большое влияние на точность часового маятника. Если бы импульсы, сообщаемые маятнику спусковым механизмом при каждом колебании, могли быть совершенно идентичными, реакция маятника была бы одинаковой, а его период был бы постоянным. Однако это недостижимо; неизбежные случайные колебания силы из-за трения паллет часов, изменения смазки и изменения крутящего момента, обеспечиваемого источником питания часов по мере их движения, означают, что сила импульса, прилагаемого спусковым механизмом, меняется.

Если эти изменения силы спуска вызывают изменения ширины качания маятника (амплитуды), это вызовет соответствующие небольшие изменения периода, поскольку (как обсуждалось выше) маятник с конечным качанием не совсем изохронен. Поэтому цель традиционной конструкции спуска заключается в том, чтобы приложить силу с правильным профилем и в правильной точке цикла маятника, чтобы изменения силы не оказывали никакого влияния на амплитуду маятника. Это называется изохронным спуском .

Состояние Эйри

Часовщики на протяжении столетий знали, что мешающий эффект движущей силы спуска на период маятника наименьший, если он дается в виде короткого импульса, когда маятник проходит через свое нижнее положение равновесия . ^[2] Если импульс возникает до того, как маятник достигнет дна, во время нисходящего колебания, он будет иметь эффект сокращения естественного периода маятника, поэтому увеличение движущей силы уменьшит период. Если импульс возникает после того, как маятник достигнет дна, во время восходящего колебания, он удлинит период, поэтому увеличение движущей силы увеличит период маятника. В 1826 году британский астроном Джордж Эйри доказал это; в частности, он доказал, что если маятник приводится в движение импульсом, который симметричен относительно его нижнего положения равновесия, период маятника не будет затронут изменениями движущей силы. ^[105] Самые точные спусковые механизмы, такие как апериодические , приблизительно удовлетворяют этому условию. ^[106]

Измерение силы тяжести

Наличие ускорения силы тяжести g в уравнении периодичности (1) для маятника означает, что локальное гравитационное ускорение Земли может быть вычислено из периода маятника. Поэтому маятник может быть использован в качестве гравиметра для измерения локальной силы тяжести , которая изменяется более чем на 0,5% по поверхности Земли. ^{[107] [Примечание 2]} Маятник в часах нарушается толчками, которые он получает от движения часов, поэтому использовались свободно качающиеся маятники, которые были стандартными инструментами гравиметрии вплоть до 1930-х годов.

Разница между часовыми маятниками и гравиметрическими маятниками заключается в том, что для измерения силы тяжести необходимо измерить длину маятника, а также его период. Период свободно качающихся маятников можно было определить с большой точностью, сравнивая их колебания с точными часами, которые были настроены на поддержание правильного времени по прохождению звезд над головой. В ранних измерениях груз на шнуре подвешивался перед часовым маятником, и его длина регулировалась до тех пор, пока два маятника не начинали качаться точно синхронно. Затем измерялась длина шнура. Из длины и периода можно было рассчитать g с помощью уравнения (1).

Секундный маятник

Секундный маятник, маятник с периодом в две секунды, так что каждое колебание занимает одну секунду.

Секундный маятник , маятник с периодом в две секунды, так что каждое колебание занимает одну секунду, широко использовался для измерения силы тяжести, потому что его период можно было легко измерить, сравнив его с точными регуляторными часами , которые все имели секундные маятники. К концу 17 века длина секундного маятника стала стандартной мерой силы гравитационного ускорения в определенном месте. К 1700 году его длина была измерена с точностью до миллиметра в нескольких городах Европы. Для секундного маятника g пропорционален его длине: $${\displaystyle g\propto L.}$$

Ранние наблюдения

• 1620 : Британский ученый Фрэнсис Бэкон был одним из первых, кто предложил использовать маятник для измерения силы тяжести, предложив поднять его на гору, чтобы посмотреть, меняется ли сила тяжести с высотой. ^[108]
• 1644 : Еще до маятниковых часов французский священник Марен Мерсенн первым определил длину секундного маятника, равную 39,1 дюйма (990 мм), сравнив колебание маятника со временем, необходимым для падения груза на измеренное расстояние. Он также первым открыл зависимость периода от амплитуды колебания.
• 1669 : Жан Пикар определил длину секундного маятника в Париже, используя 1-дюймовый (25 мм) медный шарик, подвешенный на волокне алоэ, получив 39,09 дюйма (993 мм). ^[109] Он также провел первые эксперименты по тепловому расширению и сжатию стержней маятника в зависимости от температуры.
• 1672 : Первое наблюдение того, что гравитация меняется в разных точках Земли, было сделано в 1672 году Жаном Рише , который взял маятниковые часы в Кайенну , Французская Гвиана , и обнаружил, что они отстают на 2+1 ⁄ 2 минуты в день; его секундный маятник пришлось укоротить на 1+На 1 ⁄ 4 линии (2,6 мм) короче, чем в Париже, чтобы поддерживать правильное время. ^{[110] [111]} В 1687 году Исаак Ньютон в Principia Mathematica показал, что это было связано с тем, что Земля имела слегка сплющенную форму (сплющенную на полюсах), вызванную центробежной силой ее вращения. На более высоких широтах поверхность была ближе к центру Земли, поэтому гравитация увеличивалась с широтой. ^[111] С этого времени маятники начали брать в далекие страны для измерения гравитации, и были составлены таблицы длины секундного маятника в разных местах на Земле. В 1743 году Алексис Клод Клеро создал первую гидростатическую модель Земли, теорему Клеро , ^[109] которая позволила рассчитать эллиптичность Земли из измерений гравитации. Затем последовали все более точные модели формы Земли.
• 1687 : Ньютон экспериментировал с маятниками (описанными в Principia ) и обнаружил, что маятники одинаковой длины с грузами из разных материалов имели одинаковый период, доказав, что сила тяготения, действующая на разные вещества, была точно пропорциональна их массе (инерции). Этот принцип, называемый принципом эквивалентности , подтвержденный с большей точностью в более поздних экспериментах, стал основой, на которой Альберт Эйнштейн построил свою общую теорию относительности .

Измерение длины секундного маятника Борда и Кассини в 1792 году

• 1737 : Французский математик Пьер Бугер провел сложную серию маятниковых наблюдений в Андах , Перу. ^[112] Он использовал медный маятниковый груз в форме двухконечного конуса, подвешенного на нити; груз можно было перевернуть, чтобы устранить эффекты неравномерной плотности. Он вычислил длину до центра колебания нити и груза вместе, вместо того чтобы использовать центр груза. Он внес поправку на тепловое расширение измерительного стержня и барометрическое давление, предоставив свои результаты для маятника, качающегося в вакууме. Бугер качал тот же маятник на трех разных высотах, от уровня моря до вершины высокого перуанского альтиплано . Гравитация должна падать обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. Бугер обнаружил, что она падает медленнее, и правильно приписал «дополнительную» гравитацию гравитационному полю огромного перуанского плато. На основе плотности образцов горных пород он рассчитал оценку влияния альтиплано на маятник и, сравнив ее с силой тяжести Земли, смог сделать первую грубую оценку плотности Земли .
• 1747 : Даниил Бернулли показал, как исправить удлинение периода из-за конечного угла качания θ _{0 ,} используя поправку первого порядка θ ₀ ² /16, что дало период маятника с чрезвычайно малым качанием. ^[112]
• 1792 : Чтобы определить маятниковый стандарт длины для использования с новой метрической системой , в 1792 году Жан-Шарль де Борда и Жан-Доминик Кассини провели точное измерение секундного маятника в Париже. Они использовали 1+1 ⁄ 2 -дюймовый (14 мм) ^{[ необходимо разъяснение ]} платиновый шарик, подвешенный на 12-футовой (3,7 м) железной проволоке. Их главным нововведением была техника, называемая « методом совпадений », которая позволяла сравнивать период маятников с большой точностью. (Бугер также использовал этот метод). Временной интервал Δ t между повторяющимися моментами, когда два маятника качались синхронно, был измерен. Из этого можно было вычислитьразницу между периодами маятников, T ₁ и T _{2 :} $${\displaystyle {\frac {1}{\Delta t}}={\frac {1}{T_{1}}}-{\frac {1}{T_{2}}}}$$
• 1821 : Франческо Карлини провел маятниковые наблюдения на вершине горы Сени в Италии, из которых, используя методы, похожие на методы Буге, он вычислил плотность Земли. ^[113] Он сравнил свои измерения с оценкой силы тяжести в своем местоположении, предполагая, что горы там не было, рассчитанной на основе предыдущих близлежащих маятниковых измерений на уровне моря. Его измерения показали «избыточную» силу тяжести, которую он отнес к эффекту горы. Моделируя гору как сегмент сферы диаметром 11 миль (18 км) и высотой 1 милю (1,6 км), по образцам горных пород он вычислил ее гравитационное поле и оценил плотность Земли в 4,39 раза больше, чем плотность воды. Более поздние пересчеты другими дали значения 4,77 и 4,95, иллюстрирующие неопределенности этих географических методов.

Маятник Катера

Маятник Катера

Точность ранних измерений гравитации, приведенных выше, была ограничена сложностью измерения длины маятника, L. L была длиной идеализированного простого гравитационного маятника (описанного выше), вся масса которого сосредоточена в точке на конце шнура. В 1673 году Гюйгенс показал, что период жесткого стержневого маятника (называемого составным маятником ) равен периоду простого маятника с длиной, равной расстоянию между точкой опоры и точкой, называемой центром колебаний , расположенной под центром тяжести , который зависит от распределения массы вдоль маятника. Но не было точного способа определения центра колебаний в реальном маятнике. Открытие Гюйгенса иногда называют законом Гюйгенса (циклоидального) маятника . ^[114]

Чтобы обойти эту проблему, ранние исследователи, упомянутые выше, максимально приблизились к идеальному простому маятнику, используя металлическую сферу, подвешенную на легкой проволоке или шнуре. Если проволока была достаточно легкой, центр колебаний находился близко к центру тяжести шара, в его геометрическом центре. Этот тип маятника «шар и проволока» был не очень точным, поскольку он не качался как твердое тело, а эластичность проволоки заставляла ее длину немного меняться по мере качания маятника.

Однако Гюйгенс также доказал, что в любом маятнике точка опоры и центр колебаний являются взаимозаменяемыми. ^[18] То есть, если маятник перевернуть вверх дном и подвесить за его центр колебаний, он будет иметь тот же период, что и в предыдущем положении, а старая точка опоры станет новым центром колебаний.

Британский физик и капитан армии Генри Катер в 1817 году понял, что принцип Гюйгенса можно использовать для нахождения длины простого маятника с тем же периодом, что и у настоящего маятника. ^[62] Если бы маятник был построен со второй регулируемой точкой опоры около основания, чтобы его можно было подвешивать вверх ногами, и второй стержень был бы отрегулирован до тех пор, пока периоды, когда он подвешен к обоим стержням, не стали бы одинаковыми, то второй стержень находился бы в центре колебаний, а расстояние между двумя стержнями было бы длиной L простого маятника с тем же периодом.

Катер построил обратимый маятник ( см. рисунок ), состоящий из латунного стержня с двумя противоположными шарнирами, сделанными из коротких треугольных «ножевых» лезвий (a) около каждого конца. Он мог качаться на любом шарнире, при этом лезвия ножей поддерживались на агатовых пластинах. Вместо того, чтобы сделать один шарнир регулируемым, он прикрепил шарниры на расстоянии метра друг от друга и вместо этого отрегулировал периоды с помощью подвижного груза на стержне маятника (b, c) . В процессе работы маятник подвешивается перед точными часами, и засекается период, затем переворачивается вверх дном и снова засекается период. Груз регулируется регулировочным винтом, пока периоды не станут равными. Затем подстановка этого периода и расстояния между шарнирами в уравнение (1) дает очень точное значение ускорения свободного падения g .

Катер фиксировал колебания своего маятника, используя « метод совпадений », и измерял расстояние между двумя шарнирами с помощью микрометра. После применения поправок на конечную амплитуду колебаний, плавучесть груза, барометрическое давление и высоту, а также температуру, он получил значение 39,13929 дюйма для секундного маятника в Лондоне, в вакууме, на уровне моря, при 62 °F. Наибольшее отклонение от среднего значения его 12 наблюдений составило 0,00028 дюйма ^[115] , что представляет собой точность измерения силы тяжести 7×10−6 ⁽ 7 мГал или 70 мкм/с2 ⁾ . Измерение Катера использовалось в качестве официального стандарта длины Великобритании (см. ниже) с 1824 по 1855 год.

Обратимые маятники (технически известные как «конвертируемые» маятники), работающие по принципу Катера, применялись для измерения абсолютной силы тяжести вплоть до 1930-х годов.

Более поздние маятниковые гравиметры

Повышенная точность, которую обеспечил маятник Катера, помогла сделать гравиметрию стандартной частью геодезии . Поскольку точное местоположение (широта и долгота) «станции», где производилось измерение силы тяжести, было необходимо, измерения силы тяжести стали частью геодезии , и маятники использовались в великих геодезических исследованиях 18-го века, в частности, в Великом тригонометрическом исследовании Индии.

Измерение силы тяжести с помощью постоянного маятника, Мадрас, Индия, 1821 г.

• Неизменные маятники: Катер ввел идею относительных измерений силы тяжести, чтобы дополнить абсолютные измерения, сделанные маятником Катера. ^[116] Сравнение силы тяжести в двух разных точках было более простым процессом, чем ее абсолютное измерение методом Катера. Все, что было необходимо, это замерить период обычного (одноосного) маятника в первой точке, затем перенести маятник в другую точку и замерить его период там. Поскольку длина маятника была постоянной, из (1) отношение ускорений силы тяжести было равно обратной величине отношения квадратов периодов, и не требовалось никаких точных измерений длины. Таким образом, как только сила тяжести была измерена абсолютно на некоторой центральной станции методом Катера или другим точным методом, силу тяжести в других точках можно было найти, качая маятники на центральной станции, а затем перенося их в другое место и измеряя там их качание. Катер изготовил набор «неизменных» маятников, имеющих только одну ножевую ось, которые были доставлены во многие страны после того, как их впервые раскачивали на центральной станции в обсерватории Кью , Великобритания.
• Эксперименты Эйри в угольной шахте : Начиная с 1826 года, используя методы, похожие на методы Бугера, британский астроном Джордж Эйри пытался определить плотность Земли с помощью измерений гравитации маятником наверху и внизу угольной шахты. ^{[117] [118]} Сила тяжести под поверхностью Земли уменьшается, а не увеличивается с глубиной, потому что по закону Гаусса масса сферической оболочки коры над точкой под поверхностью не вносит вклад в гравитацию. Эксперимент 1826 года был прерван затоплением шахты, но в 1854 году он провел улучшенный эксперимент на угольной шахте Хартон, используя секундные маятники, качающиеся на агатовых пластинах, хронометрированные точными хронометрами, синхронизированными электрической цепью. Он обнаружил, что нижний маятник был медленнее на 2,24 секунды в день. Это означало, что ускорение свободного падения на дне шахты, на глубине 1250 футов под поверхностью, было на 1/14 000 меньше, чем должно было быть по закону обратных квадратов; то есть притяжение сферической оболочки составляло 1/14 000 притяжения Земли. По образцам поверхностных пород он оценил массу сферической оболочки коры, и из этого подсчитал, что плотность Земли в 6,565 раз больше плотности воды. Фон Штернек попытался повторить эксперимент в 1882 году, но получил противоречивые результаты.

Маятник Репсольда, 1864 г.

• Маятник Репсольда-Бесселя: было трудоемко и подвержено ошибкам многократное качание маятника Катера и регулировка грузов до тех пор, пока периоды не становились равными. Фридрих Бессель показал в 1835 году, что это было ненужно. ^[119] Пока периоды были близки друг к другу, гравитацию можно было вычислить из двух периодов и центра тяжести маятника. ^[120] Таким образом, обратимый маятник не нуждался в регулировке, он мог быть просто стержнем с двумя шарнирами. Бессель также показал, что если маятник сделать симметричным по форме относительно его центра, но утяжелить изнутри на одном конце, ошибки из-за сопротивления воздуха будут компенсированы. Кроме того, можно было сделать так, чтобы другая ошибка из-за конечного диаметра лезвий ножа была компенсирована, если их менять местами между измерениями. Бессель не построил такой маятник, но в 1864 году Адольф Репсольд по контракту со Швейцарской геодезической комиссией изготовил маятник по этим линиям. Маятник Репсольда был длиной около 56 см и имел период около 3 ⁄ 4 секунды. Он широко использовался европейскими геодезическими агентствами, а также маятником Катера в Службе исследования Индии. Похожие маятники этого типа были разработаны Чарльзом Пирсом и К. Деффоржем.

Маятники, используемые в гравиметре Менденхолла, 1890 г.

• Гравиметры фон Штернека и Менденхолла: В 1887 году австро-венгерский ученый Роберт фон Штернек разработал небольшой маятник гравиметра, установленный в вакуумном резервуаре с контролируемой температурой, чтобы исключить влияние температуры и давления воздуха. Он использовал «полусекундный маятник», имеющий период, близкий к одной секунде, длиной около 25 см. Маятник был необратимым, поэтому прибор использовался для измерений относительной силы тяжести, но их небольшой размер делал их маленькими и портативными. Период маятника снимался путем отражения изображения электрической искры, созданной точным хронометром, от зеркала, установленного наверху стержня маятника. Инструмент фон Штернека и аналогичный прибор, разработанный Томасом К. Менденхоллом из Береговой и геодезической службы США в 1890 году, ^[121] широко использовались для обследований в 1920-х годах.

Маятник Менденхолла на самом деле был более точным хронометристом, чем самые точные часы того времени, и как «лучшие часы в мире» он использовался Альбертом А. Майкельсоном в его измерениях скорости света в 1924 году на горе Вильсон, Калифорния. ^[121]

• Двойные маятниковые гравиметры: Начиная с 1875 года, повышение точности маятниковых измерений выявило еще один источник ошибок в существующих приборах: качание маятника вызывало небольшое качание штатива, используемого для поддержки переносных маятников, что приводило к ошибке. В 1875 году Чарльз С. Пирс подсчитал, что измерения длины секундного маятника, выполненные с помощью прибора Репсольда, требовали коррекции в 0,2 мм из-за этой ошибки. ^[122] В 1880 году К. Деффоржес использовал интерферометр Майкельсона для динамического измерения качания стенда, и интерферометры были добавлены к стандартному аппарату Менденхолла для расчета поправок на качание. ^[123] Метод предотвращения этой ошибки был впервые предложен в 1877 году Эрве Фаем и отстаивался Пирсом, Селлерье и Фуртвенглером: установить два одинаковых маятника на одной и той же опоре, качающихся с одинаковой амплитудой, на 180° в противофазе. Противоположное движение маятников устранило бы любые боковые силы на опоре. Идея была отвергнута из-за ее сложности, но к началу 20-го века устройство фон Штернека и другие приборы были модифицированы для качания нескольких маятников одновременно.

Кварцевые маятники, используемые в гравиметре Gulf, 1929 г.

• Гравиметр Gulf : одним из последних и самых точных маятниковых гравиметров был аппарат, разработанный в 1929 году компанией Gulf Research and Development Co. ^{[124] [125]} Он использовал два маятника из плавленого кварца , каждый длиной 10,7 дюймов (270 мм) с периодом 0,89 секунды, качающихся на ножевых шарнирах из пирекса, на 180° в противофазе. Они были установлены в герметичной вакуумной камере с контролируемой температурой и влажностью. Перед использованием паразитные электростатические заряды на кварцевых маятниках приходилось разряжать, подвергая их воздействию радиоактивной соли. Период обнаруживался путем отражения светового луча от зеркала в верхней части маятника, регистрировался самописцем и сравнивался с точным кварцевым генератором, откалиброванным по радиосигналу времени WWV . Этот прибор имел точность в пределах (0,3–0,5)×10−7 ⁽ 30–50 микрогал или 3–5 нм/с2 ⁾ . ^[124] Он использовался до 1960-х годов.

Относительные маятниковые гравиметры были заменены более простым пружинным гравиметром ЛаКоста с нулевой длиной, изобретенным в 1934 году Люсьеном ЛаКостом . ^[121] Абсолютные (обратимые) маятниковые гравиметры были заменены в 1950-х годах гравиметрами свободного падения, в которых груз падает в вакуумный резервуар, а его ускорение измеряется оптическим интерферометром . [ ^71]

Стандарт длины

Поскольку ускорение силы тяжести постоянно в данной точке Земли, период простого маятника в данном месте зависит только от его длины. Кроме того, сила тяжести меняется лишь незначительно в разных местах. Почти с момента открытия маятника и до начала 19 века это свойство привело ученых к идее использования маятника с заданным периодом в качестве стандарта длины .

До 19 века страны основывали свои системы измерения длины на прототипах, первичных эталонах из металлических стержней , таких как стандартный ярд в Великобритании, хранящийся в здании парламента, и стандартный туаз во Франции, хранящийся в Париже. Они были уязвимы для повреждения или разрушения на протяжении многих лет, и из-за сложности сравнения прототипов одна и та же единица часто имела разную длину в отдаленных городах, что создавало возможности для мошенничества. ^[126] В эпоху Просвещения ученые выступали за стандарт длины, который был основан на некотором свойстве природы, которое можно было определить путем измерения, создавая неразрушимый, универсальный стандарт. Период маятников можно было измерить очень точно, синхронизируя их с часами, которые устанавливались по звездам. Стандарт маятника сводился к определению единицы длины с помощью силы тяготения Земли, для всех намерений постоянной, и секунды, которая определялась скоростью вращения Земли , также постоянной. Идея заключалась в том, что любой человек в любой точке Земли мог бы воссоздать стандарт, построив маятник, который колебался бы с определенным периодом, и измерив его длину.

Практически все предложения основывались на секундном маятнике , в котором каждое колебание (половина периода ) занимает одну секунду, что составляет около метра (39 дюймов) в длину, поскольку к концу 17 века он стал стандартом для измерения силы тяжести (см. предыдущий раздел). К 18 веку его длина была измерена с точностью до миллиметра в ряде городов Европы и по всему миру.

Первоначальное притяжение к эталону длины маятника заключалось в том, что считалось (ранними учеными, такими как Гюйгенс и Рен), что гравитация постоянна по поверхности Земли, поэтому данный маятник имел тот же период в любой точке на Земле. ^[126] Таким образом, длина стандартного маятника могла быть измерена в любом месте и не была бы привязана к какой-либо конкретной стране или региону; это был бы действительно демократический, всемирный стандарт. Хотя Ричер обнаружил в 1672 году, что гравитация меняется в разных точках земного шара, идея эталона длины маятника оставалась популярной, потому что было обнаружено, что гравитация меняется только с широтой . Гравитационное ускорение плавно увеличивается от экватора к полюсам из-за сплющенной формы Земли, поэтому на любой заданной широте (линия восток-запад) гравитация была достаточно постоянной, чтобы длина секундного маятника была одинаковой в пределах измерительных возможностей 18-го века. Таким образом, единица длины могла быть определена на заданной широте и измерена в любой точке вдоль этой широты. Например, стандарт маятника, определенный на 45° северной широты, популярный выбор, может быть измерен в некоторых частях Франции, Италии, Хорватии, Сербии, Румынии, России, Казахстана, Китая, Монголии, США и Канады. Кроме того, его можно воссоздать в любом месте, в котором ускорение свободного падения было точно измерено.

К середине 19 века все более точные маятниковые измерения Эдварда Сабина и Томаса Янга показали, что сила тяжести, а следовательно, и длина любого маятникового стандарта, измеримо различаются в зависимости от местных геологических особенностей, таких как горы и плотные подземные породы. ^[127] Поэтому маятниковый стандарт длины должен был быть определен в одной точке на Земле и мог быть измерен только там. Это во многом лишило концепцию привлекательности, и попытки принять маятниковые стандарты были прекращены.

Ранние предложения

Одним из первых, кто предложил определять длину с помощью маятника, был фламандский ученый Исаак Бекман ^[128], который в 1631 году рекомендовал сделать секундный маятник «неизменной мерой для всех людей во все времена и во всех местах». ^[129] Марин Мерсенн , который первым измерил секундный маятник в 1644 году, также предложил это. Первое официальное предложение о стандарте маятника было сделано Британским Королевским обществом в 1660 году, его поддержали Христиан Гюйгенс и Оле Рёмер , основываясь на работе Мерсенна, ^[130] и Гюйгенс в Horologium Oscillatorium предложил «хорарный фут», определяемый как 1/3 маятника секунд. Кристофер Рен был еще одним ранним сторонником. Идея маятникового стандарта длины, должно быть, была знакома людям еще в 1663 году, потому что Сэмюэл Батлер высмеивает ее в Hudibras : ^[131]

На скамейке я так с ними разберусь

Что вибрация этого маятника

Сделаю все ярды портных одним

Единогласное мнение

В 1671 году Жан Пикар предложил маятниковую «универсальную ногу» в своем влиятельном труде Mesure de la Terre . ^[132] Габриэль Мутон около 1670 года предложил определять туаз либо секундным маятником, либо минутой земного градуса. План полной системы единиц, основанной на маятнике, был выдвинут в 1675 году итальянским эрудитом Тито Ливио Бурратини. Во Франции в 1747 году географ Шарль Мари де ла Кондамин предложил определять длину секундным маятником на экваторе; поскольку в этом месте качание маятника не будет искажаться вращением Земли. Джеймс Стюарт (1780) и Джордж Скин Кейт также были сторонниками.

К концу XVIII века, когда многие страны реформировали свои системы мер и весов , секундный маятник был ведущим выбором для нового определения длины, за который выступали выдающиеся ученые из нескольких крупных стран. В 1790 году тогдашний государственный секретарь США Томас Джефферсон предложил Конгрессу всеобъемлющую десятичную «метрическую систему» ​​США, основанную на секундном маятнике на 38° северной широты, средней широте Соединенных Штатов. ^[133] Никаких действий по этому предложению предпринято не было. В Великобритании ведущим сторонником маятника был политик Джон Риггс Миллер . ^[134] Когда его усилия по продвижению совместной британско-французско-американской метрической системы потерпели неудачу в 1790 году, он предложил британскую систему, основанную на длине секундного маятника в Лондоне. Этот стандарт был принят в 1824 году (ниже).

Метр

В дискуссиях, приведших к принятию Францией метрической системы в 1791 году, ведущим кандидатом на определение новой единицы длины, метра , был секундный маятник на 45° северной широты. Его отстаивала группа во главе с французским политиком Талейраном и математиком Антуаном Николя Карита де Кондорсе . Это был один из трех окончательных вариантов, рассмотренных комитетом Французской академии наук . Однако 19 марта 1791 года комитет вместо этого решил основать метр на длине меридиана , проходящего через Париж. Определение маятника было отклонено из-за его изменчивости в разных местах, а также потому, что оно определяло длину как единицу времени. (Однако с 1983 года метр официально определяется в терминах длины секунды и скорости света.) Возможная дополнительная причина заключается в том, что радикальная Французская академия не хотела основывать свою новую систему на секунде, традиционной и недесятичной единице старого режима .

Хотя это и не было определено маятником, окончательная длина, выбранная для метра, 10−7 ^дуги меридиана от полюса до экватора , была очень близка к длине секундного маятника (0,9937 м), в пределах 0,63%. Хотя в то время не было указано никаких причин для этого конкретного выбора, вероятно, это было сделано для того, чтобы облегчить использование секундного маятника в качестве вторичного стандарта, как было предложено в официальном документе. Таким образом, стандартная единица длины современного мира, безусловно, тесно связана исторически с секундным маятником.

Великобритания и Дания

Британия и Дания, по-видимому, были единственными странами, которые (на короткое время) основывали свои единицы длины на маятнике. В 1821 году датский дюйм был определен как 1/38 длины среднего солнечного секундного маятника на широте 45° на меридиане Скагена , на уровне моря, в вакууме. ^{[135] [136]} Британский парламент принял Закон об имперских мерах и весах в 1824 году, реформу британской стандартной системы, которая объявила, что если прототип стандартного ярда будет уничтожен, он будет восстановлен путем определения дюйма таким образом, чтобы длина солнечного секундного маятника в Лондоне, на уровне моря , в вакууме, при 62 °F составляла 39,1393 дюйма. ^[137] Это также стало стандартом США, поскольку в то время США использовали британские меры. Однако когда прототип рейки был утрачен во время пожара в здании парламента в 1834 году , оказалось невозможным точно воссоздать его по определению маятника, и в 1855 году Британия отменила стандарт маятника и вернулась к стандартам прототипов.

Другие применения

Сейсмометры

Маятник, в котором стержень не вертикальный, а почти горизонтальный, использовался в ранних сейсмометрах для измерения земных толчков. Балансир маятника не движется, когда движется его крепление, и разница в движениях регистрируется на барабанной диаграмме.

настройка Шулера

Как впервые объяснил Максимилиан Шулер в статье 1923 года, маятник, период которого точно равен периоду обращения гипотетического спутника, вращающегося по орбите прямо над поверхностью Земли (около 84 минут), будет стремиться оставаться направленным на центр Земли, когда его опора внезапно смещается. Этот принцип, называемый настройкой Шулера , используется в инерциальных системах наведения на кораблях и самолетах, которые работают на поверхности Земли. Физический маятник не используется, но система управления , которая удерживает инерциальную платформу, содержащую гироскопы , в устойчивом состоянии, модифицирована таким образом, что устройство действует так, как будто оно прикреплено к такому маятнику, удерживая платформу всегда направленной вниз, когда транспортное средство движется по изогнутой поверхности Земли.

Спаренные маятники

Два маятника с одинаковым периодом, соединенные путем подвешивания их к общей поддерживающей струне. Колебание происходит попеременно между ними.

Повторение эксперимента Гюйгенса, показывающего синхронизацию двух часов

В 1665 году Гюйгенс сделал любопытное наблюдение о маятниковых часах. Двое часов были помещены на его каминную полку , и он заметил, что они приобрели противоположное движение. То есть, их маятники бились в унисон, но в противоположном направлении; на 180° не в фазе . Независимо от того, как были запущены двое часов, он обнаружил, что они в конечном итоге возвращались в это состояние, таким образом, сделав первое зарегистрированное наблюдение связанного осциллятора . ^[138]

Причиной такого поведения было то, что два маятника влияли друг на друга посредством небольших движений поддерживающей мантии. Этот процесс называется захватом или синхронизацией мод в физике и наблюдается в других связанных осцилляторах. Синхронизированные маятники использовались в часах и широко применялись в гравиметрах в начале 20-го века. Хотя Гюйгенс наблюдал только несинхронную синхронизацию, недавние исследования показали существование синфазной синхронизации, а также состояний «смерти», когда одни или оба часа останавливаются. ^{[139] [140]}

Религиозная практика

Маятник в кафедральном соборе Мехико, Мехико

Маятниковое движение также появляется в религиозных церемониях. Качающаяся курильница , называемая кадильницей , также известная как кадило , является примером маятника. ^[141] Маятники также можно увидеть на многих собраниях в восточной Мексике, где они отмечают поворот приливов в день, когда приливы достигают своей наивысшей точки. См. также маятники для гадания и лозоходства .

Образование

Маятники широко используются в научном образовании в качестве примера гармонического осциллятора , для обучения динамике и колебательному движению . Одним из вариантов использования является демонстрация закона сохранения энергии . ^{[142] [143]} Тяжелый предмет, такой как шар для боулинга ^[144] или шар для сноса зданий ^[142], прикрепляется к веревке. Затем груз перемещается на расстояние нескольких дюймов от лица добровольца, затем отпускается и колеблется и возвращается обратно. В большинстве случаев груз меняет направление, а затем возвращается (почти) в то же положение, что и первоначальное место высвобождения — т. е. на небольшом расстоянии от лица добровольца — таким образом оставляя добровольца невредимым. Иногда доброволец получает травму, если либо доброволец не стоит на месте ^[145] , либо маятник изначально отпускается толчком (так, что когда он возвращается, он превосходит положение высвобождения).

Орудие пыток

Иллюстрация Гарри Кларка к произведению Эдгара Аллана По « Колодец и маятник»

Утверждается, что маятник использовался в качестве орудия пыток и казней испанской инквизицией ^[146] в 18 веке. Утверждение содержится в книге 1826 года «История инквизиции Испании» испанского священника, историка и либерального активиста Хуана Антонио Льоренте . ^[147] Качающийся маятник, край которого представляет собой лезвие ножа, медленно опускается к связанному заключенному, пока не врезается в его тело. ^[148] Этот метод пыток стал известен широкой публике благодаря рассказу 1842 года « Колодец и маятник » американского писателя Эдгара Аллана По ^[149], но существует значительный скептицизм относительно того, что он действительно использовался.

Большинство осведомленных источников скептически относятся к тому, что эта пытка когда-либо действительно применялась. ^{[150] [151] [152]} Единственным доказательством ее применения является один абзац в предисловии к «Истории» Льоренте 1826 года , ^[147] в котором приводится рассказ одного заключенного, освобожденного из мадридской темницы инквизиции в 1820 году, который якобы описал метод пытки маятником. Современные источники указывают на то, что из-за наставления Иисуса против кровопролития инквизиторам разрешалось использовать только те методы пыток, которые не проливали кровь, и метод маятника нарушал бы это ограничение. Одна из теорий заключается в том, что Льоренте неправильно понял услышанный им рассказ; на самом деле заключенный имел в виду другую распространенную пытку инквизиции, страппадо (garrucha), при которой заключенному связывают руки за спиной и поднимают с пола с помощью веревки, привязанной к его рукам. ^[152] Этот метод также был известен как «маятник». Популярная история ужасов По и осведомленность общественности о других жестоких методах инквизиции поддерживали миф об этом сложном методе пыток.

Маятниковая волна

SVG-анимация маятниковой волны

Маятниковая волна — это физическая демонстрация и кинетическое искусство, включающее несколько несвязанных маятников разной длины. Когда маятники колеблются, они, кажется, производят бегущие и стоячие волны, биения и хаотическое движение. ^[153]

Смотрите также

• маятники Бартона
• маятник Блэкберна
• Конический маятник
• Циклоидальный маятник
• Двойной маятник
• Двойной перевернутый маятник
• Маятник Дубошинского
• маятник Фуко
• Маятник Фурута
• Маятник с решетчатой ​​структурой
• Гармонограф (он же «маятник Лиссажу»)
• Инерционный маятник
• Перевернутый маятник
• Маятник Капицы
• Маятник Катера
• Метроном
• N-маятник ^[154]
• Маятник (механика)
• Маятниковые часы
• Заблуждение о маятниковой ракете
• Квантовый маятник
• Маятник Рэлея–Лоренца
• Секундный маятник
• Простое гармоническое движение
• Сферический маятник
• Пружинный маятник
• Крутильно-маятниковый

Примечания

1. «Малый» размах — это размах, при котором угол θ достаточно мал, так что sin( θ ) можно аппроксимировать θ , если θ измеряется в радианах.
2. Значение «g» (ускорение свободного падения) на экваторе составляет 9,780 м/с ² , а на полюсах — 9,832 м/с ² , разница составляет 0,53%.

Значение g, отражаемое периодом маятника, меняется от места к месту. Гравитационная сила меняется с расстоянием от центра Земли, т. е. с высотой – или поскольку форма Земли сплющенная, g меняется с широтой. Более важной причиной этого уменьшения g на экваторе является то, что экватор вращается со скоростью один оборот в день, поэтому ускорение, создаваемое гравитационной силой, частично компенсируется там центробежной силой .

Ссылки

1. "Маятник". Энциклопедия Мириам Вебстер . Мириам Вебстер. 2000. стр. 1241. ISBN 978-0-87779-017-4.
2. Маррисон, Уоррен (1948). «Эволюция кварцевых часов». Bell System Technical Journal . 27 (3): 510–588. doi :10.1002/j.1538-7305.1948.tb01343.x. Архивировано из оригинала 2011-07-17.
3. Моррис, Уильям, Эд. (1979). Американский словарь наследия, New College Ed. Нью-Йорк: Houghton-Mifflin. стр. 969. ISBN 978-0-395-20360-6.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
4. Левин, Р. Б.; Тан, С. М. (1993). «Двойной маятник: эксперимент в хаосе». Американский журнал физики . 61 (11): 1038. Bibcode : 1993AmJPh..61.1038L. doi : 10.1119/1.17335.
5. определено Христианом Гюйгенсом: Гюйгенс, Кристиан (1673). «Horologium Oscillatorium» (PDF) . Математика 17 века . 17th Centurymaths.com . Проверено 1 марта 2009 г., Часть 4, Определение 3, перевод Иена Брюса, июль 2007 г.
6. Nave, Carl R. (2006). "Простой маятник". Hyperphysics . Georgia State Univ . Получено 10.12.2008 .
7. Xue, Linwei (2007). "Маятниковые системы". Видение и осязание структурных концепций . Кафедра гражданского строительства, Манчестерский университет, Великобритания . Получено 10 декабря 2008 г.
8. Weisstein, Eric W. (2007). "Simple Pendulum". Мир науки Эрика Вайсштейна . Wolfram Research . Получено 2009-03-09 .
9. Милхэм, Уиллис И. (1945). Время и хранители времени . Макмиллан., стр.188-194
10. Холлидей, Дэвид; Роберт Резник; Джерл Уокер (1997). Основы физики, 5-е изд . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. стр. 381. ISBN 978-0-471-14854-8.
11. Купер, Герберт Дж. (2007). Научные приборы. Нью-Йорк: Hutchinson's. С. 162. ISBN 978-1-4067-6879-4.
12. Nelson, Robert; MG Olsson (февраль 1987). "Маятник – Богатая физика из простой системы" (PDF) . American Journal of Physics . 54 (2): 112–121. Bibcode :1986AmJPh..54..112N. doi :10.1119/1.14703. S2CID  121907349 . Получено 29.10.2008 .
13. Penderel-Brodhurst, James George Joseph (1911). «Часы»  . В Chisholm, Hugh (ред.). Encyclopaedia Britannica . Vol. 06 (11-е изд.). Cambridge University Press. pp. 536–553, см. стр. 538. Маятник. — Предположим, что у нас есть тело...включает в себя вывод
14. Deschaine, JS; Suits, BH (2008). «Подвесной шнур с реальной массой на конце». European Journal of Physics . 29 (6): 1211–1222. Bibcode : 2008EJPh...29.1211D. doi : 10.1088/0143-0807/29/6/010. S2CID  122637957.
15. Гюйгенс, Кристиан (1673). "Horologium Oscillatorium". 17centurymaths . Перевод Брюса, Яна. 17thcenturymaths.com . Получено 01.03.2009 ., Часть 4, Предложение 5
16. Глазго, Дэвид (1885). Изготовление часов. Лондон: Cassel & Co., стр. 278.
17. Фаулз, Грант Р. (1986). Аналитическая механика, 4-е изд . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Сондерс. стр. 202 и далее.
18. Гюйгенс (1673) Horologium Oscillatorium, Часть 4, Предложение 20
19. Мортон, В. Скотт и Чарльтон М. Льюис (2005). Китай: его история и культура. Нью-Йорк: McGraw-Hill, Inc., стр. 70
20. Needham, Том 3, 627-629
21. Гуд, Грегори (1998). Науки о Земле: энциклопедия событий, людей и явлений. Routledge. стр. 394. ISBN 978-0-8153-0062-5.
22. "ibn+yunus"+pendulum&pg=RA2-PA126 "Маятник". Encyclopedia Americana . Том 21. The Americana Corp. 1967. стр. 502. ISBN 978-0-19-538207-5. Получено 2009-02-20 .
23. Бейкер, Сирил Кларенс Томас (1961). Словарь математики. G. Newnes. стр. 176.
24. Ньютон, Роджер Г. (2004). Маятник Галилея: от ритма времени к созданию материи . США: Издательство Гарвардского университета. стр. 52. ISBN 978-0-674-01331-5.
25. Кинг, ДА (1979). «Ибн Юнус и маятник: история ошибок». Архивы международной истории наук . 29 (104): 35–52., перепечатано на сайте «Мусульманское наследие».
26. Холл, Берт С. (сентябрь 1978 г.). «Схоластический маятник». Annals of Science . 35 (5): 441–462. doi :10.1080/00033797800200371. ISSN  0003-3790.
27. O'Connor, JJ; Robertson, EF (ноябрь 1999). "Abu'l-Hasan Ali ibn Abd al-Rahman ibn Yunus". University of St Andrews . Получено 29-05-2007 .
28. Акьямпонг, Эммануэль К.; Гейтс, Генри Луис-младший, ред. (2012). "Ибн Юнус" . Словарь африканской биографии . Том 3. Oxford Univ. Press. С. 126–127. ISBN 978-0-19-538207-5.
29. Мэтьюз, Майкл Р. (2000). Время для научного образования. Springer. стр. 87. ISBN 978-0-306-45880-4.
30. Дрейк, Стиллман (2003). Галилей за работой: его научная биография. США: Courier Dover. С. 20–21. ISBN 978-0-486-49542-2.
31. Галилей, Галилео; Драбкин, IE; Дрейк, Стиллман (1960). О движении и о механике . Мэдисон: Университет Висконсина. С. 108.
32. Дрейк, Стиллман (2003). Галилей за работой: его научная биография. США: Courier Dover. стр. 17. ISBN  978-0-486-49542-2.
33. Галилей, Галилей (1909). Фаваро, Антонио [на итальянском языке] (ред.). Le Opere di Galileo Galilei, Edizione Nazionale [ Произведения Галилео Галилея, национальное издание ] (на итальянском языке). Флоренция : Барбера. ISBN 978-88-09-20881-0.
34. Murdin, Paul (2008). Полный меридиан славы: опасные приключения в соревновании по измерению Земли. Springer. стр. 41. ISBN 978-0-387-75533-5.
35. «Лампада Галилея», Франческо Малагуцци Валери, для Archivio storico dell'arte, том 6 (1893); редактор Доменико Ньоли; Издательство Danesi, Рим; Стр. 215-218.
36. Ван Хелден, Альберт (1995). «Маятниковые часы». Проект Галилео . Райс Юнив . Проверено 25 февраля 2009 г.
37. Биготти, Фабрицио; Тейлор, Дэвид (2017). «Пульсилогий Санторио: новый взгляд на технологию и измерения в ранней современной медицине». Societate Si Politica . 11 (2): 53–113. ISSN  1843-1348. PMC 6407692. PMID  30854144 . 
38. Дрейк 2003, стр. 419–420
39. хотя есть необоснованные ссылки на более ранние маятниковые часы, сделанные другими: Usher, Abbott Payson (1988). История механических изобретений. Courier Dover. стр. 310–311. ISBN 978-0-486-25593-4.
40. Эйдсон, Джон К. (2006). Измерение, управление и связь с использованием IEEE 1588. Буркхаузен. стр. 11. ISBN 978-1-84628-250-8.
41. Милхэм 1945, стр.145
42. O'Connor, JJ; EF Robertson (август 2002 г.). "Роберт Хук". Биографии, Архив истории математики MacTutor . Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия. Архивировано из оригинала 2009-03-03 . Получено 2009-02-21 .
43. Науенберг, Майкл (2006). «Основополагающий вклад Роберта Гука в орбитальную динамику». Роберт Гук: Исследования к трехсотлетию . Ashgate Publishing. С. 17–19. ISBN 0-7546-5365-X.
44. Науенберг, Майкл (2004). «Гук и Ньютон: предсказание планетарных движений». Physics Today . 57 (2): 13. Bibcode : 2004PhT....57b..13N. doi : 10.1063/1.1688052 . Получено 30.05.2007 .
45. The KGM Group, Inc. (2004). "Гелиоцентрические модели". Science Master. Архивировано из оригинала 2007-07-13 . Получено 2007-05-30 .
46. Lenzen, Victor F.; Robert P. Multauf (1964). "Paper 44: Development ofgravity pendulums in the 19th century". Бюллетень Национального музея США 240: Материалы Музея истории и технологий, перепечатанные в Бюллетене Смитсоновского института . Вашингтон: Smithsonian Institution Press. стр. 307. Получено 28.01.2009 .
47. Ричер, Жан (1679). Астрономические и физические наблюдения на острове Кайен . Мемуары Королевской академии наук. Бибкод : 1679oaep.book.....R.цитируется по Lenzen & Multauf, 1964, стр. 307.
48. Ленцен и Мультауф, 1964, стр.307.
49. Пойнтинг, Джон Генри; Джозеф Джон Томпсон (1907). Учебник физики, 4-е изд. Лондон: Charles Griffin & Co., стр. 20–22.
50. Гюйгенс, Кристиан; перевод Яна Брюса (июль 2007 г.). "Horologium Oscillatorium" (PDF) . 17centurymaths . 17thcenturymaths.com . Получено 01.03.2009 .
51. Созвездие Часов позже было названо в честь этой книги.
52. Мэтьюз, Майкл Р. (1994). Преподавание естественных наук: роль истории и философии науки. Psychology Press. стр. 121–122. ISBN 978-0-415-90899-3.
53. Гюйгенс, Horologium Oscillatorium, Часть 2, Предложение 25
54. Махони, Майкл С. (19 марта 2007 г.). «Христиан Гюйгенс: Измерение времени и долготы в море». Принстонский университет. Архивировано из оригинала 4 декабря 2007 г. Получено 27 мая 2007 г.
55. Бевилаква, Фабио; Лидия Фаломо; Лучио Фрегонезе; Энрико Джанетто; Франко Джудисе; Паоло Маскеретти (2005). «Маятник: от ограниченного падения к концепции потенциала». Маятник: научные, исторические, философские и образовательные перспективы . Springer. стр. 195–200. ISBN 1-4020-3525-X. Получено 26.02.2008 .дает подробное описание методов Гюйгенса
56. Headrick, Michael (2002). "Происхождение и эволюция спуска анкерных часов". Журнал Control Systems, Inst. Of Electrical and Electronic Engineers . 22 (2). Архивировано из оригинала 25 октября 2009 г. Получено 2007-06-06 .
57. " ...на него влияет либо невоздержанность воздуха, либо какие-либо неисправности в механизме, поэтому костыль QR не всегда активируется одинаковой силой... При больших дугах качания занимают больше времени, как я объяснил, поэтому по этой причине существуют некоторые неравенства в движении часов... ", Гюйгенс, Христиан (1658). Horologium (PDF) . Гаага: Адриан Влакч., перевод Эрнеста Л. Эдвардса (декабрь 1970 г.) Antiquarian Horology , том 7, № 1
58. Andrewes, WJH Clocks and Watches: The jump to precision in Macey, Samuel (1994). Encyclopedia of Time . Taylor & Francis. pp. 123–125. ISBN 978-0-8153-0615-3.
59. Ашер, 1988, стр.312
60. Беккет, Эдмунд (1874). Элементарный трактат о часах, часах и колоколах, 6-е изд. Лондон: Lockwood & Co., стр. 50.
61. Graham, George (1726). «Приспособление для избежания нерегулярностей в движении часов, вызванных действием тепла и холода на стержень маятника». Philosophical Transactions of the Royal Society . 34 (392–398): 40–44. doi : 10.1098/rstl.1726.0006 . S2CID  186210095.цитируется в Day, Lance; Ian McNeil (1996). Биографический словарь истории технологий. Taylor & Francis. стр. 300. ISBN 978-0-415-06042-4.
62. Kater, Henry (1818). "Отчет об экспериментах по определению длины маятника, вибрирующего секунды на широте Лондона". Phil. Trans. R. Soc . 104 (33): 109. Получено 25.11.2008 .
63. Опреа, Джон (1995). «Геометрия и маятник Фока» (PDF) . The American Mathematical Monthly . 102 (6). Математическая ассоциация Америки: 515–522. doi :10.1080/00029890.1995.12004611. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09 . Получено 13 апреля 2021 .
64. Амир Ацель (2003) Леон Фуко: Его жизнь, времена и достижения, в Мэтьюз, Майкл Р.; Колин Ф. Голд; Артур Стиннер (2005). Маятник: Научные, исторические, образовательные и философские перспективы. Springer. стр. 177. ISBN 978-1-4020-3525-8.
65. Джованнанджели, Франсуаза (ноябрь 1996 г.). «Вращение маятника Фуко в Пантеоне». The Paris Pages. Архивировано из оригинала 2007-06-09 . Получено 2007-05-25 .
66. Тобин, Уильям (2003). Жизнь и наука Леона Фуко: Человек, который доказал, что Земля вращается. Великобритания: Cambridge University Press. С. 148–149. ISBN 978-0-521-80855-2.
67. Penderel-Brodhurst, James George Joseph (1911). «Часы»  . В Chisholm, Hugh (ред.). Encyclopaedia Britannica . Vol. 06 (11-е изд.). Cambridge University Press. стр. 536–553, см. стр. 540 и 541.
68. Джонс, Тони (2000). Разделение секунды: история атомного времени. CRC Press. стр. 30. ISBN 978-0-7503-0640-9.
69. Калер, Джеймс Б. (2002). Вечно меняющееся небо: путеводитель по небесной сфере. Великобритания: Cambridge Univ. Press. стр. 183. ISBN 978-0-521-49918-7.
70. Одуан, Клод; Бернар Гино; Стивен Лайл (2001). Измерение времени: время, частота и атомные часы. Великобритания: Cambridge Univ. Press. стр. 83. ISBN 978-0-521-00397-1.
71. Торге, Вольфганг (2001). Геодезия: Введение. Вальтер де Грюйтер. п. 177. ИСБН 978-3-11-017072-6.
72. Милхэм 1945, стр.334
73. рассчитано по уравнению (1)
74. Глазго, Дэвид (1885). Изготовление часов. Лондон: Cassel & Co., стр. 279–284.
75. Мэттис, Роберт Дж. (2004). Точные маятниковые часы. Великобритания: Oxford Univ. Press. стр. 4. ISBN 978-0-19-852971-2.
76. Маттейс, 2004, стр. 13
77. Маттис 2004, стр. 91-92
78. Беккет 1874, стр.48
79. "Регулирование". Энциклопедия часов . Рынок старых и проданных антикварных вещей. 2006. Получено 09.03.2009 .
80. Беккет 1874, стр.43
81. Глазго 1885, стр.282.
82. "Факты о Великих часах". Биг-Бен . Лондон: Парламент Великобритании. 13 ноября 2009 г. Архивировано из оригинала 7 октября 2009 г. Получено 31 октября 2012 г.
83. Маттис 2004, стр.3
84. Penderel-Brodhurst, James George Joseph (1911). «Часы»  . В Chisholm, Hugh (ред.). Encyclopaedia Britannica . Vol. 06 (11-е изд.). Cambridge University Press. стр. 536–553, см. стр. 539 и 540.
85. Гюйгенс, Кристиан (1658). Часы (PDF) . Гаага: Адриан Влак., перевод Эрнеста Л. Эдвардса (декабрь 1970 г.) Antiquarian Horology , том 7, № 1
86. Зупко, Рональд Эдвард (1990). Революция в измерении: западноевропейские веса и меры со времен науки . Diane Publishing. стр. 131. ISBN 978-0-87169-186-6.
87. Пикард, Жан (1671). La Mesure de la Terre [ Измерение Земли ] (на французском языке). Париж, Франция: Imprimerie Royale. п. 4.Пикар описал маятник, состоящий из медного шарика диаметром дюйм (2,54 мм), подвешенного на нити питта — волокна растения алоэ. Затем Пикард упоминает, что температура незначительно влияет на длину этого маятника: «Il est vray que cette longueur ne s'est pas toûjours trouvées si precision, & qu'il a semblé qu'elle devoit estre toûjours un peu Accourcie en Hyver, & allongée en esté; mais c'est seulement de la dixieme party d'une ...» («Правда, эта длина [маятника] не всегда оказывается [] столь точной, и казалось, что зимой она всегда должна быть несколько укорочена, а летом удлиннена; но это только на десятую часть линии...») [1 ligne (линия) = 2,2558 мм].
88. Маттис 2004, стр.7-12
89. Милхэм 1945, стр.335
90. Милхэм 1945, стр.331-332
91. Мэттис 2004, Часть 3, стр.153-179
92. Пойнтинг и Томпсон, 1907, стр. 13-14
93. Updegraff, Milton (7 февраля 1902 г.). «Об измерении времени». Science . 15 (371): 218–219. doi :10.1126/science.ns-15.374.218-a. PMID  17793345. S2CID  21030470 . Получено 13 июля 2009 г. .
94. Данвуди, Хэлси (1917). Заметки, задачи и лабораторные упражнения по механике, звуку, свету, термомеханике и гидравлике, 1-е изд. Нью-Йорк: John Wiley & Sons. стр. 87.
95. "Ширина резонанса". Глоссарий . Отделение времени и частоты, Национальный институт стандартов и технологий США. 2009. Архивировано из оригинала 2009-01-30 . Получено 2009-02-21 .
96. Jespersen, James; Fitz-Randolph, Jane; Robb, John (1999). От солнечных часов до атомных: понимание времени и частоты. Нью-Йорк: Courier Dover. С. 41–50. ISBN 978-0-486-40913-9.стр.39
97. Мэттис, Роберт Дж. (2004). Точные маятниковые часы. Великобритания: Oxford Univ. Press. С. 27–36. ISBN 978-0-19-852971-2.содержит превосходное всестороннее обсуждение спора о применимости Q к точности маятников.
98. "Quality Factor, Q". Глоссарий . Time and Frequency Division, US National Institute of Standards and Technology. 2009. Архивировано из оригинала 2008-05-04 . Получено 2009-02-21 .
99. Matthys, 2004, стр. 32, рис. 7.2 и текст
100. Маттис, 2004, стр.81
101. "Q, Quality Factor". Журнал о часах . Сайт Orologeria Lamberlin . Получено 21.02.2009 .
102. Милхэм 1945, стр.615
103. "Часы Рейфлера и Шорта". Институт времени и технологий JagAir . Получено 29.12.2009 .
104. Беттс, Джонатан (22 мая 2008 г.). "Заявление эксперта, Дело 6 (2008-09) Регулятор Уильяма Гамильтона Шорта". Слушание по лицензированию экспорта, Комитет по рассмотрению экспорта произведений искусства и объектов культурного интереса . Совет музеев, библиотек и архивов Великобритании. Архивировано из оригинала (DOC) 25 октября 2009 г. Получено 29 декабря 2009 г.
105. Эйри, Джордж Биддл (26 ноября 1826 г.). «О возмущениях маятников и балансиров и о теории спусковых механизмов». Труды Кембриджского философского общества . 3 (часть 1): 105. Получено 25 апреля 2008 г.
106. Беккет 1874, стр.75-79
107. Vočadlo, Lidunka. "Гравитация, форма Земли, изостазия, момент инерции" . Получено 5 ноября 2012 г.
108. Бейкер, Лайман А. (весна 2000 г.). «Канцлер Бэкон». Английский 233 – Введение в западные гуманитарные науки . Кафедра английского языка, Канзасский государственный университет . Получено 20 февраля 2009 г.
109. Poynting & Thompson 1907, стр. 9
110. Пойнтинг, Джон Генри; Джозеф Джон Томпсон (1907). Учебник физики, 4-е изд. Лондон: Charles Griffin & Co. стр. 20.
111. Victor F., Lenzen; Robert P. Multauf (1964). "Paper 44: Development ofgravity pendulums in the 19th century". Бюллетень Национального музея США 240: Вклад Музея истории и технологий, перепечатанный в Бюллетене Смитсоновского института . Вашингтон: Smithsonian Institution Press. стр. 307. Получено 28.01.2009 .
112. Poynting & Thompson, 1907, стр. 10
113. Пойнтинг, Джон Генри (1894). Средняя плотность Земли. Лондон: Чарльз Гриффин. С. 22–24.
114. Харпер, Уильям Л. (декабрь 2011 г.). «Христиан Гюйгенс: великий натурфилософ, измеривший гравитацию, и просветляющая фольга для Ньютона о методе». Научный метод Исаака Ньютона: превращение данных в доказательства гравитации и космологии . doi :10.1093/acprof:oso/9780199570409.003.0005.
115. Кокс, Джон (1904). Механика. Кембридж, Великобритания: Cambridge Univ. Press. С. 311–312.
116. Пойнтинг и Томсон 1904, стр.23
117. Пойнтинг, Джон Генри (1894). Средняя плотность Земли. Лондон: Charles Griffin & Co., стр. 24–29.
118. Пойнтинг, Джон Генри (1911). «Гравитация»  . В Чисхолм, Хью (ред.). Encyclopaedia Britannica . Том 12 (11-е изд.). Cambridge University Press. стр. 384–389, см. стр. 386. Эксперимент Эйри. — В 1854 году сэр Дж. Б. Эйри...
119. Ленцен и Мультауф 1964, стр.320
120. Пойнтинг и Томпсон 1907, стр.18
121. "Падения и взлеты гравитационных исследований". NOAA празднует 200-летие . Национальное управление океанографии и атмосферы США. 2007-07-09.
122. Ленцен и Мультауф 1964, стр.324
123. Ленцен и Мультауф 1964, стр.329
124. Woolard, George P. (28–29 июня 1957 г.). «Гравитационные наблюдения во время МГГ». Геофизика и МГГ: Труды симпозиума, посвященного открытию Международного геофизического года . Вашингтон, округ Колумбия: Американский геофизический союз, Национальная академия наук. стр. 200. Получено 27 мая 2009 г.
125. Ленцен и Мультауф 1964, стр.336, рис.28.
126. Michael R., Matthews (2001). "Методология и политика в науке: судьба предложения Гюйгенса 1673 года о маятнике как международном стандарте длины и некоторые образовательные предложения". Наука, образование и культура: вклад истории и философии науки . Springer. стр. 296. ISBN 0-7923-6972-6.
127. Ренвик, Джеймс (1832). Элементы механики. Филадельфия: Carey & Lea. С. 286–287.
128. Олдер, Кен (2003). Мера всех вещей: семилетняя одиссея и скрытая ошибка, которая преобразила мир. США: Simon and Schuster. стр. 88. ISBN 978-0-7432-1676-0.
129. цитируется в Jourdan, Louis (22 октября 2001 г.). "Re: SI и словари". USMA (список рассылки) . Получено 27.01.2009 .
130. Аньоли, Паоло; Джулио Д'Агостини (декабрь 2004 г.). «Почему метр опережает секунду?». arXiv : physics/0412078 .
131. цитируется в LeConte, John (август 1885 г.). "Метрическая система". The Overland Monthly . 6 (2): 178. Получено 04.03.2009 .
132. Зупко, 1990, стр.131
133. Зупко, 1990, стр.140-141
134. Зупко, 1990, стр.93
135. Шумахер, Генрих (1821). «Датский стандарт длины». The Quarterly Journal of Science, Literature and the Arts . 11 (21): 184–185 . Получено 17 февраля 2009 г.
136. "Шумахер, Генрих Христиан". Американская энциклопедия . Том 14. D. Appleton & Co., Лондон. 1883. стр. 686. Получено 17 февраля 2009 г.
137. Траутвайн, Джон Крессон (1907). Карманная книга инженера-строителя, 18-е изд. Нью-Йорк: John Wiley. стр. 216.
138. Toon, John (8 сентября 2000 г.). «Вне времени: исследователи воссоздают эксперимент с часами 1665 года, чтобы лучше понять современные синхронизированные генераторы». Georgia Tech . Получено 31 мая 2007 г.
139. А. Л. Фрадков и Б. Андриевский, «Синхронизация и фазовые соотношения в движении двухмаятниковой системы», Международный журнал нелинейной механики, т. 42 (2007), стр. 895–901.
140. И.И. Блехман, «Синхронизация в науке и технике», ASME Press, Нью-Йорк, 1988, (перевод с русского на английский)
141. Интересную симуляцию движения кадила можно найти на этом сайте. Архивировано 23.05.2011 на Wayback Machine .
142. Hart, Matthew (2 февраля 2016 г.). «Физика рискует погибнуть от таранного шара ради науки». Nerdist . Архивировано из оригинала 15 марта 2017 г. Получено 14 марта 2017 г.
143. Соренсон, Рой (2014). «Мысленные эксперименты для новичков». В Бут, Энтони Роберт; Роуботтом, Даррелл П. (ред.). Интуиции . Oxford Univ Pr. стр. 139. ISBN 9780199609192. Получено 15 марта 2017 г.
144. "Bowling Ball Pendulum". Чудеса физики . Университет Висконсина–Мэдисона . Получено 14 марта 2017 г.
145. weknowmemes (8 августа 2014 г.). "Physics Ball Test Gone Wrong". YouTube . Архивировано из оригинала 2021-11-10 . Получено 14 марта 2017 г.
146. Скотт, Джордж Райли (2009). История пыток на протяжении веков. Routledge. стр. 242. ISBN 978-1136191602.
147. Llorente, Juan Antonio (1826). История инквизиции Испании. Сокращено и переведено Джорджем Б. Уиттакером. Оксфордский университет. С. XX, предисловие.
148. Эбботт, Джеффри (2006). Казнь: гильотина, маятник, тысяча порезов, испанский осел и 66 других способов казни . St. Martin's Press. ISBN 978-0-312-35222-6.
149. По, Эдгар Аллан (1842). Колодец и маятник. Booklassic. ISBN 978-9635271900.
150. Рот, Сесил (1964). Испанская инквизиция . WW Norton and Company. стр. 258. ISBN 978-0-393-00255-3. маятник.
151. Манникс, Дэниел П. (2014). История пыток. ЭНет Пресс. п. 76. ИСБН 978-1-61886-751-3.
152. Pavlac, Brian (2009). Охота на ведьм в западном мире: преследование и наказание от инквизиции до Салемских процессов. ABC-CLIO. стр. 152. ISBN 978-0-313-34874-7.
153. Демонстрации лекций по естественным наукам в Гарварде, Маятниковые волны
154. Юрченко, Д.; Алеврас, П. (2013). «Динамика N-маятника и ее применение к концепции преобразователя энергии волн». Международный журнал динамики и управления . 1 (4): 4. doi : 10.1007/s40435-013-0033-x .

Дальнейшее чтение

• GL Baker и JA Blackburn (2009). Маятник: исследование случая в физике (Oxford University Press).
• М. Гиттерман (2010). Хаотический маятник (World Scientific).
• Майкл Р. Мэтьюз, Артур Стиннер, Колин Ф. Голд (2005) Маятник: научные, исторические, философские и образовательные перспективы , Springer
• Мэтьюз, Майкл Р.; Голд, Колин; Стиннер, Артур (2005). «Маятник: его место в науке, культуре и педагогике». Наука и образование . 13 (4/5): 261–277. Bibcode : 2004Sc&Ed..13..261M. doi : 10.1023/b:sced.0000041867.60452.18. S2CID  195221704.
• Шломо Зильберманн, (2014) «Основы маятника; Путь в никуда» (книга)
• Мэттис, Роберт Дж. (2004). Точные маятниковые часы . Великобритания: Oxford Univ. Press. ISBN 978-0-19-852971-2.
• Нельсон, Роберт; MG Olsson (февраль 1986 г.). «Маятник – Богатая физика из простой системы». American Journal of Physics . 54 (2): 112–121. Bibcode : 1986AmJPh..54..112N. doi : 10.1119/1.14703. S2CID  121907349.
• LP Pook (2011). Понимание маятников: краткое введение (Springer).