Фазовый поиск

Алгоритмическое определение частей волнового цикла

Фазовый поиск — это процесс алгоритмического поиска решения фазовой проблемы . Учитывая комплексный сигнал амплитуды и фазы : ${\displaystyle F(k)}$ ${\displaystyle |F(k)|}$ ${\displaystyle \psi (k)}$

${\displaystyle F(k)=|F(k)|e^{i\psi (k)}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ik\cdot x}\,dx}$

где x представляет собой M -мерную пространственную координату, а k представляет собой M -мерную пространственную частотную координату. Поиск фазы состоит из поиска фазы, которая удовлетворяет набору ограничений для измеренной амплитуды. Важные применения фазового восстановления включают рентгеновскую кристаллографию , просвечивающую электронную микроскопию и когерентную дифракционную визуализацию . ^[1] Теоремы единственности как для 1-D, так и для 2-D случаев задачи восстановления фазы, включая бесфазную 1-D обратную задачу рассеяния, были доказаны Клибановым и его сотрудниками (см. Список литературы). ${\displaystyle M=2}$

Постановка проблемы

Здесь мы рассматриваем одномерную задачу восстановления фазы дискретного преобразования Фурье (DFT). ДПФ комплексного сигнала определяется выражением ${\displaystyle f[n]}$

${\displaystyle F[k]=\sum _{n=0}^{N-1}f[n]e^{-j2\pi {\frac {kn}{N}},}=|F[k]|\cdot e^{j\psi [k]}\quad k=0,1,\ldots ,N-1}$,

а ДПФ с передискретизацией определяется выражением ${\displaystyle x}$

${\displaystyle F[k]=\sum _{n=0}^{N-1}f[n]e^{-j2\pi {\frac {kn}{M}},}\quad k=0,1,\ldots ,M-1}$,

где . ${\displaystyle M>N}$

Поскольку оператор ДПФ является биективным, это эквивалентно восстановлению фазы . Обычно сигнал восстанавливают по его автокорреляционной последовательности вместо его величины Фурье. То есть обозначим вектором после дополнения нулями. Тогда автокорреляционная последовательность определяется как ${\displaystyle \psi [k]}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle g[m]=\sum _{i=\max\{1,m+1\}}^{N}{\hat {f}}_{i}{\overline {{\hat {f}}_{i-m}}},\quad m=-(N-1),\ldots ,N-1}$,

и ДПФ , обозначенный , удовлетворяет . ${\displaystyle g[m]}$ ${\displaystyle G[k]}$ ${\displaystyle G[k]=|F[k]|^{2}}$

Методы

Алгоритм уменьшения ошибок

Схематическое изображение алгоритма уменьшения ошибок при восстановлении фазы

Снижение ошибок является обобщением алгоритма Герхберга-Сакстона . Он решает проблему на основе измерений путем итерации четырехэтапного процесса. Для th итерации шаги следующие: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle |F(u)|}$ ${\displaystyle k}$

Шаг (1): , , и – оценки соответственно , и . На первом этапе мы вычисляем преобразование Фурье : ${\displaystyle G_{k}(u)}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle g_{k}(x)}$ ${\displaystyle F(u)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g_{k}(x)}$

${\displaystyle G_{k}(u)=|G_{k}(u)|e^{i\phi _{k}(u)}={\mathcal {F}}(g_{k}(x)).}$

Шаг (2): Затем экспериментальное значение , рассчитанное по дифракционной картине с помощью уравнения сигнала ^{[ необходимы пояснения ]} , дает оценку преобразования Фурье: ${\displaystyle |F(u)|}$ ${\displaystyle |G_{k}(u)|}$

${\displaystyle G'_{k}(u)=|F(u)|e^{i\phi _{k}(u)},}$

где ' обозначает промежуточный результат, который позже будет отброшен.

Шаг (3): оценка преобразования Фурье затем подвергается обратному преобразованию Фурье: ${\displaystyle G'_{k}(u)}$

${\displaystyle g'_{k}(x)=|g'_{k}(x)|e^{i\theta '_{k}(x)}={\mathcal {F}}^{-1}(G'_{k}(u)).}$

Шаг (4): затем необходимо изменить так, чтобы новая оценка объекта удовлетворяла ограничениям объекта ^{[ необходимы пояснения ]} . поэтому определяется кусочно как: ${\displaystyle g'_{k}(x)}$ ${\displaystyle g_{k+1}(x)}$ ${\displaystyle g_{k+1}(x)}$

${\displaystyle g_{k+1}(x)\equiv {\begin{cases}g'_{k}(x),&x\notin \gamma ,\\0,&x\in \gamma ,\end{cases}}}$

где — область, в которой не удовлетворяются ограничения объекта. Получается новая оценка , и четырехэтапный процесс повторяется. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle g'_{k}(x)}$ ${\displaystyle g_{k+1}(x)}$

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут удовлетворены как ограничение Фурье, так и ограничение объекта. Теоретически этот процесс всегда приведет к сходимости ^[1] , но большое количество итераций, необходимое для создания удовлетворительного изображения (обычно >2000), приводит к тому, что алгоритм уменьшения ошибок сам по себе становится непригодным для практического применения.

Гибридный алгоритм ввода-вывода

Гибридный алгоритм ввода-вывода является модификацией алгоритма снижения ошибок — первые три этапа идентичны. Однако больше действует не как оценка , а как входная функция, соответствующая выходной функции , которая является оценкой . ^[1] На четвертом этапе, когда функция нарушает ограничения объекта, значение приближается к нулю, но оптимально не к нулю. Главное преимущество гибридного алгоритма ввода-вывода заключается в том, что функция содержит информацию обратной связи относительно предыдущих итераций, что снижает вероятность застоя. Показано, что гибридный алгоритм ввода-вывода сходится к решению существенно быстрее, чем алгоритм уменьшения ошибок. Его скорость сходимости можно дополнительно улучшить с помощью алгоритмов оптимизации размера шага. ^[2] ${\displaystyle g_{k}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g'_{k}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g'_{k}(x)}$ ${\displaystyle g_{k+1}(x)}$ ${\displaystyle g_{k}(x)}$

${\displaystyle g_{k+1}(x)\equiv {\begin{cases}g'_{k}(x),&x\notin \gamma ,\\g_{k}(x)-\beta {g'_{k}(x)},&x\in \gamma .\end{cases}}}$

Вот параметр обратной связи, который может принимать значение от 0 до 1. Для большинства приложений дает оптимальные результаты. {Научные отчеты, том 8, номер статьи: 6436 (2018)} ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta \approx 0.9}$

термоусадочная пленка

Для двумерной задачи восстановления фазы существует вырождение решений , поскольку и сопряженное ей решение имеют одинаковый модуль Фурье. Это приводит к «двойнику изображения», при котором алгоритм фазового поиска застаивается, создавая изображение с характеристиками как объекта, так и его сопряженного объекта . ^[3] Метод сжатия периодически обновляет оценку поддержки путем низкочастотной фильтрации текущей оценки амплитуды объекта (путем свертки с гауссианом ) и применения порога, что приводит к уменьшению неоднозначности изображения. ^[4] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f^{*}(-x)}$

Полуопределенный алгоритм релаксации для кратковременного преобразования Фурье

Восстановление фазы является некорректной задачей. Чтобы однозначно идентифицировать основной сигнал, в дополнение к методам, которые добавляют дополнительную априорную информацию, таким как алгоритм Герхберга – Сакстона , другой способ — добавить измерения только по величине, такие как кратковременное преобразование Фурье (STFT).

Представленный ниже метод в основном основан на работе Джаганатана и др . ^[5]

Кратковременное преобразование Фурье

Учитывая дискретный сигнал , который выбран из . Мы используем окно длиной W : для вычисления STFT , обозначаемого : ${\displaystyle \mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}}$ ${\displaystyle \mathrm {f} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle Y[m,r]=\sum _{n=0}^{N-1}{f[n]w[rL-n]e^{-i2\pi {\frac {mn}{N}}}}}$

для и , где параметр обозначает расстояние во времени между соседними кратковременными участками, а параметр обозначает количество рассматриваемых кратковременных участков. ${\displaystyle 0\leq m\leq N-1}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq R-1}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R=\left\lceil {\frac {N+W-1}{L}}\right\rceil }$

Другая интерпретация (так называемая интерпретация скользящего окна) STFT может использоваться с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Пусть обозначает элемент окна, полученный из сдвинутого и перевернутого окна . Тогда у нас есть ${\displaystyle w_{r}[n]=w[rL-n]}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle \mathbf {Y} =[\mathbf {Y} _{0},\mathbf {Y} _{1},...,\mathbf {Y} _{R-1}]}$, где . ${\displaystyle \mathbf {Y} _{r}=\mathbf {x} \circ \mathbf {w} _{r}}$

Определение проблемы

Пусть – измерения , соответствующие квадрату величины STFT , – диагональная матрица с диагональными элементами. Восстановление фазы STFT можно сформулировать как: ${\displaystyle {Z}_{w}[m,r]=|Y[m,r]|^{2}}$ ${\displaystyle N\times R}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {W} _{r}}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle \left(w_{r}[0],w_{r}[1],\ldots ,w_{r}[N-1]\right).}$

Найдите такое, что для и , где -й столбец -точечной обратной матрицы ДПФ. ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle Z_{w}[m,r]=\left|\left\langle \mathbf {f} _{m},\mathbf {W} _{r}\mathbf {x} \right\rangle \right|^{2}}$ ${\displaystyle 0\leq m\leq N-1}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq R-1}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle N}$

Интуитивно понятно, что возрастающая вычислительная сложность делает метод непрактичным. Однако на самом деле в большинстве практических случаев нам нужно рассматривать только измерения, соответствующие , для любого параметра, удовлетворяющего . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0\leq m\leq M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 2W\leq M\leq N}$

Точнее, если и сигнал, и окно не исчезают , то есть для всех и для всех , сигнал может быть однозначно идентифицирован по его величине STFT, если выполняются следующие требования: ${\displaystyle x[n]\neq 0}$ ${\displaystyle 0\leq n\leq N-1}$ ${\displaystyle w[n]\neq 0}$ ${\displaystyle 0\leq }$ ${\displaystyle n\leq W-1}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

1. ${\displaystyle L<W\leq N/2}$,
2. ${\displaystyle 2W\leq M\leq N}$.

Доказательство можно найти в работе Джаганатана ^[5] , в которой поиск фазы STFT переформулируется как следующая задача наименьших квадратов:

${\displaystyle \min _{\mathbf {x} }\sum _{r=0}^{R-1}\sum _{m=0}^{N-1}\left(Z_{w}[m,r]-\left|\left\langle \mathbf {f} _{m},\mathbf {W} _{r}\mathbf {x} \right\rangle \right|^{2}\right)^{2}}$.

Алгоритм, хотя и не имеет теоретических гарантий восстановления, эмпирически способен сходиться к глобальному минимуму при существенном перекрытии соседних кратковременных участков.

Полуопределенный алгоритм, основанный на релаксации

Чтобы установить гарантии восстановления, один из способов состоит в том, чтобы сформулировать проблемы в виде полуопределенной программы (SDP), вложив проблему в пространство более высокой размерности с помощью преобразования и ослабив ограничение первого ранга для получения выпуклой программы. Переформулированная проблема сформулирована ниже: ${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\ast }}$

Получите , решив: ${\displaystyle \mathbf {\hat {X}} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {minimize} ~~~\mathrm {trace} (\mathbf {X} )\\[6pt]&\mathrm {subject~to} ~~Z[m,r]=\mathrm {trace} (\mathbf {W} _{r}^{\ast }\mathbf {f} _{m}\mathbf {f} _{m}^{\ast }\mathbf {W} _{r}\mathbf {X} )\\[0pt]&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {X} \succeq 0\end{aligned}}}$$

${\displaystyle 1\leq m\leq M}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq R-1}$

Как только он будет найден, мы сможем восстановить сигнал с помощью наилучшего приближения первого ранга. ${\displaystyle \mathbf {\hat {X}} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Приложения

Восстановление фазы является ключевым компонентом когерентной дифракционной визуализации (CDI). В CDI измеряется интенсивность дифракционной картины , рассеянной от мишени. Затем фаза дифракционной картины получается с использованием алгоритмов восстановления фазы и строится изображение цели. Таким образом, восстановление фазы позволяет преобразовать дифракционную картину в изображение без оптической линзы .

Используя алгоритмы восстановления фазы, можно охарактеризовать сложные оптические системы и их аберрации. ^[6] Например, восстановление фазы использовалось для диагностики и ремонта неисправной оптики космического телескопа Хаббл . ^{[7] [8]}

Другие применения фазового восстановления включают рентгеновскую кристаллографию и просвечивающую электронную микроскопию .

Смотрите также

• Фазовая проблема
• Кристаллография
• Рентгеновская кристаллография
• Когерентная дифракционная визуализация
• Уравнение переноса интенсивности
• Фазовая корреляция

Рекомендации

1. Fienup, младший (1 августа 1982 г.). «Алгоритмы поиска фазы: сравнение». Прикладная оптика . 21 (15): 2758–69. Бибкод : 1982ApOpt..21.2758F. дои : 10.1364/AO.21.002758. ISSN  0003-6935. ПМИД  20396114.
2. Маркезини, С. (25 января 2007 г.). «Приглашенная статья: унифицированная оценка алгоритмов итеративного проецирования для поиска фазы». Обзор научных инструментов . 78 (1): 011301–011301–10. arXiv : физика/0603201 . Бибкод : 2007RScI...78a1301M. дои : 10.1063/1.2403783. ISSN  0034-6748. PMID  17503899. S2CID  7462041.
3. Фиенуп, младший; Вакерман, CC (1 ноября 1986 г.). «Проблемы и решения стагнации фазового восстановления». Журнал Оптического общества Америки А. 3 (11): 1897. Бибкод : 1986JOSAA...3.1897F. дои : 10.1364/JOSAA.3.001897. ISSN  1084-7529.
4. Маркезини, С.; Он, Х.; Чепмен, Х.Н.; Хау-Риж, СП; Ной, А.; Хауэллс, MR; Вейерстолл, У.; Спенс, ЮЧ (28 октября 2003 г.). «Реконструкция рентгеновского изображения только по дифракционной картине». Физический обзор B . 68 (14): 140101. arXiv : физика/0306174 . Бибкод : 2003PhRvB..68n0101M. doi : 10.1103/PhysRevB.68.140101. ISSN  0163-1829. S2CID  14224319.
5. Джаганатан, Кишор; Эльдар, Йонина С.; Хассиби, Бабак (июнь 2016 г.). «Извлечение фазы STFT: гарантии уникальности и алгоритмы восстановления». Журнал IEEE по избранным темам обработки сигналов . 10 (4): 770–781. arXiv : 1508.02820 . Бибкод : 2016ISTSP..10..770J. дои : 10.1109/JSTSP.2016.2549507 . ISSN  1941-0484.
6. Фиенуп, младший (1 апреля 1993 г.). «Алгоритмы восстановления фазы сложной оптической системы». Прикладная оптика . 32 (10): 1737–1746. Бибкод : 1993ApOpt..32.1737F. дои : 10.1364/AO.32.001737. ISSN  2155-3165. ПМИД  20820307.
7. «От первого лица: открытие ученого акцентирует внимание на космосе» . www.wbur.org . Апрель 2022 года . Проверено 30 мая 2022 г.Интервью с профессором Робертом Гонсалвесом.
8. Крист, JE; Берроуз, CJ (1 августа 1995 г.). «Фазовый анализ изображений космического телескопа Хаббл до и после ремонта». Прикладная оптика . 34 (22): 4951–64. Бибкод : 1995ApOpt..34.4951K. дои : 10.1364/AO.34.004951. ПМИД  21052338.

• Клибанов, М.В. (1985). «О единственности определения финитной функции по модулю ее преобразования Фурье». Советская математика — Доклады . 32 : 668–670.
• Клибанов, М.В. (1987). «Определение функции с компактным носителем по модулю ее преобразования Фурье и обратная задача рассеяния». Дифференциальные уравнения . 22 : 1232–1240.
• Клибанов, М.В. (1987). «Обратная задача рассеяния и восстановление функции по модулю ее преобразования Фурье». Сибирская математика Ж . 27 (5): 708–719. дои : 10.1007/bf00969199. S2CID  120840929.
• Клибанов, М.В. (1989). «Уникальность определения искажений кристаллической решетки методом рентгеновской дифракции в непрерывной динамической модели». Дифференциальные уравнения . 25 : 520–527.
• Клибанов М.В. и Сакс Ч.П. (1992). «Бесфазное обратное рассеяние и фазовая проблема в оптике». Дж. Математика. Физ . 33 (11): 2813–3821. Бибкод : 1992JMP....33.3813K. дои : 10.1063/1.529990.
• Клибанов М.В.; Сакс, ЧП (1994). «Использование частичного знания потенциала в фазовой задаче обратного рассеяния». Дж. Компьютер. Физ . 112 (2): 273–281. Бибкод : 1994JCoPh.112..273K. дои : 10.1006/jcph.1994.1099.
• Клибанов М.В.; Сакс, ЧП; Тихонравов, А.В. (1995). «Проблема восстановления фазы». Обратная задача . 11 (1): 1–28. Бибкод :1995ИнвПр..11....1К. дои : 10.1088/0266-5611/11/1/001. S2CID  250916850.
• Клибанов, М.В. (2006). «О восстановлении двумерной функции по модулю ее преобразования Фурье». Дж. Математика. Анальный. Приложение . 323 (2): 818–843. дои : 10.1016/j.jmaa.2005.10.079 .