Геометрическая фаза

Фаза цикла

В классической и квантовой механике геометрическая фаза — это разность фаз , приобретаемая в ходе цикла , когда система подвергается циклическим адиабатическим процессам , что является результатом геометрических свойств пространства параметров гамильтониана . ^[1] Это явление было независимо открыто С. Панчаратнамом (1956), ^[2] в классической оптике и Х. К. Лонге-Хиггинсом (1958) ^[3] в молекулярной физике; он был обобщен Майклом Берри в (1984). ^[4] Она также известна как фаза Панчаратнама-Берри , фаза Панчаратнама или фаза Берри . Это можно увидеть в коническом пересечении поверхностей потенциальной энергии ^{[3] [5]} и в эффекте Ааронова-Бома . Геометрическая фаза вокруг конического пересечения, включающая основное электронное состояние молекулярного иона C ₆ H ₃ F ₃ ⁺ , обсуждается на страницах 385–386 учебника Банкера и Йенсена. ^[6] В случае эффекта Ааронова-Бома адиабатический параметр представляет собой магнитное поле , окруженное двумя интерференционными путями, и оно является циклическим в том смысле, что эти два пути образуют петлю. В случае конического пересечения адиабатическими параметрами являются координаты молекулы . Помимо квантовой механики, оно возникает во множестве других волновых систем, например в классической оптике . Как правило, это может произойти всякий раз, когда есть по крайней мере два параметра, характеризующих волну вблизи какой-либо особенности или дыры в топологии; необходимы два параметра, поскольку либо набор несингулярных состояний не будет односвязным , либо будет ненулевая голономия .

Волны характеризуются амплитудой и фазой и могут изменяться в зависимости от этих параметров. Геометрическая фаза возникает, когда оба параметра изменяются одновременно, но очень медленно (адиабатически) и в конечном итоге возвращаются к исходной конфигурации. В квантовой механике это может включать как вращение, так и перемещение частиц, которое, очевидно, в конце концов прекращается. Можно было бы ожидать, что волны в системе вернутся в исходное состояние, характеризующееся амплитудами и фазами (и учетом течения времени). Однако, если отклонения параметров соответствуют петле, а не самовозвращающемуся колебанию вперед и назад, то возможно, что начальное и конечное состояния различаются по своим фазам. Эта разность фаз является геометрической фазой, и ее появление обычно указывает на то, что зависимость параметров системы сингулярна ( ее состояние неопределенно) для некоторой комбинации параметров.

Для измерения геометрической фазы в волновой системе необходим интерференционный эксперимент . Маятник Фуко — пример классической механики , который иногда используется для иллюстрации геометрической фазы. Этот механический аналог геометрической фазы известен как угол Ханнея .

Фаза Берри в квантовой механике

В квантовой системе в n-м собственном состоянии адиабатическая эволюция гамильтониана приводит к тому , что система остается в n -м собственном состоянии гамильтониана, одновременно получая фазовый фактор. Полученная фаза имеет вклад от эволюции состояния во времени, а также от изменения собственного состояния с изменением гамильтониана. Второй член соответствует фазе Берри, и для нециклических вариаций гамильтониана его можно заставить обратиться в нуль за счет различного выбора фазы, связанной с собственными состояниями гамильтониана в каждой точке эволюции.

Однако, если изменение носит циклический характер, фазу Берри отменить нельзя; оно инвариантно и становится наблюдаемым свойством системы. Рассмотрев доказательство адиабатической теоремы , данное Максом Борном и Владимиром Фоком в Zeitschrift für Physik 51 , 165 (1928), мы смогли охарактеризовать весь переход адиабатического процесса в фазовый член. В адиабатическом приближении коэффициент n -го собственного состояния при адиабатическом процессе определяется выражением

$${\displaystyle C_{n}(t)=C_{n}(0)\exp \left[-\int _{0}^{t}\langle \psi _{n}(t')|{\dot {\psi }}_{n}(t')\rangle \,dt'\right]=C_{n}(0)e^{i\gamma _{n}(t)},}$$

tt ${\displaystyle \gamma _{n}(t)}$

$${\displaystyle \gamma _{n}[C]=i\oint _{C}\langle n,t|{\big (}\nabla _{R}|n,t\rangle {\big )}\,dR,}$$

кривизны Берри ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle |n,t\rangle }$ ${\displaystyle \gamma _{n}[C]}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Примеры геометрических фаз

Маятник Фуко

Одним из самых простых примеров является маятник Фуко . Простое объяснение с точки зрения геометрических фаз дано Вильчеком и Шапере: ^[7]

Как прецессирует маятник, когда он движется по общей траектории C ? При движении вдоль экватора маятник не прецессирует. [...] Теперь, если C состоит из геодезических сегментов, вся прецессия будет исходить из углов, где встречаются сегменты геодезических; полная прецессия равна чистому углу дефицита , который, в свою очередь, равен телесному углу , заключенному в C по модулю 2 π . Наконец, мы можем аппроксимировать любую петлю последовательностью геодезических сегментов, поэтому наиболее общий результат (на поверхности сферы или за ее пределами) состоит в том, что чистая прецессия равна замкнутому телесному углу.

Другими словами, нет сил инерции, которые могли бы вызвать прецессию маятника, поэтому прецессия (относительно направления движения пути, по которому несется маятник) целиком обусловлена ​​поворотом этого пути. Таким образом, ориентация маятника перемещается параллельно . Для исходного маятника Фуко траектория представляет собой круг широты , а по теореме Гаусса-Бонне фазовый сдвиг задается приложенным телесным углом. ^[8]

Вывод

Параллельная транспортировка вектора по замкнутому контуру на сфере: угол, на который он поворачивается, α , пропорционален площади внутри контура.

В околоинерциальной системе отсчета, движущейся в тандеме с Землей, но не разделяющей вращение Земли вокруг собственной оси, точка подвеса маятника прослеживает круговой путь в течение одних звездных суток.

На широте Парижа, 48 градусов 51 минута северной широты, полный цикл прецессии занимает чуть менее 32 часов, поэтому через один звездный день, когда Земля снова находится в той же ориентации, что и один звездный день до этого, плоскость колебаний повернулась всего лишь на более 270 градусов. Если вначале плоскость качания была север-юг, то звездным днем ​​позже она станет восток-запад.

Это также подразумевает, что произошел обмен импульсами ; Земля и качающийся маятник обменялись импульсом. Земля настолько массивнее, чем качающийся маятник, что изменение импульса Земли незаметно. Тем не менее, поскольку плоскость качания маятника сместилась, законы сохранения предполагают, что обмен должен был произойти.

Вместо отслеживания изменения импульса прецессию плоскости колебаний можно эффективно описать как случай параллельного переноса . Для этого можно продемонстрировать, составив бесконечно малые вращения, что скорость прецессии пропорциональна проекции угловой скорости Земли на нормальное направление к Земле, что означает, что след плоскости колебаний будет подвергаться параллельному переносу. . Через 24 часа разница между начальной и конечной ориентацией следа в системе координат Земли составит α = −2 π sin φ , что соответствует значению, заданному теоремой Гаусса–Бонне . α также называют голономией или геометрической фазой маятника. При анализе земных движений система отсчета Земли не является инерциальной системой отсчета , а вращается вокруг местной вертикали с эффективной скоростью 2π sin φ радиан в день. Для описания угла поворота плоскости качания маятника Фуко можно использовать простой метод, использующий параллельный перенос внутри конусов, касательных к поверхности Земли. ^{[9] [10]}

С точки зрения земной системы координат (измерительный круг и зритель привязаны к Земле, даже если реакция местности на силу Кориолиса не воспринимается зрителем при его движении), используя прямоугольную систему координат с осью X , направленной на восток и его ось Y направлена ​​на север, прецессия маятника обусловлена ​​силой Кориолиса (другие фиктивные силы , такие как гравитация и центробежная сила, не имеют прямой составляющей прецессии, сила Эйлера мала, поскольку скорость вращения Земли почти постоянна). Рассмотрим плоский маятник с постоянной собственной частотой ω в приближении малых углов . На качающийся маятник действуют две силы: восстанавливающая сила, создаваемая гравитацией и проволокой, и сила Кориолиса (центробежной силой, противоположной гравитационной восстанавливающей силе, можно пренебречь). Сила Кориолиса на широте φ горизонтальна в приближении малых углов и определяется выражением

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{c,x}&=2m\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi \\F_{c,y}&=-2m\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi \end{aligned}}}$$

ΩF _{c , x}xF _{c , y}y

Возвращающая сила в приближении малых углов и без учета центробежной силы определяется выражением

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{g,x}&=-m\omega ^{2}x\\F_{g,y}&=-m\omega ^{2}y.\end{aligned}}}$$

Графики периода прецессии и прецессии на звездные сутки в зависимости от широты. Знак меняется при вращении маятника Фуко против часовой стрелки в Южном полушарии и по часовой стрелке в Северном полушарии. Пример показывает, что звезда в Париже прецессирует 271° за каждый звездный день, тратя на один оборот 31,8 часа.

Используя законы движения Ньютона, это приводит к системе уравнений

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}x+2\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi \\{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}y-2\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi .\end{aligned}}}$$

Перейдя к комплексным координатам z = x + iy , уравнения будут выглядеть так:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2i\Omega {\frac {dz}{dt}}\sin \varphi +\omega ^{2}z=0\,.}$$

Для первого заказа вОм/ωэто уравнение имеет решение

$${\displaystyle z=e^{-i\Omega \sin \varphi t}\left(c_{1}e^{i\omega t}+c_{2}e^{-i\omega t}\right)\,.}$$

Если время измеряется в днях, то Ω = 2 π и маятник за одни сутки поворачивается на угол −2 π  sin φ .

Поляризованный свет в оптическом волокне

Второй пример — линейно поляризованный свет, попадающий в одномодовое оптическое волокно . Предположим, что волокно прокладывает некоторый путь в пространстве, и свет выходит из волокна в том же направлении, в каком он вошел. Затем сравните начальную и конечную поляризации. В квазиклассическом приближении волокно функционирует как волновод , и импульс света всегда касается волокна. Поляризацию можно рассматривать как ориентацию, перпендикулярную импульсу. Пока волокно прослеживает свой путь, вектор импульса света прокладывает путь на сфере в импульсном пространстве . Путь замкнут, так как начальное и конечное направления света совпадают, а поляризация представляет собой вектор, касательный к сфере. Переход в импульсное пространство эквивалентен взятию карты Гаусса . Нет никаких сил, которые могли бы заставить поляризацию повернуть, есть только ограничение оставаться касательным к сфере. Таким образом, поляризация подвергается параллельному переносу , а фазовый сдвиг определяется приложенным телесным углом (умноженным на спин, который в случае света равен 1).

Эффект стохастического насоса

Стохастический насос — это классическая стохастическая система, реагирующая в среднем ненулевыми токами на периодические изменения параметров. Эффект стохастической накачки можно интерпретировать как геометрическую фазу в эволюции моментогенерирующей функции стохастических токов. ^[11]

Вращение .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 ⁄ 2

Геометрическую фазу можно точно оценить для частицы со спином 1/2 в магнитном поле . ^[1]

Геометрическая фаза, определенная на аттракторах

^{Хотя формулировка Берри изначально была определена для линейных гамильтоновых систем, вскоре Нинг и Хакен [12]} поняли, что аналогичная геометрическая фаза может быть определена для совершенно других систем, таких как нелинейные диссипативные системы, которые обладают определенными циклическими аттракторами. Они показали, что такие циклические аттракторы существуют в классе нелинейных диссипативных систем с определенными симметриями. ^[13] Есть несколько важных аспектов этого обобщения фазы Берри: 1) Вместо пространства параметров для исходной фазы Берри это обобщение Нинг-Хакена определяется в фазовом пространстве; 2) Вместо адиабатической эволюции в квантовомеханической системе эволюция системы в фазовом пространстве не обязательно должна быть адиабатической. Нет никаких ограничений на временной масштаб временной эволюции; 3) Вместо эрмитовой системы или неэрмитовой системы с линейным затуханием системы могут быть вообще нелинейными и неэрмитовыми.

Воздействие на пересечениях поверхностей молекулярного адиабатического потенциала

Существует несколько способов расчета геометрической фазы молекул в рамках системы Борна-Оппенгеймера . Один из способов - использовать «матрицу неадиабатической связи », определяемую формулой ${\displaystyle M\times M}$

$${\displaystyle \tau _{ij}^{\mu }=\langle \psi _{i}|\partial ^{\mu }\psi _{j}\rangle ,}$$

петле Вильсона- ${\displaystyle \psi _{i}}$ ${\displaystyle R_{\mu }}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle R_{\mu }(t),}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle R_{\mu }(t+1)=R_{\mu }(t)}$

$${\displaystyle D[\Gamma ]={\hat {P}}e^{\oint _{\Gamma }\tau ^{\mu }\,dR_{\mu }}}$$

${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle e^{i\beta _{j}},}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle j}$

Для симметричных электронных гамильтонианов с обращением времени геометрическая фаза отражает количество конических пересечений, окруженных петлей. Точнее,

$${\displaystyle e^{i\beta _{j}}=(-1)^{N_{j}},}$$

${\displaystyle N_{j}}$ ${\displaystyle \psi _{j}}$ ${\displaystyle \Gamma .}$

Альтернативой подходу D -матрицы может быть прямой расчет фазы Панчаратнама. Это особенно полезно, если нас интересуют только геометрические фазы одного адиабатического состояния. В этом подходе берется несколько точек вдоль контура с , а затем, используя только j -е адиабатические состояния, вычисляется произведение перекрытий Панчаратнама: ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle (n=0,\dots ,N)}$ ${\displaystyle R(t_{n})}$ ${\displaystyle t_{0}=0}$ ${\displaystyle t_{N}=1,}$ ${\displaystyle \psi _{j}[R(t_{n})]}$

$${\displaystyle I_{j}(\Gamma ,N)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}\langle \psi _{j}[R(t_{n})]|\psi _{j}[R(t_{n+1})]\rangle .}$$

В пределе , который имеется (объяснение и некоторые приложения см. в Ryb & Baer 2004) ${\displaystyle N\to \infty }$

$${\displaystyle I_{j}(\Gamma ,N)\to e^{i\beta _{j}}.}$$

Геометрическая фаза и квантование циклотронного движения

Электрон, находящийся под действием магнитного поля, движется по круговой (циклотронной) орбите. ^[2] Классически допускается любой циклотронный радиус. Квантово-механически разрешены только дискретные уровни энергии ( уровни Ландау ), и поскольку это связано с энергией электрона, это соответствует квантованным значениям . Условие квантования энергии, полученное решением уравнения Шредингера, имеет вид, например, для свободных электронов (в вакууме) или для электронов в графене , где . ^[3] Хотя получение этих результатов несложно, существует альтернативный способ их получения, который в некотором отношении предлагает лучшее физическое понимание квантования уровня Ландау. Этот альтернативный способ основан на квазиклассическом условии квантования Бора – Зоммерфельда. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},}$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\textstyle E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\quad \alpha =0}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

$${\displaystyle \hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2),}$$

^[14] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma =0,}$ ${\displaystyle \gamma =\pi }$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle \alpha =0}$

Смотрите также

• Тензор кривизны Римана – за связь с математикой.
• Соединение ягод и кривизна
• Класс Черна
• Оптическое вращение
• Номер обмотки

Примечания

^ Для простоты мы рассматриваем электроны, удерживаемые в плоскости, например 2DEG , и магнитное поле, перпендикулярное плоскости.

^ — циклотронная частота (для свободных электронов),— скорость Ферми (электронов в графене). ${\displaystyle \omega _{c}=eB/m}$ ${\displaystyle v}$

Сноски

1. Солем, JC; Биденхарн, LC (1993). «Понимание геометрических фаз в квантовой механике: элементарный пример». Основы физики . 23 (2): 185–195. Бибкод : 1993FoPh...23..185S. дои : 10.1007/BF01883623. S2CID  121930907.
2. С. Панчаратнам (1956). «Обобщенная теория интерференции и ее приложения. Часть I. Когерентные карандаши». Учеб. Индийский акад. наук. А. _ 44 (5): 247–262. дои : 10.1007/BF03046050. S2CID  118184376.
3. HC Лонге Хиггинс; У. Эпик; МХЛ Прайс; Р. А. Зак (1958). «Исследование эффекта Яна-Теллера.II. Динамическая проблема». Учеб. Р. Сок. А. _ 244 (1236): 1–16. Бибкод : 1958RSPSA.244....1L. дои : 10.1098/rspa.1958.0022. S2CID  97141844.См. стр. 12.
4. М. В. Берри (1984). «Квантовые фазовые факторы, сопровождающие адиабатические изменения». Труды Королевского общества А. 392 (1802): 45–57. Бибкод : 1984RSPSA.392...45B. дои : 10.1098/rspa.1984.0023. S2CID  46623507.
5. Г. Герцберг; ХК Лонге-Хиггинс (1963). «Пересечение поверхностей потенциальной энергии в многоатомных молекулах». Обсуждать. Фарадей Соц . 35 : 77–82. дои : 10.1039/DF9633500077.
6. Молекулярная симметрия и спектроскопия , 2-е изд. Филип Р. Банкер и Пер Дженсен, NRC Research Press, Оттава (1998) [1] ISBN 9780660196282 
7. Вильчек, Ф.; Шапере, А., ред. (1989). Геометрические фазы в физике . Сингапур: World Scientific. п. 4.
8. Йенс фон Бергманн; ХсингЧи фон Бергманн (2007). «Маятник Фуко через основы геометрии». Являюсь. Дж. Физ . 75 (10): 888–892. Бибкод : 2007AmJPh..75..888V. дои : 10.1119/1.2757623.
9. Сомервилл, WB (1972). «Описание маятника Фуко». Ежеквартальный журнал Королевского астрономического общества . 13 : 40. Бибкод :1972QJRAS..13...40S.
10. Харт, Джон Б.; Миллер, Раймонд Э.; Миллс, Роберт Л. (1987). «Простая геометрическая модель для визуализации движения маятника Фуко». Американский журнал физики . 55 (1): 67–70. Бибкод : 1987AmJPh..55...67H. дои : 10.1119/1.14972.
11. Н. А. Синицын; И. Неменман (2007). «Фаза Берри и поток накачки в стохастической химической кинетике». Письма по еврофизике . 77 (5): 58001. arXiv : q-bio/0612018 . Бибкод : 2007EL.....7758001S. дои : 10.1209/0295-5075/77/58001. S2CID  11520748.
12. CZ Ning, H. Haken (1992). «Геометрические фазовые и амплитудные накопления в диссипативных системах с циклическими аттракторами». Физ. Преподобный Летт . 68 (14): 2109–2122. Бибкод : 1992PhRvL..68.2109N. doi :10.1103/PhysRevLett.68.2109. ПМИД  10045311.
13. CZ Ning, H. Haken (1992). «Геометрическая фаза в нелинейных диссипативных системах». Мод. Физ. Летт. Б. _ 6 (25): 1541–1568. Бибкод : 1992MPLB....6.1541N. дои : 10.1142/S0217984992001265.
14. Учебное пособие см. Цзямин Сюэ: «Фаза Берри и нетрадиционный квантовый эффект Холла в графене» (2013).

Источники

• Джива Анандан; Джой Кристиан; Казимир Ванелик (1997). «Ресурсное письмо ГПП-1: геометрические фазы в физике». Являюсь. Дж. Физ . 65 (3): 180. arXiv : quant-ph/9702011 . Бибкод : 1997AmJPh..65..180A. дои : 10.1119/1.18570. S2CID  119080820.
• Кантони, В.; Мистранджиоли, Л. (1992). «Трехточечная фаза, симплектическая мера и фаза Берри». Международный журнал теоретической физики . 31 (6): 937. Бибкод : 1992IJTP...31..937C. дои : 10.1007/BF00675086. S2CID  121235416.
• Ричард Монтгомери (8 августа 2006 г.). Экскурсия по субримановой геометрии, их геодезике и приложениям. Американское математическое соц. стр. 11–. ISBN 978-0-8218-4165-5. (Математическое рассмотрение см. в главе 13.)
• Связь с другими физическими явлениями (такими как эффект Яна-Теллера ) обсуждается здесь: Геометрическая фаза Берри: обзор
• Статья профессора Гальвеза из Университета Колгейта, описывающая геометрическую фазу в оптике: применение геометрической фазы в оптике. Архивировано 24 августа 2007 г. в Wayback Machine.
• Сурья Гангули, Пучки волокон и калибровочные теории в классической физике: единое описание падающих кошек, магнитных монополей и фазы Берри
• Роберт Баттерман, «Падающие кошки», параллельная парковка и поляризованный свет
• Баер, М. (1975). «Адиабатические и диабатические представления столкновений атомов и молекул: трактовка коллинеарного расположения». Письма по химической физике . 35 (1): 112–118. Бибкод : 1975CPL....35..112B. дои : 10.1016/0009-2614(75)85599-0.
• М. Баер, Электронные неадиабатические переходы: вывод общей матрицы адиабато-диабатического преобразования, Мол. Физ. 40, 1011 (1980);
• М. Баер, Существование диабетических потенциалов и квантование неадиабатической матрицы, J. Phys. хим. А 104, 3181–3184 (2000).
• Рыб, я; Баер, Р. (2004). «Комбинаторные инварианты и коварианты как инструменты конических пересечений». Журнал химической физики . 121 (21): 10370–5. Бибкод : 2004JChPh.12110370R. дои : 10.1063/1.1808695. ПМИД  15549915.
• Вильчек, Франк ; Шапере, А. (1989). Геометрические фазы в физике. Всемирная научная. ISBN 978-9971-5-0621-6.
• Джерролд Э. Марсден; Ричард Монтгомери; Тудор С. Ратиу (1990). Редукция, симметрия и фазы в механике. Книжный магазин АМС. п. 69. ИСБН 978-0-8218-2498-6.
• К. Пизани (1994). Квантово-механический ab-initio расчет свойств кристаллических материалов (Труды IV школы вычислительной химии Итальянского химического общества под ред.). Спрингер. п. 282. ИСБН 978-3-540-61645-0.
• Л. Мангиаротти, Геннадий Александрович Сарданашвили (1998). Калибровочная механика. Всемирная научная. п. 281. ИСБН 978-981-02-3603-8.
• Карин М Рабе ; Жан-Марк Трисконе; Чарльз Ан (2007). Физика сегнетоэлектриков в современном взгляде. Спрингер. п. 43. ИСБН 978-3-540-34590-9.
• Майкл Баер (2006). За гранью рождения Оппенгеймера. Уайли. ISBN 978-0-471-77891-2.
• CZ Нин, Х. Хакен (1992). «Геометрические фазовые и амплитудные накопления в диссипативных системах с циклическими аттракторами». Физ. Преподобный Летт . 68 (14): 2109–2122. Бибкод : 1992PhRvL..68.2109N. doi :10.1103/PhysRevLett.68.2109. ПМИД  10045311.
• CZ Нин, Х. Хакен (1992). «Геометрическая фаза в нелинейных диссипативных системах». Мод. Физ. Летт. Б. _ 6 (25): 1541–1568. Бибкод : 1992MPLB....6.1541N. дои : 10.1142/S0217984992001265.

дальнейшее чтение

• Майкл В. Берри, Геометрическая фаза, Scientific American 259 (6) (1988), 26–34.

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с геометрической фазой, в Wikiquote
• «Геометрические фазы и разделение мира Майкла Берри». YouTube . Международный центр теоретических наук. 10 февраля 2020 г.