Геометрическая фаза

Фаза цикла

В классической и квантовой механике геометрическая фаза — это разность фаз , приобретаемая в течение цикла , когда система подвергается циклическим адиабатическим процессам , которая является результатом геометрических свойств пространства параметров гамильтониана . ^[1] Явление было независимо обнаружено С. Панчаратнамом ( 1956 ), ^[2] в классической оптике и Х. К. Лонге-Хиггинсом (1958) ^[3] в молекулярной физике; оно было обобщено Майклом Берри в (1984). ^[4] Оно также известно как фаза Панчаратнама–Берри , фаза Панчаратнама или фаза Берри . Его можно увидеть в коническом пересечении поверхностей потенциальной энергии ^{[3] [5]} и в эффекте Ааронова–Бома . Геометрическая фаза вокруг конического пересечения, включающая основное электронное состояние молекулярного иона C ₆ H ₃ F ₃ ^+, обсуждается на страницах 385–386 учебника Банкера и Йенсена. ^[6] В случае эффекта Ааронова–Бома адиабатическим параметром является магнитное поле, ограниченное двумя интерференционными путями, и оно циклично в том смысле, что эти два пути образуют петлю. В случае конического пересечения адиабатическими параметрами являются молекулярные координаты . Помимо квантовой механики, оно возникает во множестве других волновых систем, таких как классическая оптика . Как правило, оно может возникать всякий раз, когда есть по крайней мере два параметра, характеризующих волну в окрестности некоторой сингулярности или дыры в топологии; требуются два параметра, потому что либо набор несингулярных состояний не будет односвязным , либо будет ненулевая голономия .

Волны характеризуются амплитудой и фазой и могут изменяться в зависимости от этих параметров. Геометрическая фаза возникает, когда оба параметра изменяются одновременно, но очень медленно (адиабатически), и в конечном итоге возвращаются к исходной конфигурации. В квантовой механике это может включать вращения, а также перемещения частиц, которые, по-видимому, отменяются в конце. Можно было бы ожидать, что волны в системе вернутся в исходное состояние, характеризуемое амплитудами и фазами (и учитывающее течение времени). Однако, если отклонения параметров соответствуют петле, а не самовозвращающемуся изменению вперед и назад, то возможно, что начальное и конечное состояния различаются по своим фазам. Эта разность фаз является геометрической фазой, и ее возникновение обычно указывает на то, что зависимость параметров системы является сингулярной (ее состояние не определено) для некоторой комбинации параметров.

Для измерения геометрической фазы в волновой системе требуется интерференционный эксперимент . Маятник Фуко — это пример из классической механики , который иногда используется для иллюстрации геометрической фазы. Этот механический аналог геометрической фазы известен как угол Ханнея .

Фаза Берри в квантовой механике

В квантовой системе в n -ном собственном состоянии адиабатическая эволюция гамильтониана заставляет систему оставаться в n -ном собственном состоянии гамильтониана, одновременно получая фазовый множитель. Полученная фаза имеет вклад от временной эволюции состояния и другой от изменения собственного состояния с изменением гамильтониана. Второй член соответствует фазе Берри , и для нециклических изменений гамильтониана его можно заставить исчезнуть, выбрав другую фазу, связанную с собственными состояниями гамильтониана в каждой точке эволюции.

Однако, если изменение циклично, фазу Берри нельзя отменить; она инвариантна и становится наблюдаемым свойством системы. Рассматривая доказательство адиабатической теоремы, данное Максом Борном и Владимиром Фоком в Zeitschrift für Physik 51 , 165 (1928), мы могли бы охарактеризовать все изменение адиабатического процесса в фазовом члене. В адиабатическом приближении коэффициент n -го собственного состояния при адиабатическом процессе задается как где - фаза Берри относительно параметра t . Изменив переменную t на обобщенные параметры, мы могли бы переписать фазу Берри как где параметризует циклический адиабатический процесс. Обратите внимание, что нормализация подразумевает, что подынтегральное выражение является мнимым, так что является действительным. Оно следует замкнутому пути в соответствующем пространстве параметров. Геометрическую фазу вдоль замкнутого пути также можно вычислить путем интегрирования кривизны Берри по поверхности, ограниченной . $${\displaystyle C_{n}(t)=C_{n}(0)\exp \left[-\int _{0}^{t}\langle \psi _{n}(t')|{\dot {\psi }}_{n}(t')\rangle \,dt'\right]=C_{n}(0)e^{i\gamma _{n}(t)},}$$ ${\displaystyle \gamma _{n}(t)}$ $${\displaystyle \gamma _{n}[C]=i\oint _{C}\langle n,t|{\big (}\nabla _{R}|n,t\rangle {\big )}\,dR,}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle |n,t\rangle }$ ${\displaystyle \gamma _{n}[C]}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Примеры геометрических фаз

маятник Фуко

Один из самых простых примеров — маятник Фуко . Простое объяснение в терминах геометрических фаз дают Вильчек и Шапер: ^[7]

Как маятник прецессирует, когда его ведут по общему пути C ? При перемещении вдоль экватора маятник не будет прецессировать. [...] Теперь, если C состоит из геодезических сегментов, прецессия будет исходить из углов, где встречаются сегменты геодезических; полная прецессия равна чистому углу дефицита , который, в свою очередь, равен телесному углу, заключенному в C по модулю 2π . Наконец, мы можем аппроксимировать любую петлю последовательностью геодезических сегментов, поэтому наиболее общий результат (на поверхности сферы или за ее пределами) состоит в том, что чистая прецессия равна заключенному телесному углу.

Другими словами, нет никаких инерционных сил, которые могли бы заставить маятник прецессировать, поэтому прецессия (относительно направления движения траектории, по которой перемещается маятник) полностью обусловлена ​​поворотом этой траектории. Таким образом, ориентация маятника претерпевает параллельный перенос . Для исходного маятника Фуко траектория представляет собой круг широты , и по теореме Гаусса–Бонне фазовый сдвиг задается заключенным в нем телесным углом. ^[8]

Вывод

Параллельный перенос вектора по замкнутому контуру на сфере: угол, на который он закручивается, α , пропорционален площади внутри контура.

В почти инерциальной системе отсчета, движущейся вместе с Землей, но не разделяющей ее вращения вокруг своей оси, точка подвеса маятника описывает круговую траекторию в течение одних звездных суток.

На широте Парижа, 48 градусов 51 минута северной широты, полный цикл прецессии занимает чуть менее 32 часов, поэтому после одного звездного дня, когда Земля возвращается в ту же ориентацию, что и за один звездный день до этого, плоскость колебания поворачивается чуть более чем на 270 градусов. Если плоскость качания была направлена ​​с севера на юг в начале, то через один звездный день она становится востоком на запад.

Это также подразумевает, что произошел обмен импульсом ; Земля и маятник обменялись импульсом. Земля настолько массивнее маятника, что изменение импульса Земли незаметно. Тем не менее, поскольку плоскость качания маятника сместилась, законы сохранения подразумевают, что обмен должен был произойти.

Вместо отслеживания изменения импульса прецессия плоскости колебаний может быть эффективно описана как случай параллельного переноса . Для этого можно продемонстрировать, составив бесконечно малые вращения, что скорость прецессии пропорциональна проекции угловой скорости Земли на нормальное направление к Земле, что подразумевает, что след плоскости колебаний будет подвергаться параллельному переносу. Через 24 часа разница между начальной и конечной ориентациями следа в системе отсчета Земли составляет α = −2 π sin φ , что соответствует значению, заданному теоремой Гаусса–Бонне . α также называется голономией или геометрической фазой маятника. При анализе земных движений система отсчета Земли не является инерциальной , а вращается вокруг локальной вертикали с эффективной скоростью 2π sin φ радиан в день. Для описания угла поворота плоскости качания маятника Фуко можно использовать простой метод, использующий параллельный перенос внутри конусов, касательных к поверхности Земли. ^{[9] [10]}

С точки зрения земной системы координат (измерительный круг и наблюдатель привязаны к Земле, также если реакция местности на силу Кориолиса не воспринимается наблюдателем при его движении), используя прямоугольную систему координат с осью x , направленной на восток, и осью y , направленной на север, прецессия маятника обусловлена ​​силой Кориолиса (другие фиктивные силы, такие как сила тяжести и центробежная сила, не имеют прямой составляющей прецессии, сила Эйлера мала, поскольку скорость вращения Земли почти постоянна). Рассмотрим плоский маятник с постоянной собственной частотой ω в приближении малого угла . На груз маятника действуют две силы: восстанавливающая сила, создаваемая силой тяжести и проволокой, и сила Кориолиса (центробежной силой, противоположной восстанавливающей силе гравитации, можно пренебречь). Сила Кориолиса на широте φ горизонтальна в приближении малых углов и определяется выражением , где Ω — частота вращения Земли, F _{c , x} — составляющая силы Кориолиса в направлении x , а F _{c , y} — составляющая силы Кориолиса в направлении y . $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{c,x}&=2m\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi \\F_{c,y}&=-2m\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi \end{aligned}}}$$

Возвращающая сила в приближении малых углов и без учета центробежной силы определяется выражением $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{g,x}&=-m\omega ^{2}x\\F_{g,y}&=-m\omega ^{2}y.\end{aligned}}}$$

Графики периода прецессии и прецессии за звездные сутки в зависимости от широты. Знак меняется, когда маятник Фуко вращается против часовой стрелки в Южном полушарии и по часовой стрелке в Северном полушарии. Пример показывает, что в Париже прецессия составляет 271° за звездные сутки, что занимает 31,8 часа на один оборот.

Используя законы движения Ньютона, это приводит к системе уравнений $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}x+2\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi \\{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}y-2\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi .\end{aligned}}}$$

Переходя к комплексным координатам z = x + iy , уравнения записываются так: $${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2i\Omega {\frac {dz}{dt}}\sin \varphi +\omega ^{2}z=0\,.}$$

В первый заказ в ⁠Ω/ω⁠ это уравнение имеет решение $${\displaystyle z=e^{-i\Omega \sin \varphi t}\left(c_{1}e^{i\omega t}+c_{2}e^{-i\omega t}\right)\,.}$$

Если время измеряется в днях, то Ω = 2π и маятник поворачивается на угол −2π  sin φ за одни сутки.

Поляризованный свет в оптоволокне

Второй пример — линейно поляризованный свет, входящий в одномодовое оптическое волокно . Предположим, что волокно прокладывает некоторый путь в пространстве, и свет выходит из волокна в том же направлении, в котором он вошел. Затем сравните начальную и конечную поляризации. В полуклассическом приближении волокно функционирует как волновод , а импульс света всегда касается волокна. Поляризацию можно рассматривать как ориентацию, перпендикулярную импульсу. Когда волокно прокладывает свой путь, вектор импульса света прокладывает путь на сфере в импульсном пространстве . Путь замкнут, поскольку начальное и конечное направления света совпадают, а поляризация — это вектор, касательный к сфере. Переход в импульсное пространство эквивалентен использованию отображения Гаусса . Нет никаких сил, которые могли бы заставить поляризацию повернуть, есть только ограничение оставаться касательной к сфере. Таким образом, поляризация претерпевает параллельный перенос , а сдвиг фазы задается заключенным в нем телесным углом (умноженным на спин, который в случае света равен 1).

Эффект стохастического насоса

Стохастический насос — это классическая стохастическая система, которая реагирует ненулевыми, в среднем, токами на периодические изменения параметров. Эффект стохастического насоса можно интерпретировать в терминах геометрической фазы в эволюции функции генерации момента стохастических токов. ^[11]

Вращаться.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 ⁄ 2

Геометрическую фазу можно точно оценить для частицы со спином 1 ⁄ 2 в магнитном поле. ^[1]

Геометрическая фаза, определенная на аттракторах

^{Хотя формулировка Берри изначально была определена для линейных гамильтоновых систем, вскоре Нин и Хакен [12]} поняли , что подобная геометрическая фаза может быть определена для совершенно других систем, таких как нелинейные диссипативные системы, которые обладают определенными циклическими аттракторами. Они показали, что такие циклические аттракторы существуют в классе нелинейных диссипативных систем с определенными симметриями. ^[13] Есть несколько важных аспектов этого обобщения фазы Берри: 1) Вместо пространства параметров для исходной фазы Берри это обобщение Нина-Хакена определено в фазовом пространстве; 2) Вместо адиабатической эволюции в квантово-механической системе эволюция системы в фазовом пространстве не обязательно должна быть адиабатической. Нет никаких ограничений на временной масштаб временной эволюции; 3) Вместо эрмитовой системы или неэрмитовой системы с линейным затуханием системы могут быть в общем случае нелинейными и неэрмитовыми.

Экспозиция в пересечениях молекулярных адиабатических потенциальных поверхностей

Существует несколько способов вычисления геометрической фазы в молекулах в рамках модели Борна–Оппенгеймера . Один из способов — через «матрицу неадиабатической связи », определяемую как , где — адиабатическая электронная волновая функция, зависящая от ядерных параметров . Неадиабатическая связь может быть использована для определения интеграла петли, аналогичного петле Вильсона (1974) в теории поля, разработанной независимо для молекулярной структуры М. Бэром (1975, 1980, 2000). Если задана замкнутая петля , параметризованная как , где — параметр, и . D -матрица задается как (здесь — символ упорядочения путей). Можно показать, что как только достаточно велико (т. е. рассматривается достаточное количество электронных состояний), эта матрица становится диагональной, с диагональными элементами, равными , где — геометрические фазы, связанные с петлей для -го адиабатического электронного состояния. ${\displaystyle M\times M}$ $${\displaystyle \tau _{ij}^{\mu }=\langle \psi _{i}|\partial ^{\mu }\psi _{j}\rangle ,}$$ ${\displaystyle \psi _{i}}$ ${\displaystyle R_{\mu }}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle R_{\mu }(t),}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle R_{\mu }(t+1)=R_{\mu }(t)}$ $${\displaystyle D[\Gamma ]={\hat {P}}e^{\oint _{\Gamma }\tau ^{\mu }\,dR_{\mu }}}$$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle e^{i\beta _{j}},}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle j}$

Для симметричных электронных гамильтонианов с обращением времени геометрическая фаза отражает число конических пересечений, охватываемых петлей. Точнее, где — число конических пересечений, включающих адиабатическое состояние, охватываемое петлей $${\displaystyle e^{i\beta _{j}}=(-1)^{N_{j}},}$$ ${\displaystyle N_{j}}$ ${\displaystyle \psi _{j}}$ ${\displaystyle \Gamma .}$

Альтернативой подходу D -матрицы может быть прямое вычисление фазы Панчаратнама. Это особенно полезно, если интересуют только геометрические фазы одного адиабатического состояния. В этом подходе берется ряд точек вдоль петли с и затем, используя только j -е адиабатические состояния, вычисляется произведение Панчаратнама перекрытий: ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle (n=0,\dots ,N)}$ ${\displaystyle R(t_{n})}$ ${\displaystyle t_{0}=0}$ ${\displaystyle t_{N}=1,}$ ${\displaystyle \psi _{j}[R(t_{n})]}$ $${\displaystyle I_{j}(\Gamma ,N)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}\langle \psi _{j}[R(t_{n})]|\psi _{j}[R(t_{n+1})]\rangle .}$$

В пределе имеем (см. Ryb & Baer 2004 для объяснения и некоторых приложений) ${\displaystyle N\to \infty }$ $${\displaystyle I_{j}(\Gamma ,N)\to e^{i\beta _{j}}.}$$

Геометрическая фаза и квантование циклотронного движения

Электрон, находящийся под действием магнитного поля, движется по круговой (циклотронной) орбите. ^[2] Классически приемлем любой радиус циклотрона . Квантово-механически разрешены только дискретные уровни энергии ( уровни Ландау ), и поскольку связано с энергией электрона, это соответствует квантованным значениям . Условие квантования энергии, полученное путем решения уравнения Шредингера, имеет вид, например, для свободных электронов (в вакууме) или для электронов в графене , где . ^[3] Хотя вывод этих результатов несложный, существует альтернативный способ их вывода, который предлагает в некотором отношении лучшее физическое понимание квантования уровней Ландау. Этот альтернативный способ основан на полуклассическом условии квантования Бора-Зоммерфельда , которое включает геометрическую фазу, набранную электроном, пока он выполняет свое (реальное пространство) движение по замкнутому контуру циклотронной орбиты. ^[14] Для свободных электронов, в то время как для электронов в графене. Оказывается, геометрическая фаза напрямую связана с количеством свободных электронов и количеством электронов в графене. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},}$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\textstyle E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\quad \alpha =0}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ $${\displaystyle \hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2),}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma =0,}$ ${\displaystyle \gamma =\pi }$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle \alpha =0}$

Смотрите также

• Тензор кривизны Римана – для связи с математикой
• Соединение ягод и кривизна
• класс Черна
• Оптическое вращение
• Номер обмотки

Примечания

^ Для простоты мы рассматриваем электроны, ограниченные плоскостью, например, 2DEG , и магнитное поле, перпендикулярное плоскости.

^ — циклотронная частота (для свободных электронов),— скорость Ферми (электронов в графене). ${\displaystyle \omega _{c}=eB/m}$ ${\displaystyle v}$

Сноски

1. Solem, JC; Biedenharn, LC (1993). «Понимание геометрических фаз в квантовой механике: элементарный пример». Foundations of Physics . 23 (2): 185–195. Bibcode :1993FoPh...23..185S. ​​doi :10.1007/BF01883623. S2CID  121930907.
2. S. Pancharatnam (1956). «Обобщенная теория интерференции и ее приложения. Часть I. Когерентные карандаши». Proc. Indian Acad. Sci. A. 44 ( 5): 247–262. doi :10.1007/BF03046050. S2CID  118184376.
3. HC Longuet Higgins; U. Öpik; MHL Pryce; RA Sack (1958). "Исследования эффекта Яна-Теллера. II. Динамическая проблема". Proc. R. Soc. A. 244 ( 1236): 1–16. Bibcode :1958RSPSA.244....1L. doi :10.1098/rspa.1958.0022. S2CID  97141844.См. страницу 12
4. MV Berry (1984). «Квантовые фазовые факторы, сопровождающие адиабатические изменения». Труды Королевского общества A. 392 ( 1802): 45–57. Bibcode : 1984RSPSA.392...45B. doi : 10.1098/rspa.1984.0023. S2CID  46623507.
5. G. Herzberg; HC Longuet-Higgins (1963). «Пересечение поверхностей потенциальной энергии в многоатомных молекулах». Обсудить. Faraday Soc . 35 : 77–82. doi :10.1039/DF9633500077.
6. Молекулярная симметрия и спектроскопия , 2-е изд. Филип Р. Банкер и Пер Йенсен, NRC Research Press, Оттава (1998) [1] ISBN 9780660196282 
7. Вильчек, Ф.; Шапер, А., ред. (1989). Геометрические фазы в физике . Сингапур: World Scientific. стр. 4.
8. Йенс фон Бергманн; Син Чи фон Бергманн (2007). «Маятник Фуко через базовую геометрию». Am. J. Phys . 75 (10): 888–892. Bibcode :2007AmJPh..75..888V. doi :10.1119/1.2757623.
9. Somerville, WB (1972). «Описание маятника Фуко». Ежеквартальный журнал Королевского астрономического общества . 13 : 40. Bibcode : 1972QJRAS..13...40S.
10. Харт, Джон Б.; Миллер, Рэймонд Э.; Миллс, Роберт Л. (1987). «Простая геометрическая модель для визуализации движения маятника Фуко». American Journal of Physics . 55 (1): 67–70. Bibcode : 1987AmJPh..55...67H. doi : 10.1119/1.14972.
11. NA Sinitsyn; I. Nemenman (2007). "Фаза Берри и поток насоса в стохастической химической кинетике". Europhysics Letters . 77 (5): 58001. arXiv : q-bio/0612018 . Bibcode : 2007EL.....7758001S. doi : 10.1209/0295-5075/77/58001. S2CID  11520748.
12. C. Z. Ning, H. Haken (1992). «Геометрические фазовые и амплитудные накопления в диссипативных системах с циклическими аттракторами». Phys. Rev. Lett . 68 (14): 2109–2122. Bibcode :1992PhRvL..68.2109N. doi :10.1103/PhysRevLett.68.2109. PMID  10045311.
13. C. Z. Ning, H. Haken (1992). «Геометрическая фаза в нелинейных диссипативных системах». Mod. Phys. Lett. B . 6 (25): 1541–1568. Bibcode :1992MPLB....6.1541N. doi :10.1142/S0217984992001265.
14. Для получения учебного пособия см. Цзямин Сюэ: «Фаза Берри и нетрадиционный квантовый эффект Холла в графене» (2013).

Источники

• Джива Анандан; Джой Кристиан; Казимир Ванелик (1997). "Ресурсное письмо GPP-1: Геометрические фазы в физике". Am. J. Phys . 65 (3): 180. arXiv : quant-ph/9702011 . Bibcode : 1997AmJPh..65..180A. doi : 10.1119/1.18570. S2CID  119080820.
• Кантони, В.; Мистранджиоли, Л. (1992). «Трехточечная фаза, симплектическая мера и фаза Берри». Международный журнал теоретической физики . 31 (6): 937. Bibcode : 1992IJTP...31..937C. doi : 10.1007/BF00675086. S2CID  121235416.
• Ричард Монтгомери (8 августа 2006 г.). Экскурсия по субримановым геометриям, их геодезическим и приложениям. Американское математическое общество. стр. 11–. ISBN 978-0-8218-4165-5. (Математическое рассмотрение см. в главе 13)
• Связи с другими физическими явлениями (такими как эффект Яна-Теллера ) обсуждаются здесь: Геометрическая фаза Берри: обзор
• Статья профессора Гальвеза из Университета Колгейта, описывающая геометрическую фазу в оптике: применение геометрической фазы в оптике. Архивировано 24 августа 2007 г. на Wayback Machine.
• Сурья Гангули, Связки волокон и калибровочные теории в классической физике: Единое описание падающих кошек, магнитных монополей и фазы Берри
• Роберт Баттерман, «Падающие кошки», «Параллельная парковка» и «Поляризованный свет»
• Baer, ​​M. (1975). «Адиабатические и диабатические представления для столкновений атомов и молекул: рассмотрение коллинеарного расположения». Chemical Physics Letters . 35 (1): 112–118. Bibcode :1975CPL....35..112B. doi :10.1016/0009-2614(75)85599-0.
• М. Бэр, Электронные неадиабатические переходы: Вывод общей матрицы адиабатического-диабатического преобразования, Mol. Phys. 40, 1011 (1980);
• М. Бэр, Существование диабетических потенциалов и квантование неадиабатической матрицы, J. Phys. Chem. A 104, 3181–3184 (2000).
• Ryb, I; Baer, ​​R (2004). «Комбинаторные инварианты и коварианты как инструменты для конических пересечений». Журнал химической физики . 121 (21): 10370–5. Bibcode : 2004JChPh.12110370R. doi : 10.1063/1.1808695. PMID  15549915.
• Вильчек, Франк ; Шапер, А. (1989). Геометрические фазы в физике. World Scientific. ISBN 978-9971-5-0621-6.
• Джерролд Э. Марсден; Ричард Монтгомери; Тюдор С. Ратиу (1990). Редукция, симметрия и фазы в механике. AMS Bookstore. стр. 69. ISBN 978-0-8218-2498-6.
• C. Pisani (1994). Квантово-механический ab-initio расчет свойств кристаллических материалов (Труды IV Школы вычислительной химии Итальянского химического общества под ред.). Springer. стр. 282. ISBN 978-3-540-61645-0.
• Л. Манджиаротти, Геннадий Александрович Сарданашвили (1998). Калибровочная механика. World Scientific. стр. 281. ISBN 978-981-02-3603-8.
• Карин М. Рабе ; Жан-Марк Трисконе; Чарльз Х. Ан (2007). Физика сегнетоэлектриков: современная перспектива. Springer. стр. 43. ISBN 978-3-540-34590-9.
• Майкл Бэр (2006). Beyond Born Oppenheimer. Wiley. ISBN 978-0-471-77891-2.
• CZ Ning, H. Haken (1992). «Геометрические фазовые и амплитудные накопления в диссипативных системах с циклическими аттракторами». Phys. Rev. Lett . 68 (14): 2109–2122. Bibcode :1992PhRvL..68.2109N. doi :10.1103/PhysRevLett.68.2109. PMID  10045311.
• CZ Ning, H. Haken (1992). «Геометрическая фаза в нелинейных диссипативных системах». Mod. Phys. Lett. B . 6 (25): 1541–1568. Bibcode :1992MPLB....6.1541N. doi :10.1142/S0217984992001265.

Дальнейшее чтение

• Майкл В. Берри, Геометрическая фаза, Scientific American 259 (6) (1988), 26–34.

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с геометрической фазой в Wikiquote
• «Геометрические фазы и разделение мира Майкла Берри». YouTube . Международный центр теоретических наук. 10 февраля 2020 г.