stringtranslate.com

Q-фактор

Затухающие колебания. Низкий коэффициент добротности — здесь около 5 — означает, что колебания быстро затухают.

В физике и технике добротность или Q - фактор — это безразмерный параметр, описывающий, насколько недодемпфирован осциллятор или резонатор . Он определяется как отношение начальной энергии, запасенной в резонаторе, к энергии, потерянной за один радиан цикла колебаний. [1] Q -фактор также определяется как отношение центральной частоты резонатора к его полосе пропускания при воздействии колебательной движущей силы. Эти два определения дают численно схожие, но не идентичные результаты. [2] Более высокая Q указывает на более низкую скорость потери энергии, и колебания затухают медленнее. Маятник, подвешенный на высококачественном подшипнике, колеблющийся в воздухе, имеет высокую Q , в то время как маятник, погруженный в масло, имеет низкую. Резонаторы с высокой добротностью имеют низкое затухание , поэтому они звенят или вибрируют дольше.

Объяснение

Фактор добротности — это параметр, описывающий резонансное поведение слабозатухающего гармонического осциллятора (резонатора). Синусоидально возбуждаемые резонаторы с более высокими факторами добротности резонируют с большими амплитудами (на резонансной частоте), но имеют меньший диапазон частот вокруг той частоты, на которой они резонируют; диапазон частот, на которых резонирует генератор, называется полосой пропускания. Таким образом, настроенную схему с высокой добротностью в радиоприемнике будет сложнее настроить, но она будет иметь большую избирательность ; она будет лучше отфильтровывать сигналы от других станций, которые находятся поблизости в спектре. Генераторы с высокой добротностью колеблются с меньшим диапазоном частот и более стабильны.

Добротность генераторов существенно различается от системы к системе в зависимости от их конструкции. Системы, для которых важно демпфирование (например, демпферы, удерживающие дверь от захлопывания), имеют добротность около 12 . Часы, лазеры и другие резонирующие системы, которым требуется либо сильный резонанс, либо высокая стабильность частоты, имеют высокие добротности. Камертоны имеют добротности около 1000. Добротность атомных часов , сверхпроводящих радиочастотных резонаторов, используемых в ускорителях, и некоторых лазеров с высокой добротностью может достигать 10 11 [3] и выше. [4]

Существует много альтернативных величин, используемых физиками и инженерами для описания того, насколько затухает осциллятор. Важные примеры включают: коэффициент затухания , относительную полосу пропускания , ширину линии и полосу пропускания, измеренную в октавах .

Концепция Q возникла у К. С. Джонсона из инженерного отдела компании Western Electric Company при оценке качества катушек (индукторов). Он выбрал символ Q только потому, что в то время все остальные буквы алфавита были заняты. Термин не был задуман как сокращение от «качества» или «фактора качества», хотя эти термины стали ассоциироваться с ним. [5] [6] [7]

Определение

Определение Q с момента его первого использования в 1914 году было обобщено для применения к катушкам и конденсаторам, резонансным контурам, резонансным устройствам, резонансным линиям передачи, объемным резонаторам [5] и вышло за рамки области электроники, чтобы применяться к динамическим системам в целом: механическим и акустическим резонаторам, материальной Q и квантовым системам, таким как спектральные линии и резонансы частиц.

Определение пропускной способности

В контексте резонаторов существуют два общих определения для Q , которые не являются точно эквивалентными. Они становятся приблизительно эквивалентными по мере увеличения Q , что означает, что резонатор становится менее затухающим. Одно из этих определений — отношение частоты к полосе пропускания резонатора: [5]

где f r — резонансная частота, Δ fширина резонанса или полная ширина на уровне половины максимума (FWHM), т.е. полоса пропускания, в которой мощность вибрации больше половины мощности на резонансной частоте, ω r = 2 πf rугловая резонансная частота, а Δ ω — угловая ширина полосы пропускания на уровне половинной мощности.

Согласно этому определению, Q является величиной, обратной дробной полосе пропускания .

Определение запасенной энергии

Другое общее почти эквивалентное определение Q — это отношение энергии, запасенной в колеблющемся резонаторе, к энергии, рассеиваемой за цикл в результате процессов затухания: [8] [9] [5]

Множитель делает Q выражаемым в более простых терминах, включающих только коэффициенты дифференциального уравнения второго порядка, описывающего большинство резонансных систем, электрических или механических. В электрических системах запасенная энергия представляет собой сумму энергий, запасенных в безпотерьных индукторах и конденсаторах ; потерянная энергия представляет собой сумму энергий, рассеиваемых в резисторах за цикл. В механических системах запасенная энергия представляет собой сумму потенциальной и кинетической энергий в некоторый момент времени; потерянная энергия представляет собой работу, совершаемую внешней силой за цикл для поддержания амплитуды.

В более общем плане и в контексте спецификации реактивных компонентов (особенно индукторов) используется частотно-зависимое определение Q : [8] [10] [ проверка не удаласьсм. обсуждение ] [9]

где ωугловая частота, на которой измеряются запасенная энергия и потери мощности. Это определение согласуется с его использованием при описании цепей с одним реактивным элементом (конденсатором или индуктором), где можно показать, что оно равно отношению реактивной мощности к реальной мощности . ( См. Отдельные реактивные компоненты.)

Вфактор и затухание

Фактор Q определяет качественное поведение простых затухающих осцилляторов. (Математические подробности об этих системах и их поведении см. в гармоническом осцилляторе и линейной системе с инвариантностью во времени (LTI) .)

В системах с отрицательной обратной связью доминирующий отклик замкнутого контура часто хорошо моделируется системой второго порядка. Фазовый запас системы с разомкнутым контуром задает добротность Q замкнутой системы; по мере уменьшения фазового запаса приближенная система замкнутого контура второго порядка становится более колебательной (т. е. имеет более высокую добротность).

Некоторые примеры

Физическая интерпретация

С физической точки зрения Q приблизительно равен отношению накопленной энергии к энергии, рассеиваемой за один радиан колебания; или, что почти эквивалентно, при достаточно высоких значениях Q , 2π, умноженному на отношение общей накопленной энергии к энергии, теряемой за один цикл. [14]

Это безразмерный параметр, который сравнивает экспоненциальную постоянную времени τ для затухания амплитуды колеблющейся физической системы с ее периодом колебаний . Эквивалентно, он сравнивает частоту, с которой система колеблется, со скоростью, с которой она рассеивает свою энергию. Точнее, используемые частота и период должны основываться на собственной частоте системы, которая при низких значениях Q несколько выше частоты колебаний, измеренной путем пересечения нуля.

Эквивалентно (для больших значений Q ), фактор Q приблизительно равен числу колебаний, необходимых для того, чтобы энергия свободно колеблющейся системы упала до e −2 π , или около 1535 или 0,2% от ее первоначальной энергии. [15] Это означает, что амплитуда падает примерно до e π или 4% от ее первоначальной амплитуды. [16]

Ширина (полоса пропускания) резонанса определяется (приблизительно): где f Nсобственная частота , а Δ f — полоса пропускания , ширина диапазона частот, для которого энергия составляет по крайней мере половину своего пикового значения.

Резонансная частота часто выражается в натуральных единицах (радианы в секунду), а не с помощью f N в герцах , как

Коэффициенты Q , коэффициент затухания ζ , собственная частота ω N , скорость затухания α и экспоненциальная постоянная времени τ связаны следующим образом: [17] [ нужная страница ]

а коэффициент затухания можно выразить как:

Огибающая колебаний затухает пропорционально e αt или e t/τ , где α и τ можно выразить как:

и

Энергия колебаний, или рассеиваемая мощность, убывает вдвое быстрее, то есть как квадрат амплитуды, как e −2 αt или e −2 t/τ .

Для двухполюсного фильтра нижних частот передаточная функция фильтра равна [17]

Для этой системы, когда Q > 1/2 (т. е. когда система недостаточно затухает), она имеет двакомплексно-сопряженныхполюса, каждый из которых имеетдействительную часть−α.То есть параметр затуханияαпредставляет собой скоростьэкспоненциального затуханияколебаний (то есть выходного сигнала после импульса)в системе. Более высокий коэффициент качества подразумевает более низкую скорость затухания, и поэтому высокодобротныесистемыколеблются в течение многих циклов. Например, высококачественные колокола имеют приблизительночистый синусоидальный тонв течение длительного времени после удара молотком.

Электрические системы

График величины усиления фильтра, иллюстрирующий концепцию −3 дБ при усилении напряжения 0,707 или полосе пропускания половинной мощности. Ось частоты этой символической диаграммы может быть линейной или логарифмически масштабированной.

Для электрически резонансной системы добротность отражает эффект электрического сопротивления , а для электромеханических резонаторов, таких как кварцевые кристаллы , — эффект механического трения .

Отношения междуВи пропускная способность

Двусторонняя полоса пропускания относительно резонансной частоты F 0 (Гц) равна F 0 / Q .

Например, антенна, настроенная на значение Q 10 и центральную частоту 100 кГц, будет иметь полосу пропускания по уровню 3 дБ 10 кГц.

В аудио, полоса пропускания часто выражается в терминах октав . Тогда соотношение между Q и полосой пропускания будет

где BW — ширина полосы пропускания в октавах. [19]

RLC-цепи

В идеальной последовательной цепи RLC и в настроенном радиоприемнике (TRF) коэффициент добротности равен: [20]

где R , L и Cсопротивление , индуктивность и емкость настроенного контура соответственно. Большие последовательные сопротивления соответствуют меньшим значениям Q контура .

Для параллельной RLC-цепи добротность является обратной величиной для последовательной цепи: [21] [20]

[22]

Рассмотрим схему, в которой R , L и C соединены параллельно. Чем меньше параллельное сопротивление, тем больше оно будет оказывать демпфирующее действие на схему и, таким образом, приводить к снижению Q. Это полезно при проектировании фильтров для определения полосы пропускания.

В параллельной LC-цепи, где основные потери возникают из-за сопротивления индуктора R , последовательного с индуктивностью L , Q как в последовательной цепи. Это обычное явление для резонаторов, где ограничение сопротивления индуктора для улучшения Q и сужения полосы пропускания является желаемым результатом.

Отдельные реактивные компоненты

Добротность отдельного реактивного компонента зависит от частоты, на которой он оценивается, которая обычно является резонансной частотой схемы, в которой он используется. Добротность катушки индуктивности с последовательным сопротивлением потерь представляет собой добротность резонансной цепи, использующей эту катушку индуктивности (включая ее последовательные потери) и идеальный конденсатор. [23]

где:

Добротность конденсатора с последовательным сопротивлением потерь такая же, как добротность резонансного контура, использующего этот конденсатор с идеальной индуктивностью: [23]

где:

В общем случае добротность резонатора, включающего последовательное соединение конденсатора и катушки индуктивности, можно определить из значений добротности компонентов, независимо от того, вызваны ли их потери последовательным сопротивлением или чем-то другим: [23]

Механические системы

Для одной демпфированной системы масса-пружина фактор Q представляет собой эффект упрощенного вязкого демпфирования или сопротивления , где демпфирующая сила или сила сопротивления пропорциональна скорости. Формула для фактора Q следующая: где M — масса, k — константа пружины, а D — коэффициент демпфирования, определяемый уравнением F демпфирование = − Dv , где v — скорость. [24]

Акустические системы

Q музыкального инструмента имеет решающее значение; чрезмерно высокая Q в резонаторе не будет равномерно усиливать множественные частоты, которые производит инструмент. По этой причине струнные инструменты часто имеют корпуса сложной формы, так что они производят широкий диапазон частот довольно равномерно.

Q духового инструмента или инструмента с медной духовкой должен быть достаточно высоким, чтобы выделить одну частоту из более широкого спектра жужжания губ или трости. Напротив, вувузела сделана из гибкого пластика, и поэтому имеет очень низкую Q для духового инструмента, что придает ему грязный, хриплый тон. Инструменты из более жесткого пластика, латуни или дерева имеют более высокие значения Q. Чрезмерно высокая Q может затруднить взятие ноты. Q в инструменте может меняться в зависимости от частоты, но это может быть нежелательным.

Резонаторы Гельмгольца имеют очень высокую добротность , поскольку они предназначены для выделения очень узкого диапазона частот.

Оптические системы

В оптике добротность резонансной полости определяется по формуле: где f o — резонансная частота, E — запасенная в полости энергия, а P = − дЭ/дт — рассеиваемая мощность. Оптическая добротность равна отношению резонансной частоты к ширине полосы резонанса полости. Среднее время жизни резонансного фотона в полости пропорционально добротности полости . Если добротность полости лазера резко изменяется с низкого значения на высокое, лазер излучает импульс света, который намного интенсивнее обычного непрерывного выходного сигнала лазера. Этот метод известен как переключение добротности . Добротность имеет особое значение в плазмонике , где потери связаны с затуханием поверхностного плазмонного резонанса . [25] Хотя потери обычно считаются препятствием при разработке плазмонных устройств, это свойство можно использовать для представления новых расширенных функций. [26]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Хикман, Ян (2013). Аналоговая электроника: Объяснение аналоговых схем. Newnes. стр. 42. ISBN 9781483162287.
  2. ^ Тули, Майкл Х. (2006). Электронные схемы: основы и приложения. Newnes. стр. 77–78. ISBN 978-0-7506-6923-8. Архивировано из оригинала 2016-12-01.
  3. ^ Энциклопедия лазерной физики и техники: Q-фактор Архивировано 24.02.2009 на Wayback Machine
  4. ^ Время и частота от А до Я: от Q до Ra Архивировано 04.05.2008 на Wayback Machine
  5. ^ abcd Green, Estill I. (октябрь 1955 г.). "История Q" (PDF) . American Scientist . 43 : 584–594. Архивировано (PDF) из оригинала 2012-12-03 . Получено 2012-11-21 .
  6. ^ Б. Джеффрис, Q.Jl R. astr. Soc. (1985) 26, 51–52
  7. ^ Paschotta, Rüdiger (2008). Энциклопедия лазерной физики и технологий, том 1: AM. Wiley-VCH. стр. 580. ISBN 978-3527408283. Архивировано из оригинала 2018-05-11.
  8. ^ ab Слюсарь В.И. 60 лет теории электрически малых антенн.//Труды 6-й Международной конференции по теории и технике антенн, 17–21 сентября 2007 г., Севастополь, Украина. - С. 116 - 118. "ANTENNA THEORY AND TECHNIQUES" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 28.08.2017 . Получено 02.09.2017 .
  9. ^ ab UABakshi, AV Bakshi (2006). Сетевой анализ. Технические публикации. стр. 228. ISBN 9788189411237.
  10. ^ Джеймс В. Нильссон (1989). Электрические цепи . ISBN 0-201-17288-7.
  11. ^ Сабах, Насир Х. (2017). Анализ цепей с PSpice: упрощенный подход. CRC Press. стр. 446. ISBN 9781315402215.
  12. ^ "Near THz Gyrotron: Theory, Design, and Applications" (PDF) . Институт исследований в области электроники и прикладной физики . Мэрилендский университет . Получено 5 января 2021 г. .
  13. ^ Карри, ТС; Доуди, ДЖЕ; Мюрри, РЦ (1990). Физика диагностической радиологии Кристенсена. Липпинкотт Уильямс и Уилкинс. стр. 331. ISBN 9780812113105. Получено 22 января 2023 г. .
  14. ^ Джексон, Р. (2004). Новые датчики и зондирование. Бристоль: Институт физики. стр. 28. ISBN 0-7503-0989-X.
  15. ^ Бенджамин Кроуэлл (2006). "Свет и материя". Архивировано из оригинала 2011-05-19., Гл. 18
  16. ^ Anant., Agarwal (2005). Основы аналоговых и цифровых электронных схем . Lang, Jeffrey (Jeffrey H.). Amsterdam: Elsevier. стр. 647. ISBN 9781558607354. OCLC  60245509.
  17. ^ ab Siebert, William McC. Схемы, сигналы и системы . MIT Press.
  18. ^ "Analog Dialogue Technical Journal - Analog Devices" (PDF) . www.analog.com . Архивировано (PDF) из оригинала 2016-08-04.
  19. ^ Деннис Бон, Рэйн (январь 2008 г.). «Полоса пропускания в октавах против добротности полосовых фильтров». www.rane.com . Получено 20 ноября 2019 г.
  20. ^ ab UABakshi; AVBakshi (2008). Электрические цепи. Технические публикации. стр. 2–79. ISBN 9788184314526.[ постоянная мертвая ссылка ]
  21. ^ "Полный ответ I - Постоянный вход". fourier.eng.hmc.edu . Архивировано из оригинала 2012-01-10.
  22. ^ Частотная характеристика: резонанс, полоса пропускания, добротность. Архивировано 06.12.2014 на Wayback Machine ( PDF )
  23. ^ abc Ди Паоло, Франко (2000). Сети и устройства, использующие планарные линии передачи. CRC Press. С. 490–491. ISBN 9780849318351. Архивировано из оригинала 2018-05-11.
  24. ^ Методы экспериментальной физики – Лекция 5: Преобразования Фурье и дифференциальные уравнения Архивировано 19.03.2012 на Wayback Machine ( PDF )
  25. ^ Tavakoli, Mehdi; Jalili, Yousef Seyed; Elahi, Seyed Mohammad (2019-04-28). «Приближение аномалии Рэлея-Вуда с моделированием FDTD массива плазмонных золотых наноотверстий для определения оптимальных необычных оптических характеристик пропускания». Superlattices and Microstructures . 130 : 454–471. Bibcode :2019SuMi..130..454T. doi :10.1016/j.spmi.2019.04.035. S2CID  150365680.
  26. ^ Чен, Ганг; Махан, Джеральд; Мероуе, Лорин; Хуан, Йи; Цуримаки, Ёитиро; Тонг, Джонатан К.; Ни, Джордж; Цзэн, Линпинг; Купер, Томас Алан (31.12.2017). «Потери в плазмонике: от смягчения рассеивания энергии до внедрения функциональностей с потерями». Advances in Optics and Photonics . 9 (4): 775–827. arXiv : 1802.01469 . Bibcode : 2017AdOP....9..775B. doi : 10.1364/AOP.9.000775 . ISSN  1943-8206.

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки