Q-фактор

Параметр, характеризующий длительность существования энергии в резонаторе относительно его резонансной частоты

Затухающие колебания. Низкий коэффициент добротности — здесь около 5 — означает, что колебания быстро затухают.

В физике и технике добротность или Q - фактор — это безразмерный параметр, описывающий, насколько недодемпфирован осциллятор или резонатор . Он определяется как отношение начальной энергии, запасенной в резонаторе, к энергии, потерянной за один радиан цикла колебаний. ^[1] Q -фактор также определяется как отношение центральной частоты резонатора к его полосе пропускания при воздействии колебательной движущей силы. Эти два определения дают численно схожие, но не идентичные результаты. ^[2] Более высокая Q указывает на более низкую скорость потери энергии, и колебания затухают медленнее. Маятник, подвешенный на высококачественном подшипнике, колеблющийся в воздухе, имеет высокую Q , в то время как маятник, погруженный в масло, имеет низкую. Резонаторы с высокой добротностью имеют низкое затухание , поэтому они звенят или вибрируют дольше.

Объяснение

Фактор добротности — это параметр, описывающий резонансное поведение слабозатухающего гармонического осциллятора (резонатора). Синусоидально возбуждаемые резонаторы с более высокими факторами добротности резонируют с большими амплитудами (на резонансной частоте), но имеют меньший диапазон частот вокруг той частоты, на которой они резонируют; диапазон частот, на которых резонирует генератор, называется полосой пропускания. Таким образом, высокодобротную настроенную схему в радиоприемнике будет сложнее настроить, но она будет иметь большую избирательность ; она будет лучше отфильтровывать сигналы от других станций, которые находятся поблизости в спектре. Высокодобротные генераторы колеблются с меньшим диапазоном частот и более стабильны.

Добротность генераторов существенно различается от системы к системе в зависимости от их конструкции. Системы, для которых важно демпфирование (например, демпферы, удерживающие дверь от захлопывания), имеют добротность около 1 ⁄ 2 . Часы, лазеры и другие резонирующие системы, которым требуется либо сильный резонанс, либо высокая стабильность частоты, имеют высокие добротности. Камертоны имеют добротности около 1000. Добротность атомных часов , сверхпроводящих радиочастотных резонаторов, используемых в ускорителях, и некоторых лазеров с высокой добротностью может достигать 10 ^{11 [3]} и выше. ^[4]

Существует много альтернативных величин, используемых физиками и инженерами для описания того, насколько затухает осциллятор. Важные примеры включают: коэффициент затухания , относительную полосу пропускания , ширину линии и полосу пропускания, измеренную в октавах .

Концепция Q возникла у К. С. Джонсона из инженерного отдела компании Western Electric Company при оценке качества катушек (индукторов). Он выбрал символ Q только потому, что в то время все остальные буквы алфавита были заняты. Термин не был задуман как сокращение от «качества» или «фактора качества», хотя эти термины стали ассоциироваться с ним. ^{[5] [6] [7]}

Определение

Определение Q с момента его первого использования в 1914 году было обобщено для применения к катушкам и конденсаторам, резонансным контурам, резонансным устройствам, резонансным линиям передачи, объемным резонаторам ^[5] и вышло за рамки области электроники, чтобы применяться к динамическим системам в целом: механическим и акустическим резонаторам, материальной Q и квантовым системам, таким как спектральные линии и резонансы частиц.

Определение пропускной способности

В контексте резонаторов существуют два общих определения для Q , которые не являются точно эквивалентными. Они становятся приблизительно эквивалентными по мере увеличения Q , что означает, что резонатор становится менее затухающим. Одно из этих определений — отношение частоты к полосе пропускания резонатора: ^[5]

$${\displaystyle Q\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\frac {f_{\mathrm {r} }}{\Delta f}}={\frac {\omega _{\mathrm {r} }}{\Delta \omega }},}$$

где f _r — резонансная частота, Δ f — ширина резонанса или полная ширина на уровне половины максимума (FWHM), т.е. полоса пропускания, в которой мощность вибрации больше половины мощности на резонансной частоте, ω _r = 2 πf _r — угловая резонансная частота, а Δ ω — угловая ширина полосы пропускания на уровне половинной мощности.

Согласно этому определению, Q является величиной, обратной дробной полосе пропускания .

Определение запасенной энергии

Другое общее почти эквивалентное определение Q — это отношение энергии, запасенной в колеблющемся резонаторе, к энергии, рассеиваемой за цикл в результате процессов затухания: ^{[8] [9] [5]}

$${\displaystyle Q\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} 2\pi \times {\frac {\text{energy stored}}{\text{energy dissipated per cycle}}}=2\pi f_{\mathrm {r} }\times {\frac {\text{energy stored}}{\text{power loss}}}.}$$

Множитель 2π делает Q выражаемым в более простых терминах, включающих только коэффициенты дифференциального уравнения второго порядка, описывающего большинство резонансных систем, электрических или механических. В электрических системах запасенная энергия представляет собой сумму энергий, запасенных в безпотерьных индукторах и конденсаторах ; потерянная энергия представляет собой сумму энергий, рассеиваемых в резисторах за цикл. В механических системах запасенная энергия представляет собой сумму потенциальной и кинетической энергий в некоторый момент времени; потерянная энергия представляет собой работу, совершаемую внешней силой за цикл для поддержания амплитуды.

В более общем плане и в контексте спецификации реактивных компонентов (особенно индукторов) используется частотно-зависимое определение Q : ^{[8] [10] [ проверка не удалась – см. обсуждение ] [9]}

$${\displaystyle Q(\omega )=\omega \times {\frac {\text{maximum energy stored}}{\text{power loss}}},}$$

где ω — угловая частота, на которой измеряются запасенная энергия и потери мощности. Это определение согласуется с его использованием при описании цепей с одним реактивным элементом (конденсатором или индуктором), где можно показать, что оно равно отношению реактивной мощности к реальной мощности . ( См. Отдельные реактивные компоненты.)

Вфактор и затухание

Фактор Q определяет качественное поведение простых затухающих осцилляторов. (Математические подробности об этих системах и их поведении см. в гармоническом осцилляторе и линейной системе с инвариантностью во времени (LTI) .)

• Система с низким коэффициентом качества ( Q < ⁠1/2⁠ ) ​​называется сверхдемпфированным . Такая система вообще не колеблется, но при смещении от своего равновесного стационарного выходного сигнала она возвращается к нему путемэкспоненциального затухания, приближаясь к значению стационарного состоянияасимптотически. Она имеетимпульсную характеристику, которая является суммой двухзатухающих экспоненциальных функцийс разными скоростями затухания. По мере уменьшения добротности более медленная мода затухания становится сильнее по сравнению с более быстрой модой и доминирует в реакции системы, что приводит к более медленной системе.Фильтр нижних частотс очень низким добротностью имеет реакцию на скачок, близкую к реакции первого порядка; выходной сигнал системы реагирует наступенчатыйвходной сигнал, медленно поднимаясь касимптоте.
• Система с высоким коэффициентом качества ( Q > ⁠1/2⁠ ) ​​называется недодемпфированным . Недодемпфированные системы сочетают колебания на определенной частоте с затуханием амплитуды сигнала. Недодемпфированные системы с низким коэффициентом качества (немного выше Q = ⁠1/2⁠ ) ​​может колебаться только один или несколько раз, прежде чем затихнуть. По мере увеличения добротности относительное количество затухания уменьшается. Высококачественный колокол звонит одним чистым тоном в течение очень долгого времени после удара. Чисто колебательная система, такая как колокол, который звонит вечно, имеет бесконечную добротность. В более общем смысле выходной сигналфильтра нижних частотс очень высокой добротностью реагирует на ступенчатый входной сигнал, быстро поднимаясь выше, колеблясь вокруг и в конечном итоге сходясь к установившемуся значению.
• Система с промежуточным коэффициентом качества ( Q = ⁠1/2⁠ ) ​​называется критически затухающим . Как и в случае сверхзатухающей системы, выход не колеблется и не превышает своего установившегося выходного сигнала (т. е. приближается к асимптоте установившегося состояния). Как и в случае недостаточно затухающего отклика, выходной сигнал такой системы быстро реагирует на единичный шаг входного сигнала. Критическое затухание приводит к максимально быстрому отклику (приближению к конечному значению) без перерегулирования. Реальные характеристики системы обычно допускают некоторое перерегулирование для более быстрого начального отклика или требуют более медленного начального отклика, чтобы обеспечить запаспрочностипротив перерегулирования.

В системах с отрицательной обратной связью доминирующий отклик замкнутого контура часто хорошо моделируется системой второго порядка. Фазовый запас системы с разомкнутым контуром задает добротность Q замкнутой системы; по мере уменьшения фазового запаса приближенная система замкнутого контура второго порядка становится более колебательной (т. е. имеет более высокую добротность).

Некоторые примеры

• Топология фильтра нижних частот Саллена-Ки с единичным усилением , равными конденсаторами и равными резисторами критически затухает (т. е. Q = ⁠1/2⁠ ).
• Фильтр Бесселя второго порядка (т.е. непрерывный фильтр с максимально плоской групповой задержкой ) имеет недодемпфированное Q = ⁠1/√ 3⁠ .
• Фильтр Баттерворта второго порядка (т. е. фильтр непрерывного действия с наиболее плоской частотной характеристикой полосы пропускания) имеет недодемпфированную Q = ⁠1/√ 2⁠ .^[11]
• Добротность маятника равна: Q = Mω / Γ , где M — масса груза, ω = 2 π / T — радианная частота колебаний маятника, а Γ — сила трения, действующая на маятник на единицу скорости.
• Конструкция высокоэнергетического (околотерагерцового ) гиротрона учитывает как дифракционную добротность как функцию длины резонатора L , длины волны λ , так и омическую добротность ( TE _m,p –моды). ${\textstyle Q_{D}\approx 30\left({\frac {L}{\lambda }}\right)^{2}}$

  $${\displaystyle Q_{\Omega }={\frac {R_{\mathrm {w} }}{\delta }}{\frac {1-m^{2}}{v_{m,p}^{2}}},}$$

  где R _w — радиус стенки полости, δ — глубина скин-слоя стенки полости, v _m,p — скаляр собственного значения ( m — азимутальный индекс, p — радиальный индекс; в данном случае глубина скин-слоя равна ) ^[12] ${\textstyle \delta ={1}/{\sqrt {\pi f\sigma u_{o}}}}$
• В медицинской ультрасонографии датчик с высоким Q -фактором подходит для допплеровской ультрасонографии из-за его длительного времени звона вниз, где он может измерять скорости кровотока. Между тем, датчик с низким Q -фактором имеет короткое время звона вниз и подходит для визуализации органов, поскольку он может получать широкий спектр отраженных эхо-сигналов от органов тела. ^[13]

Физическая интерпретация

С физической точки зрения Q приблизительно равен отношению накопленной энергии к энергии, рассеиваемой за один радиан колебания; или, что почти эквивалентно, при достаточно высоких значениях Q , 2π, умноженному на отношение общей накопленной энергии к энергии, теряемой за один цикл. ^[14]

Это безразмерный параметр, который сравнивает экспоненциальную постоянную времени τ для затухания амплитуды колеблющейся физической системы с ее периодом колебаний . Эквивалентно, он сравнивает частоту, с которой система колеблется, со скоростью, с которой она рассеивает свою энергию. Точнее, используемые частота и период должны основываться на собственной частоте системы, которая при низких значениях Q несколько выше частоты колебаний, измеренной путем пересечения нуля.

Эквивалентно (для больших значений Q ), фактор Q приблизительно равен числу колебаний, необходимых для того, чтобы энергия свободно колеблющейся системы упала до e ^{−2 π} , или около 1 ⁄ 535 или 0,2% от ее первоначальной энергии. ^[15] Это означает, что амплитуда падает примерно до e ^{− π} или 4% от ее первоначальной амплитуды. ^[16]

Ширина (полоса пропускания) резонанса определяется (приблизительно): где f _N — собственная частота , а Δ f — полоса пропускания , ширина диапазона частот, для которого энергия составляет по крайней мере половину своего пикового значения. $${\displaystyle \Delta f={\frac {f_{\mathrm {N} }}{Q}},\,}$$

Резонансная частота часто выражается в натуральных единицах (радианы в секунду), а не с помощью f _N в герцах , как $${\displaystyle \omega _{\mathrm {N} }=2\pi f_{\mathrm {N} }.}$$

Коэффициенты Q , коэффициент затухания ζ , собственная частота ω _N , скорость затухания α и экспоненциальная постоянная времени τ связаны следующим образом: ^{[17] [ нужная страница ]}

$${\displaystyle Q={\frac {1}{2\zeta }}={\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{2\alpha }}={\frac {\tau \omega _{\mathrm {N} }}{2}},}$$

а коэффициент затухания можно выразить как:

$${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{\mathrm {N} }}={1 \over \tau \omega _{\mathrm {N} }}.}$$

Огибающая колебаний затухает пропорционально e ^{− αt} или e ^{− t/τ} , где α и τ можно выразить как:

$${\displaystyle \alpha ={\omega _{\mathrm {N} } \over 2Q}=\zeta \omega _{\mathrm {N} }={1 \over \tau }}$$и $${\displaystyle \tau ={2Q \over \omega _{\mathrm {N} }}={1 \over \zeta \omega _{\mathrm {N} }}={\frac {1}{\alpha }}.}$$

Энергия колебаний, или рассеиваемая мощность, убывает вдвое быстрее, то есть как квадрат амплитуды, как e ^{−2 αt} или e ^{−2 t/τ} .

Для двухполюсного фильтра нижних частот передаточная функция фильтра равна ^[17]

$${\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{\mathrm {N} }^{2}}{s^{2}+\underbrace {\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{Q}} _{2\zeta \omega _{\mathrm {N} }=2\alpha }s+\omega _{\mathrm {N} }^{2}}}\,}$$

Для этой системы, когда Q > ⁠1/2⁠ (т. е. когда система недостаточно затухает), она имеет двакомплексно-сопряженныхполюса, каждый из которых имеетдействительную часть−α.То есть параметр затуханияαпредставляет собой скоростьэкспоненциального затуханияколебаний (то есть выходного сигнала после импульса)в системе. Более высокий коэффициент качества подразумевает более низкую скорость затухания, и поэтому высокодобротныесистемыколеблются в течение многих циклов. Например, высококачественные колокола имеют приблизительночистый синусоидальный тонв течение длительного времени после удара молотком.

Электрические системы

График величины усиления фильтра, иллюстрирующий концепцию −3 дБ при усилении напряжения 0,707 или полосе пропускания половинной мощности. Ось частоты этой символической диаграммы может быть линейной или логарифмически масштабированной.

Для электрически резонансной системы добротность отражает эффект электрического сопротивления , а для электромеханических резонаторов, таких как кварцевые кристаллы , — механического трения .

Отношения междуВи пропускная способность

Двусторонняя полоса пропускания относительно резонансной частоты F ₀ (Гц) равна F ₀ / Q .

Например, антенна, настроенная на значение Q 10 и центральную частоту 100 кГц, будет иметь полосу пропускания по уровню 3 дБ 10 кГц.

В аудио, полоса пропускания часто выражается в терминах октав . Тогда соотношение между Q и полосой пропускания будет

$${\displaystyle Q={\frac {2^{\frac {BW}{2}}}{2^{BW}-1}}={\frac {1}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}\ln(2)BW\right)}},}$$где BW — ширина полосы пропускания в октавах. ^[19]

RLC-цепи

В идеальной последовательной цепи RLC и в настроенном радиоприемнике (TRF) коэффициент добротности равен: ^[20]

$${\displaystyle Q={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {\omega _{0}L}{R}}={\frac {1}{\omega _{0}RC}}}$$

где R , L и C — сопротивление , индуктивность и емкость настроенного контура соответственно. Большие последовательные сопротивления соответствуют меньшим значениям Q контура .

Для параллельной RLC-цепи добротность является обратной величиной для последовательной цепи: ^{[21] [20]}

$${\displaystyle Q=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}={\frac {R}{\omega _{0}L}}=\omega _{0}RC}$$^[22]

Рассмотрим схему, в которой R , L и C соединены параллельно. Чем меньше параллельное сопротивление, тем больше оно будет оказывать демпфирующее действие на схему и, таким образом, приводить к снижению Q. Это полезно при проектировании фильтров для определения полосы пропускания.

В параллельной LC-цепи, где основные потери возникают из-за сопротивления индуктора R , последовательного с индуктивностью L , Q как в последовательной цепи. Это обычное явление для резонаторов, где ограничение сопротивления индуктора для улучшения Q и сужения полосы пропускания является желаемым результатом.

Отдельные реактивные компоненты

Добротность отдельного реактивного компонента зависит от частоты, на которой он оценивается, которая обычно является резонансной частотой схемы, в которой он используется. Добротность катушки индуктивности с последовательным сопротивлением потерь представляет собой добротность резонансной цепи, использующей эту катушку индуктивности (включая ее последовательные потери) и идеальный конденсатор. ^[23]

$${\displaystyle Q_{L}={\frac {X_{L}}{R_{L}}}={\frac {\omega _{0}L}{R_{L}}}}$$

где:

• ω ₀ — резонансная частота в радианах в секунду;
• L — индуктивность;
• X _L — индуктивное сопротивление ; и
• R _L — последовательное сопротивление катушки индуктивности.

Добротность конденсатора с последовательным сопротивлением потерь такая же, как добротность резонансного контура, использующего этот конденсатор с идеальной индуктивностью: ^[23]

$${\displaystyle Q_{C}={\frac {-X_{C}}{R_{C}}}={\frac {1}{\omega _{0}CR_{C}}}}$$

где:

• ω ₀ — резонансная частота в радианах в секунду;
• С — емкость;
• X _C — емкостное сопротивление ; и
• R _C — последовательное сопротивление конденсатора.

В общем случае добротность резонатора, включающего последовательное соединение конденсатора и катушки индуктивности, можно определить из значений добротности компонентов, независимо от того, вызваны ли их потери последовательным сопротивлением или чем-то другим: ^[23]

${\displaystyle Q={\frac {1}{{\frac {1}{Q_{L}}}+{\frac {1}{Q_{C}}}}}}$

Механические системы

Для одной демпфированной системы масса-пружина фактор Q представляет собой эффект упрощенного вязкого демпфирования или сопротивления , где демпфирующая сила или сила сопротивления пропорциональна скорости. Формула для фактора Q следующая: где M — масса, k — константа пружины, а D — коэффициент демпфирования, определяемый уравнением F _{демпфирование} = − Dv , где v — скорость. ^[24] $${\displaystyle Q={\frac {\sqrt {Mk}}{D}},\,}$$

Акустические системы

Q музыкального инструмента имеет решающее значение; чрезмерно высокая Q в резонаторе не будет равномерно усиливать множественные частоты, которые производит инструмент. По этой причине струнные инструменты часто имеют корпуса сложной формы, так что они производят широкий диапазон частот довольно равномерно.

Добротность духового инструмента или инструмента с медной духовкой должна быть достаточно высокой, чтобы выделить одну частоту из более широкого спектра жужжания губ или трости. Напротив, вувузела сделана из гибкого пластика, и поэтому имеет очень низкую добротность для духового инструмента, что придает ей грязный, хриплый тон. Инструменты из более жесткого пластика, латуни или дерева имеют более высокие значения добротности . Чрезмерно высокая добротность может затруднить взятие ноты. Добротность инструмента может меняться в зависимости от частоты, но это может быть нежелательным.

Резонаторы Гельмгольца имеют очень высокую добротность , поскольку они предназначены для выделения очень узкого диапазона частот.

Оптические системы

В оптике добротность резонансной полости определяется по формуле: где f _o — резонансная частота, E — запасенная в полости энергия, а P = − ⁠ $${\displaystyle Q={\frac {2\pi f_{o}\,E}{P}},\,}$$дЭ/дт⁠ — рассеиваемая мощность. Оптическая добротность равна отношению резонансной частоты к ширине полосы резонанса полости. Среднее время жизни резонансного фотона в полости пропорционально добротности полости . Если добротность полости лазера резко изменяется с низкого значения на высокое, лазер излучает импульс света, который намного интенсивнее обычного непрерывного выходного сигнала лазера. Этот метод известен как переключение добротности . Добротность имеет особое значение в плазмонике , где потери связаны с затуханием поверхностного плазмонного резонанса . ^[25] Хотя потери обычно считаются препятствием при разработке плазмонных устройств, это свойство можно использовать для представления новых расширенных функций. ^[26]

Смотрите также

• Акустический резонанс
• Затухание
• Предел Чу-Харрингтона
• Список пьезоэлектрических материалов
• Запас по фазе
• Q-метр
• Q-множитель
• Коэффициент рассеяния

Ссылки

1. Хикман, Ян (2013). Аналоговая электроника: Объяснение аналоговых схем. Newnes. стр. 42. ISBN 9781483162287.
2. Тули, Майкл Х. (2006). Электронные схемы: основы и приложения. Newnes. стр. 77–78. ISBN 978-0-7506-6923-8. Архивировано из оригинала 2016-12-01.
3. Энциклопедия лазерной физики и техники: Q-фактор Архивировано 24.02.2009 на Wayback Machine
4. Время и частота от А до Я: от Q до Ra Архивировано 04.05.2008 на Wayback Machine
5. Green, Estill I. (октябрь 1955 г.). "История Q" (PDF) . American Scientist . 43 : 584–594. Архивировано (PDF) из оригинала 2012-12-03 . Получено 2012-11-21 .
6. Б. Джеффрис, Q.Jl R. astr. Soc. (1985) 26, 51–52
7. Paschotta, Rüdiger (2008). Энциклопедия лазерной физики и технологий, том 1: AM. Wiley-VCH. стр. 580. ISBN 978-3527408283. Архивировано из оригинала 2018-05-11.
8. Слюсарь В.И. 60 лет теории электрически малых антенн.//Труды 6-й Международной конференции по теории и технике антенн, 17–21 сентября 2007 г., Севастополь, Украина. - С. 116 - 118. "ANTENNA THEORY AND TECHNIQUES" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 28.08.2017 . Получено 02.09.2017 .
9. UABakshi, AV Bakshi (2006). Сетевой анализ. Технические публикации. стр. 228. ISBN 9788189411237.
10. Джеймс В. Нильссон (1989). Электрические цепи . ISBN 0-201-17288-7.
11. Сабах, Насир Х. (2017). Анализ цепей с PSpice: упрощенный подход. CRC Press. стр. 446. ISBN 9781315402215.
12. "Near THz Gyrotron: Theory, Design, and Applications" (PDF) . Институт исследований в области электроники и прикладной физики . Мэрилендский университет . Получено 5 января 2021 г. .
13. Карри, ТС; Доуди, ДЖЕ; Мюрри, РЦ (1990). Физика диагностической радиологии Кристенсена. Липпинкотт Уильямс и Уилкинс. стр. 331. ISBN 9780812113105. Получено 22 января 2023 г. .
14. Джексон, Р. (2004). Новые датчики и зондирование. Бристоль: Институт физики. стр. 28. ISBN 0-7503-0989-X.
15. Бенджамин Кроуэлл (2006). "Свет и материя". Архивировано из оригинала 2011-05-19., Гл. 18
16. Anant., Agarwal (2005). Основы аналоговых и цифровых электронных схем . Lang, Jeffrey (Jeffrey H.). Amsterdam: Elsevier. стр. 647. ISBN 9781558607354. OCLC  60245509.
17. Siebert, William McC. Схемы, сигналы и системы . MIT Press.
18. "Analog Dialogue Technical Journal - Analog Devices" (PDF) . www.analog.com . Архивировано (PDF) из оригинала 2016-08-04.
19. Деннис Бон, Рэйн (январь 2008 г.). «Полоса пропускания в октавах против добротности полосовых фильтров». www.rane.com . Получено 20 ноября 2019 г.
20. UABakshi; AVBakshi (2008). Электрические цепи. Технические публикации. стр. 2–79. ISBN 9788184314526.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
21. "Полный ответ I - Постоянный вход". fourier.eng.hmc.edu . Архивировано из оригинала 2012-01-10.
22. Частотная характеристика: резонанс, полоса пропускания, добротность. Архивировано 06.12.2014 на Wayback Machine ( PDF )
23. Ди Паоло, Франко (2000). Сети и устройства, использующие планарные линии передачи. CRC Press. С. 490–491. ISBN 9780849318351. Архивировано из оригинала 2018-05-11.
24. Методы экспериментальной физики – Лекция 5: Преобразования Фурье и дифференциальные уравнения Архивировано 19.03.2012 на Wayback Machine ( PDF )
25. Tavakoli, Mehdi; Jalili, Yousef Seyed; Elahi, Seyed Mohammad (2019-04-28). «Приближение аномалии Рэлея-Вуда с моделированием FDTD массива плазмонных золотых наноотверстий для определения оптимальных необычных оптических характеристик пропускания». Superlattices and Microstructures . 130 : 454–471. Bibcode :2019SuMi..130..454T. doi :10.1016/j.spmi.2019.04.035. S2CID  150365680.
26. Чен, Ганг; Махан, Джеральд; Мероуе, Лорин; Хуан, Йи; Цуримаки, Ёитиро; Тонг, Джонатан К.; Ни, Джордж; Цзэн, Линпинг; Купер, Томас Алан (31.12.2017). «Потери в плазмонике: от смягчения рассеивания энергии до внедрения функциональностей с потерями». Advances in Optics and Photonics . 9 (4): 775–827. arXiv : 1802.01469 . Bibcode : 2017AdOP....9..775B. doi : 10.1364/AOP.9.000775 . ISSN  1943-8206.

Дальнейшее чтение

• Агарвал, Анант ; Ланг, Джеффри (2005). Основы аналоговых и цифровых электронных схем. Морган Кауфманн. ISBN 1-55860-735-8.

Внешние ссылки

• Расчет частот среза при заданной центральной частоте и добротности
• Объяснение добротности в схемах настройки радиоприемников