Падающие и растущие факториалы

Математические функции

В математике падающий факториал (иногда называемый нисходящим факториалом , ^[1] падающим последовательным произведением или нижним факториалом ) определяется как многочлен

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}=x^{\underline {n}}&=\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).\end{aligned}}}$$

Возрастающий факториал (иногда называемый функцией Поххаммера , полиномом Поххаммера , возрастающим факториалом , ^[1] возрастающим последовательным произведением или верхним факториалом ) определяется как

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{(n)}=x^{\overline {n}}&=\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).\end{aligned}}}$$

Значение каждого принимается равным 1 ( пустой продукт ), когда n = 0 . Эти символы вместе называются факториальными степенями . ^[2]

Символ Поххаммера , введенный Лео Августом Поххаммером , представляет собой обозначение ( x ) _n , где n — неотрицательное целое число . Он может представлять собой либо возрастающий, либо падающий факториал, причем разные статьи и авторы используют разные соглашения. Сам Поххаммер фактически использовал ( x ) _n еще в одном значении, а именно для обозначения биномиального коэффициента ^[3] ${\displaystyle {\tbinom {x}{n}}.}$

В этой статье символ ( x ) _n используется для обозначения падающего факториала, а символ x ^{( n ) —} для возрастающего факториала. Эти соглашения используются в комбинаторике ^[4] , хотя подчеркивающие и подчеркивающие обозначения Кнута становятся все более популярными. ^{[2] [5]} В теории специальных функций (в частности, гипергеометрической функции ) и в стандартной справочной работе Абрамовица и Стегуна символ Поххаммера ( x ) _n используется для обозначения возрастающего факториала. ^{[6] [7]} ${\displaystyle x^{\underline {n}}}$ ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$

Когда x является положительным целым числом, ( x ) _n дает количество n -перестановок (последовательностей различных элементов) из набора x -элементов или, что то же самое, количество инъективных функций из набора размера n в набор размера  x . . Возрастающий факториал x ^{( n )} дает количество разбиений набора n -элементов на x упорядоченные последовательности (возможно, пустые). ^[а]

Примеры и комбинаторная интерпретация

Первые несколько падающих факториалов таковы:

$${\displaystyle {\begin{array}{rll}(x)_{0}&&=1\\(x)_{1}&&=x\\(x)_{2}&=x(x-1)&=x^{2}-x\\(x)_{3}&=x(x-1)(x-2)&=x^{3}-3x^{2}+2x\\(x)_{4}&=x(x-1)(x-2)(x-3)&=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\end{array}}}$$

$${\displaystyle {\begin{array}{rll}x^{(0)}&&=1\\x^{(1)}&&=x\\x^{(2)}&=x(x+1)&=x^{2}+x\\x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&=x^{3}+3x^{2}+2x\\x^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\end{array}}}$$

числа Стирлинга первого рода

Когда переменная x является целым положительным числом, число ( x ) _n равно количеству n -перестановок из набора x элементов , то есть количеству способов выбора упорядоченного списка длины n , состоящего из различных элементов. взято из коллекции размера x . Например, (8) ₃ = 8 × 7 × 6 = 336 — это количество различных подиумов — присвоений золотых, серебряных и бронзовых медалей — возможных в гонке из восьми человек. В этом контексте также иногда используются другие обозначения, такие как _x P _n , ^x P _n , P _n ^x или P ( x , n ) . С другой стороны, x ^{( n )} — это «количество способов расположить n флагов на x флагштоках», ^[8] , где должны использоваться все флаги, и каждый флагшток может иметь любое количество флагов. Эквивалентно, это количество способов разделить набор размера n (флаги) на x различимых частей (полюсов) с линейным порядком элементов, присвоенных каждой части (порядок флагов на данном полюсе). .

Характеристики

Возрастающие и падающие факториалы просто связаны друг с другом:

$${\displaystyle {\begin{array}{rll}{(x)}_{n}&={(x-n+1)}^{(n)}&=(-1)^{n}(-x)^{(n)},\\x^{(n)}&={(x+n-1)}_{n}&=(-1)^{n}(-x)_{n}.\end{array}}}$$

Падающие и возрастающие факториалы целых чисел напрямую связаны с обычным факториалом :

$${\displaystyle {\begin{aligned}n!&=1^{(n)}=(n)_{n},\\[6pt](m)_{n}&={\frac {m!}{(m-n)!}},\\[6pt]m^{(n)}&={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}.\end{aligned}}}$$

Возрастающие факториалы полуцелых чисел напрямую связаны с двойным факториалом :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},\quad \left[{\frac {2m+1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2(n+m)-1)!!}{2^{n}(2m-1)!!}}.\end{aligned}}}$$

Падающие и возрастающие факториалы можно использовать для выражения биномиального коэффициента :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(x)_{n}}{n!}}&={\binom {x}{n}},\\[6pt]{\frac {x^{(n)}}{n!}}&={\binom {x+n-1}{n}}.\end{aligned}}}$$

Таким образом, многие тождества биномиальных коэффициентов переносятся на падающие и возрастающие факториалы.

Восходящие и нисходящие факториалы четко определены в любом кольце с единицей , и поэтому в качестве x можно взять, например, комплексное число , включая отрицательные целые числа, или многочлен с комплексными коэффициентами, или любую комплексную функцию .

Падающий факториал можно расширить до реальных значений x с помощью гамма-функции при условии, что x и x + n являются действительными числами, которые не являются отрицательными целыми числами:

$${\displaystyle (x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\ ,}$$

$${\displaystyle x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\ .}$$

Падающие факториалы появляются при многократном дифференцировании простых степенных функций:

$${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}x^{a}=(a)_{n}\cdot x^{a-n}.}$$

Возрастающий факториал также является неотъемлемой частью определения гипергеометрической функции : Гипергеометрическая функция определена для | г | < 1 в степенном ряду

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}$$

c ≠ 0, −1, −2, ... .( a ) _n

Коэффициенты связи и тождества

Падающие и растущие факториалы тесно связаны с числами Стирлинга . Действительно, при разложении произведения появляются числа Стирлинга первого рода.

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{k}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}\\\end{aligned}}}$$

А для обратных соотношений используются числа Стирлинга второго рода.

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(x)_{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{(k)}.\end{aligned}}}$$

Падающие и возрастающие факториалы связаны друг с другом числами Лаха ${\textstyle L(n,k)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}}$ : ^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)x^{(k)}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-1)^{n-k}(x)_{k}\end{aligned}}}$$

Поскольку падающие факториалы являются основой кольца многочленов , произведение двух из них можно выразить как линейную комбинацию падающих факториалов: ^[10]

$${\displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}}k!\cdot (x)_{m+n-k}\ .}$$

Коэффициенты называются коэффициентами связи и имеют комбинаторную интерпретацию как количество способов идентифицировать (или «склеить») k элементов каждый из набора размера m и набора размера n . ${\displaystyle {\tbinom {m}{k}}{\tbinom {n}{k}}k!}$

Существует также формула связи для отношения двух возрастающих факториалов, определяемая как

$${\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(n-i)},\quad {\text{for }}n\geq i.}$$

Кроме того, мы можем расширить обобщенные законы экспоненты и отрицательные возрастающие и нисходящие степени с помощью следующих тождеств: ^{[11] (стр. 52)}

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}=(x)_{n}(x-n)_{m}\\[6pt]x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}=x^{(n)}(x+n)^{(m)}\\[6pt]x^{(-n)}&={\frac {\Gamma (x-n)}{\Gamma (x)}}={\frac {(x-n-1)!}{(x-1)!}}={\frac {1}{(x-n)^{(n)}}}={\frac {1}{(x-1)_{n}}}={\frac {1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n)}}=(-n)!{\binom {x-n-1}{-n}}\\[6pt](x)_{-n}&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+n-1)}}={\frac {x!}{(x+n)!}}={\frac {1}{(x+n)_{n}}}={\frac {1}{(x+1)^{(n)}}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}=(-n)!{\binom {x}{-n}}.\end{aligned}}}$$

Наконец, формулы дублирования и умножения падающих и возрастающих факториалов дают следующие соотношения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{k+mn}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x-k-j}{m}}\right)_{n}\,,&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt]x^{(k+mn)}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+k+j}{m}}\right)^{(n)},&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt](ax+b)^{(n)}&=x^{n}\prod _{j=0}^{n-1}\left(a+{\frac {b+j}{x}}\right),&{\text{for }}x&\in \mathbb {Z} ^{+}\\[6pt](2x)^{(2n)}&=2^{2n}x^{(n)}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{(n)}.\end{aligned}}}$$

Связь с теневым исчислением

Падающий факториал встречается в формуле, которая представляет многочлены с помощью оператора прямой разности и формально аналогична теореме Тейлора : ${\displaystyle \Delta f(x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x{+}1)-f(x),}$

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{n}f(0)}{n!}}(x)_{n}.}$$

В этой формуле и во многих других местах падающий факториал ( x ) _n ^в исчислении конечных разностей играет роль xn в дифференциальном исчислении. Обратите внимание, например, на сходство Δ ( x ) _n = n ( x ) _{n −1} с д/д х Икс ^{п знак} равно пх ^{п -1} .

Аналогичный результат справедлив для возрастающего факториала и оператора обратной разности.

Изучение аналогий такого типа известно как теневое исчисление . Общую теорию, охватывающую такие отношения, включая падающие и возрастающие факториальные функции, дает теория полиномиальных последовательностей биномиального типа и последовательностей Шеффера . Падающие и возрастающие факториалы представляют собой последовательности Шеффера биномиального типа, что показывают соотношения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)_{n-j}(b)_{j}\\[6pt](a+b)^{(n)}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)^{(n-j)}(b)^{(j)}\end{aligned}}}$$

где коэффициенты те же, что и в биномиальной теореме .

Точно так же производящая функция полиномов Поххаммера тогда равна теневой экспоненте:

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\left(1+t\right)^{x},}$$

с

$${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{x}\left(1+t\right)^{x}=t\cdot \left(1+t\right)^{x}.}$$

Альтернативные обозначения

Альтернативное обозначение возрастающего факториала

$${\displaystyle x^{\overline {m}}\equiv (x)_{+m}\equiv (x)_{m}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$

и для падающего факториала

$${\displaystyle x^{\underline {m}}\equiv (x)_{-m}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$

восходит к А. Капелли (1893) и Л. Тоскано (1939) соответственно. ^[2] Грэм, Кнут и Паташник ^{[11] (стр. 47, 48)} предлагают произносить эти выражения как « x к m, поднимающемуся» и « x к m падающему», соответственно.

_Другие обозначения падающего _{факториала включают} P ( x , n ) , ^xPn _, Px _, n , Pnx или xPn _.^​_​​ (См. перестановку и комбинацию .)

Альтернативное обозначение возрастающего факториала x ^{( n )} является менее распространенным ( x )⁺
_н . Когда ( х )⁺
_ниспользуется для обозначения возрастающего факториала, обозначение ( x )⁻
_побычно используется для обычного падающего факториала, чтобы избежать путаницы. ^[3]

Обобщения

Символ Поххаммера имеет обобщенную версию, называемую обобщенным символом Поххаммера , используемую в многомерном анализе . Существует также q -аналог , q- символ Похгаммера .

^{Обобщение} падающего факториала, в котором функция вычисляется по убывающей арифметической последовательности целых чисел и значения ^{умножаются :}

$${\displaystyle {\bigl [}f(x){\bigr ]}^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f{\bigl (}x-(k-1)h{\bigr )},}$$

где − h — декремент, а k — количество факторов. Соответствующее обобщение восходящего факториала имеет вид

$${\displaystyle {\bigl [}f(x){\bigr ]}^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f{\bigl (}x+(k-1)h{\bigr )}.}$$

Это обозначение объединяет возрастающие и падающие факториалы, которые равны [ x ] ^{k /+1} и [ x ] ^{k /−1} соответственно.

Для любой фиксированной арифметической функции и символьных параметров x , t соответствующие обобщенные факториальные произведения вида ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$

$${\displaystyle (x)_{n,f,t}:=\prod _{k=0}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)}$$

может быть изучено с точки зрения классов обобщенных чисел Стирлинга первого рода , определяемых следующими коэффициентами при степенях x в разложениях ( x ) _{n , f , t} , а затем следующим соответствующим треугольным рекуррентным соотношением :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=\left[x^{k-1}\right](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}$$

Эти коэффициенты удовлетворяют ряду свойств, аналогичных свойствам чисел Стирлинга первого рода, а также рекуррентным соотношениям и функциональным уравнениям, связанным с f -гармоническими числами, ^[12]

$${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}{\frac {t^{k}}{f(k)^{r}}}\,.}$$

Симметричное обобщение можно определить как

$${\displaystyle x^{\underline {\overline {m}}}\equiv {\frac {x^{\overline {m}}x^{\underline {m}}}{x}}=x^{{\overline {m}}+{\underline {m}}-1}.}$$

Смотрите также

• Поххаммер к -символ
• Личность Вандермонда

Рекомендации

1. Здесь части различны; например, когда x = n = 2 , (2) ⁽²⁾ = 6 разделов равны , , , , , и , где − обозначает пустую часть. ${\displaystyle (12,-)}$ ${\displaystyle (21,-)}$ ${\displaystyle (1,2)}$ ${\displaystyle (2,1)}$ ${\displaystyle (-,12)}$ ${\displaystyle (-,21)}$

1. Стеффенсен, JF (17 марта 2006 г.). Интерполяция (2-е изд.). Дуврские публикации. п. 8. ISBN 0-486-45009-0.- Перепечатка издания 1950 года издательством Chelsea Publishing.
2. Кнут, DE Искусство компьютерного программирования . Том. 1 (3-е изд.). п. 50.
3. Кнут, DE (1992). «Две заметки об обозначениях». Американский математический ежемесячник . 99 (5): 403–422. arXiv : математика/9205211 . дои : 10.2307/2325085. JSTOR  2325085. S2CID  119584305.Замечание о символе Поххаммера находится на странице 414.
4. Олвер, П.Дж. (1999). Классическая теория инвариантов . Издательство Кембриджского университета. п. 101. ИСБН 0-521-55821-2. МР  1694364.
5. Харрис; Херст; Моссингхофф (2008). Комбинаторика и теория графов . Спрингер. гл. 2. ISBN 978-0-387-79710-6.
6. Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А., ред. (декабрь 1972 г.) [июнь 1964 г.]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Национального бюро стандартов по прикладной математике . Том. 55. Вашингтон, округ Колумбия: Министерство торговли США . п. 256 экв. 6.1.22. LCCN  64-60036.
7. Слейтер, Люси Дж. (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Издательство Кембриджского университета. Приложение I. МР  0201688.— Дает полезный список формул для управления возрастающим факториалом в обозначениях ( x ) _n .
8. Феллер, Уильям. Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Том. 1. Ч. 2.
9. «Введение в факториалы и биномы». Сайт функций Wolfram .
10. Росас, Мерседес Х. (2002). «Специализации симметричных функций Мак-Магона и алгебра полиномов». Дискретная математика . 246 (1–3): 285–293. дои : 10.1016/S0012-365X(01)00263-1. hdl : 11441/41678 .
11. Грэм, Рональд Л .; Кнут, Дональд Э. и Паташник, Орен (1988). Конкретная математика . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. стр. 47, 48, 52. ISBN. 0-201-14236-8.
12. Шмидт, Макси Д. (29 марта 2017 г.). «Комбинаторные тождества для обобщенных чисел Стирлинга, расширяющих f -факториальные функции и f -гармонические числа». arXiv : 1611.04708v2 [math.CO].

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Символ Поххаммера». Математический мир .
• «Сборник математических демонстраций». scribd.com . Архивировано из оригинала 14 февраля 2016 г.— Элементарные доказательства