Факторион

В теории чисел факторион в данной системе счисления — это натуральное число , равное сумме факториалов своих цифр . [ ^{1] [2] [3]} Название факторион было придумано автором Клиффордом А. Пиковером . ^[4 ] ${\displaystyle b}$

Определение

Пусть будет натуральным числом. Для основания , мы определяем сумму факториалов цифр ^{[5] [6]} числа , , как следующее: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!.}$

где - количество цифр в числе в системе счисления с основанием , - факториал и ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}n\rfloor +1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}}$

- значение th цифры числа. Натуральное число является - множителем , если оно является неподвижной точкой для , т.е. если . ^[7] и являются неподвижными точками для всех оснований , и, таким образом, являются тривиальными множителями для всех , а все остальные множители являются нетривиальными множителями . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n)=n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

Например, число 145 в системе счисления base является множителем, потому что . ${\displaystyle b=10}$ ${\displaystyle 145=1!+4!+5!}$

Для сумма факториалов цифр — это просто количество цифр в представлении с основанием 2, поскольку . ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0!=1!=1}$

Натуральное число является общительным множителем, если оно является периодической точкой для , где для положительного целого числа , и образует цикл периода . Факторион является общительным множителем с , а дружественный множитель является общительным множителем с . ^{[8] [9]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}^{k}(n)=n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k=2}$

Все натуральные числа являются предпериодическими точками для , независимо от основания. Это происходит потому, что все натуральные числа с основанием с цифрами удовлетворяют . Однако, когда , то для , поэтому любое будет удовлетворять до тех пор, пока . Существует конечное число натуральных чисел, меньших , поэтому число гарантированно достигнет периодической точки или фиксированной точки, меньшей , что делает его предпериодической точкой. Для , количество цифр для любого числа, еще раз, что делает его предпериодической точкой. Это также означает, что существует конечное число множителей и циклов для любого заданного основания . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq (b-1)!(k)}$ ${\displaystyle k\geq b}$ ${\displaystyle b^{k-1}>(b-1)!(k)}$ ${\displaystyle b>2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>\operatorname {SFD} _{b}(n)}$ ${\displaystyle n<b^{b}}$ ${\displaystyle b^{b}}$ ${\displaystyle b^{b}}$ ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle b}$

Число итераций, необходимых для достижения фиксированной точки, называется постоянством функции и не определено, если функция никогда не достигает фиксированной точки. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}^{i}(n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ ${\displaystyle n}$

Факторионы дляЮФО б

б= (к− 1)!

Пусть — положительное целое число и основание системы счисления . Тогда: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b=(k-1)!}$

• ${\displaystyle n_{1}=kb+1}$является множителем для для всех ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ ${\displaystyle k.}$

Доказательство

Пусть цифры будут , и Тогда ${\displaystyle n_{1}=d_{1}b+d_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}=k}$ ${\displaystyle d_{0}=1.}$

${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n_{1})=d_{1}!+d_{0}!}$

${\displaystyle =k!+1!}$

${\displaystyle =k(k-1)!+1}$

${\displaystyle =d_{1}b+d_{0}}$

${\displaystyle =n_{1}}$

Таким образом, это множитель для для всех . ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle n_{2}=kb+2}$является множителем для для всех . ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ ${\displaystyle k}$

Доказательство

Пусть цифры будут , и . Тогда ${\displaystyle n_{2}=d_{1}b+d_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}=k}$ ${\displaystyle d_{0}=2}$

${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n_{2})=d_{1}!+d_{0}!}$

${\displaystyle =k!+2!}$

${\displaystyle =k(k-1)!+2}$

${\displaystyle =d_{1}b+d_{0}}$

${\displaystyle =n_{2}}$

Таким образом, это множитель для для всех . ${\displaystyle n_{2}}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle k}$

б=к! −к+ 1

Пусть — положительное целое число и основание системы счисления . Тогда: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b=k!-k+1}$

• ${\displaystyle n_{1}=b+k}$является множителем для для всех . ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ ${\displaystyle k}$

Доказательство

Пусть цифры будут , и . Тогда ${\displaystyle n_{1}=d_{1}b+d_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}=1}$ ${\displaystyle d_{0}=k}$

${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n_{1})=d_{1}!+d_{0}!}$

${\displaystyle =1!+k!}$

${\displaystyle =k!+1-k+k}$

${\displaystyle =1(k!-k+1)+k}$

${\displaystyle =d_{1}b+d_{0}}$

${\displaystyle =n_{1}}$

Таким образом, это множитель для для всех . ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle k}$

Таблица множителей и цикловЮФО б

Все числа представлены в базе . ${\displaystyle b}$

Смотрите также

• Арифметическая динамика
• Число Дьюдени
• Счастливое число
• постоянная Капрекара
• Число Капрекара
• Число Меертенса
• Нарциссическое число
• Совершенный инвариант от цифры к цифре
• Совершенный цифровой инвариант
• Сумма-произведение числа

Ссылки

1. Слоан, Нил, "A014080", Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей
2. Гарднер, Мартин (1978), «Факториальные странности», Математическое магическое шоу: больше головоломок, игр, развлечений, иллюзий и других математических ловкостей ума, Vintage Books, стр. 61 и 64, ISBN 9780394726236
3. Мадачи, Джозеф С. (1979), «Математические развлечения Мадачи», Dover Publications, стр. 167, ISBN 9780486237626
4. Пиковер, Клиффорд А. (1995), «Одиночество Факторионов», Ключи к Бесконечности, John Wiley & Sons, стр. 169–171 и 319–320, ISBN 9780471193340– через Google Книги
5. Гупта, Шьям С. (2004), «Сумма факториалов цифр целых чисел», The Mathematical Gazette , 88 (512), The Mathematical Association: 258–261, doi : 10.1017/S0025557200174996 , JSTOR  3620841, S2CID  125854033
6. Слоан, Нил, "A061602", Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей
7. Эбботт, Стив (2004), «Цепи SFD и циклы факторионов», The Mathematical Gazette , 88 (512), The Mathematical Association: 261–263, doi : 10.1017/S002555720017500X, JSTOR  3620842, S2CID  99976100
8. Sloane, Neil, "A214285", Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей
9. Sloane, Neil, "A254499", Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей
10. Слоан, Нил, "A193163", Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей

Внешние ссылки

• Факторион в Wolfram MathWorld