Расстояние — это числовое, а иногда и качественное измерение того, насколько далеко друг от друга находятся объекты или точки. В физике или в повседневном использовании расстояние может относиться к физической длине или оценке, основанной на других критериях (например, «на два округа больше»). Поскольку пространственное познание является богатым источником концептуальных метафор в человеческом мышлении, [1] этот термин также часто используется метафорически для обозначения измерения величины различия между двумя похожими объектами (например, статистическое расстояние между распределениями вероятностей или расстояние редактирования между строками) . текста ) или степень разделения (на примере расстояния между людьми в социальной сети ). Большинство таких понятий расстояния, как физического, так и метафорического, формализуются в математике с использованием понятия метрического пространства .
В социальных науках расстояние может относиться к качественному измерению разделения, например, к социальной дистанции или психологической дистанции .
Расстояние между физическими местоположениями может определяться по-разному в разных контекстах.
Расстояние между двумя точками физического пространства — это длина прямой линии между ними, которая является кратчайшим возможным путем. Это обычное значение расстояния в классической физике , включая механику Ньютона .
Расстояние по прямой математически формализуется как евклидово расстояние в двух- и трехмерном пространстве . В евклидовой геометрии часто обозначается расстояние между двумя точками А и В. В координатной геометрии евклидово расстояние вычисляется с использованием теоремы Пифагора . Расстояние между точками ( x 1 , y 1 ) и ( x 2 , y 2 ) на плоскости определяется выражением: [2] [3]
Существует множество способов измерения расстояний по прямой. Например, это можно сделать напрямую с помощью линейки или косвенно с помощью радара (для больших расстояний) или интерферометрии (для очень коротких расстояний). Космическая лестница расстояний — это набор способов измерения чрезвычайно больших расстояний.
Расстояние по прямой между двумя точками на поверхности Земли не очень полезно для большинства целей, поскольку мы не можем проложить туннель прямо через мантию Земли . Вместо этого обычно измеряют кратчайший путь вдоль поверхности Земли по прямой линии . Математически это аппроксимируется расстоянием по большому кругу на сфере.
В более общем смысле, кратчайший путь между двумя точками вдоль искривленной поверхности известен как геодезическая . Длина дуги геодезических позволяет измерить расстояние с точки зрения муравья или другого нелетающего существа, живущего на этой поверхности.
В теории относительности из-за таких явлений, как сокращение длины и относительность одновременности , расстояния между объектами зависят от выбора инерциальной системы отсчета . В галактическом и более крупных масштабах на измерение расстояний также влияет расширение Вселенной . На практике для количественной оценки таких расстояний в космологии используется ряд мер расстояний .
Необычные определения расстояния могут быть полезны для моделирования определенных физических ситуаций, но также используются в теоретической математике:
Многие абстрактные понятия расстояния, используемые в математике, науке и технике, представляют собой степень различия или разделения между похожими объектами. На этой странице приведено несколько примеров.
В статистике и информационной геометрии статистические расстояния измеряют степень различия между двумя распределениями вероятностей . Существует много видов статистических расстояний, обычно формализованных как дивергенции ; они позволяют понимать набор вероятностных распределений как геометрический объект, называемый статистическим многообразием . Самым элементарным является квадрат евклидова расстояния , который минимизируется методом наименьших квадратов ; это самое основное расхождение Брегмана . Наиболее важным в теории информации является относительная энтропия ( дивергенция Кульбака–Лейблера ), которая позволяет аналогично геометрически исследовать оценку максимального правдоподобия ; это пример как f -дивергенции , так и дивергенции Брегмана (и фактически единственный пример, который является обоими). Статистические многообразия, соответствующие расходимости Брегмана, являются плоскими многообразиями в соответствующей геометрии, что позволяет использовать аналог теоремы Пифагора (которая справедлива для квадрата евклидова расстояния) для линейных обратных задач при выводе по теории оптимизации .
Другие важные статистические расстояния включают расстояние Махаланобиса и энергетическое расстояние .
В информатике расстояние редактирования или строковая метрика между двумя строками измеряет, насколько они различаются. Например, слова «собака» и «точка», отличающиеся всего на одну букву, ближе, чем «собака» и «кот», у которых нет общих букв. Эта идея используется в средствах проверки орфографии и в теории кодирования и математически формализуется множеством различных способов, включая расстояние Левенштейна , расстояние Хэмминга , расстояние Ли и расстояние Яро-Винклера .
В графе расстояние между двумя вершинами измеряется длиной кратчайшего ребра между ними. Например, если граф представляет собой социальную сеть , то идею шести степеней разделения можно математически интерпретировать как утверждение, что расстояние между любыми двумя вершинами не превышает шести. Точно так же число Эрдеша и число Бэкона (количество отношений сотрудничества, удаленных от человека от выдающегося математика Пола Эрдеша и актера Кевина Бэкона соответственно) — это расстояния на графиках, ребра которых представляют собой математическое или художественное сотрудничество.
В психологии , географии и социальных науках расстояние часто рассматривается не как объективное числовое измерение, а как качественное описание субъективного опыта. [4] Например, психологическая дистанция — это «различные способы, которыми объект может быть удален от» самого себя по таким измерениям, как «время, пространство, социальная дистанция и гипотетика». [5] В социологии социальная дистанция описывает разделение между отдельными людьми или социальными группами в обществе по таким параметрам , как социальный класс , раса / этническая принадлежность , пол или сексуальность .
Большинство понятий расстояния между двумя точками или объектами, описанными выше, являются примерами математической идеи метрики . Метрика или функция расстояния — это функция d , которая преобразует пары точек или объектов в действительные числа и удовлетворяет следующим правилам:
В виде исключения многие из расхождений , используемых в статистике, не являются показателями.
Существует несколько способов измерения физического расстояния между объектами, состоящими более чем из одной точки :
Слово « расстояние» также используется для обозначения связанных понятий, которые не охватываются описанием «числового измерения расстояния между точками или объектами».
Расстояние, пройденное объектом, — это длина определенного пути, пройденного между двумя точками, [6] например, расстояние, пройденное при навигации по лабиринту . Это может быть даже замкнутое расстояние по замкнутой кривой , которая начинается и заканчивается в одной и той же точке, например, мяч, брошенный вертикально вверх, или Земля, когда она завершает один оборот . Математически это формализуется как длина дуги кривой.
Пройденное расстояние также можно обозначить знаком : расстояние «вперед» является положительным, расстояние «назад» — отрицательным.
Круговое расстояние — это расстояние, пройденное точкой на окружности колеса , которое может быть полезно учитывать при проектировании транспортных средств или механических передач (см. также одометрию ). Окружность колеса равна 2π × радиус ; если радиус равен 1, каждый оборот колеса заставляет транспортное средство проезжать 2π радиан.
Смещение в классической физике измеряет изменение положения объекта за определенный промежуток времени . В то время как расстояние является скалярной величиной или величиной , смещение представляет собой векторную величину, имеющую как величину, так и направление . В общем, вектор, измеряющий разницу между двумя местоположениями (относительное положение ), иногда называют направленным расстоянием . [7] Например, прямое расстояние от флагштока Главной библиотеки Нью-Йорка до флагштока Статуи Свободы составляет:
scipy.spatial.distance)