Порядок действий

Порядок выполнения математических операций

В математике и компьютерном программировании порядок операций представляет собой набор правил, которые отражают соглашения о том, какие операции следует выполнить в первую очередь, чтобы вычислить данное математическое выражение .

Эти правила формализованы с помощью ранжирования операторов. Ранг оператора называется его приоритетом , и операция с более высоким приоритетом выполняется раньше операций с более низким приоритетом. Калькуляторы обычно выполняют операции с одинаковым приоритетом слева направо, ^[1] но некоторые языки программирования и калькуляторы используют другие соглашения.

Например, умножению предоставляется более высокий приоритет, чем сложению, и так было с момента введения современной алгебраической записи . ^{[2] [3]} Таким образом, в выражении 1 + 2 × 3 умножение производится перед сложением, и выражение имеет значение 1 + (2 × 3) = 7 , а не (1 + 2) × 3 = 9 . Когда в XVI и XVII веках были введены показатели степени, им был отдан приоритет над сложением и умножением, и они помещались в виде верхнего индекса справа от их основания. ^[2] Таким образом, 3 + 5 ² = 28 и 3 × 5 ² = 75 .

Эти соглашения существуют, чтобы избежать двусмысленности обозначений , позволяя при этом обозначениям оставаться краткими. ^[4] Если необходимо отменить соглашения о приоритете или даже просто подчеркнуть их, можно использовать круглые скобки ( ). Например, (2 + 3) × 4 = 20 заставляет сложение предшествовать умножению, а (3 + 5) ² = 64 заставляет сложение предшествовать возведению в степень . Если в математическом выражении требуется несколько пар круглых скобок (например, в случае вложенных круглых скобок), круглые скобки можно заменить квадратными или фигурными скобками , чтобы избежать путаницы, как в [2 × (3 + 4)] − 5 = 9. .

Эти правила имеют смысл только тогда, когда используется обычная нотация (называемая инфиксной нотацией ). Когда для всех операций используется функциональная или польская нотация , порядок операций определяется самой нотацией.

Интернет-мемы иногда представляют собой двусмысленные инфиксные выражения, которые вызывают споры и увеличивают веб-трафик. ^{[5] [6]} Большинство этих неоднозначных выражений включают смешанное деление и умножение, где нет общего согласия относительно порядка операций.

Определение

Порядок операций, то есть порядок, в котором обычно выполняются операции в выражении, является результатом соглашения, принятого в математике, науке, технике и во многих языках компьютерного программирования . Вкратце это выглядит так: ^{[2] [7] [8]}

1. Круглые скобки
2. Возведение в степень
3. Умножение и деление
4. Сложение и вычитание

Это означает, что для вычисления выражения сначала вычисляется любое подвыражение внутри круглых скобок, работая изнутри наружу, если имеется более одного набора. Независимо от того, внутри скобок или нет, первым должен применяться оператор, стоящий выше в приведенном выше списке.

Коммутативные и ассоциативные законы сложения и умножения позволяют складывать члены в любом порядке и умножать множители в любом порядке, но смешанные операции подчиняются стандартному порядку операций.

В некоторых контекстах полезно заменить деление умножением на обратное (мультипликативное обратное) и вычитание сложением противоположного (аддитивное обратное). Например, в компьютерной алгебре это позволяет обрабатывать меньше бинарных операций и упрощает использование коммутативности и ассоциативности при упрощении больших выражений (подробнее см. Компьютерная алгебра § Упрощение ). Таким образом, 3 ÷ 4 = 3 ×1/4; другими словами, частное 3 и 4 равно произведению 3 и1/4. Также 3 − 4 = 3 + (−4) ; другими словами, разница 3 и 4 равна сумме 3 и -4. Таким образом, 1 − 3 + 7 можно рассматривать как сумму 1 + (−3) + 7 , и три слагаемых можно складывать в любом порядке, во всех случаях давая в результате 5.

Корневой символ √ традиционно продолжается чертой (называемой винкулом ) над подкоренным выражением (это позволяет избежать необходимости заключать круглые скобки вокруг подкоренного выражения). Другие функции используют круглые скобки вокруг входных данных, чтобы избежать двусмысленности. ^{[9] [10] [a]} Круглые скобки можно опустить, если входные данные представляют собой одну числовую переменную или константу, ^[2] как в случае sin x = sin( x ) и sin π = sin(π) . ^[a] Другое соглашение о сокращении, которое иногда используется, — это когда входные данные являются мономиальными ; таким образом, sin 3 x = sin(3 x ) , а не (sin(3))  x , но sin x + y = sin( x ) + y , поскольку x + y не является мономом. Однако это неоднозначно и не всегда понимается вне конкретных контекстов. ^[b] Некоторые калькуляторы и языки программирования требуют скобок вокруг входных функций, некоторые — нет.

Символы группировки можно использовать для отмены обычного порядка операций. ^[2] Сгруппированные символы можно рассматривать как одно выражение. ^[2] Символы группировки можно удалить, используя ассоциативные и дистрибутивные законы, а также их можно удалить, если выражение внутри символа группировки достаточно упрощено, поэтому их удаление не приводит к возникновению двусмысленности.

Примеры

Умножение перед сложением:

${\displaystyle 1+2\times 3=1+6=7.}$

Подвыражения в скобках оцениваются первыми:

${\displaystyle (1+2)\times 3=3\times 3=9.}$

Возведение в степень перед умножением, умножение перед вычитанием:

${\displaystyle 1-2\times 3^{4}=1-2\times 81=1-162=-161.}$

Когда выражение записано в виде верхнего индекса, верхний индекс считается сгруппированным по его положению над основанием:

${\displaystyle 1+2^{3+4}=1+2^{7}=1+128=129,}$в то время как, например, в программе Python , его значение равно .1 + 2 ** 3 + 4 ${\displaystyle 1+8+4=13}$

Операнд корневого символа определяется верхней чертой:

${\displaystyle {\sqrt {1+3}}+5={\sqrt {4}}+5=2+5=7.}$

Горизонтальная дробная черта также выступает символом группировки:

${\displaystyle {\frac {1+2}{3+4}}+5={\frac {3}{7}}+5.}$

Для удобства чтения вместе с круглыми скобками ( ) иногда используются другие символы группировки, такие как фигурные скобки { } или квадратные скобки [ ] . Например:

${\displaystyle ([1+2]\div [3+4])+5=(3\div 7)+5}$

Мнемоника

Мнемотехника часто используется, чтобы помочь учащимся запомнить правила, включающие первые буквы слов, обозначающие различные действия. ^{[11] [12] [13]}

• Аббревиатура PEMDAS распространена в США ^[14] и Франции. ^[15] Это означает скобки , показатели степени, умножение / деление , сложение / вычитание . ^[16] В школах PEMDAS часто расширяют до мнемонического выражения « Пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли ». ^[17]
• БЕДМАС , что означает « скобки», «экспоненты », «деление / умножение », «сложение / вычитание », распространено в Канаде и Новой Зеландии. ^[18]
• Другие страны, такие как Великобритания, ^[18] могут использовать БОДМАС , означающее скобки , операции , деление / умножение , сложение / вычитание . Иногда О расширяется как «Из» ^[c] или «Порядок» (т.е. степени/показатели или корни). ^{[19] [20] [21]}
• Также используется BIDMAS , обозначающий скобки , индексы , деление / умножение , сложение / вычитание . ^[22]
• В Германии конвенцию просто преподают как Punktrechnung vor Strichrechnung .

При таком написании эта мнемоника может вводить в заблуждение. ^{[23] [17]} Например, неправильное толкование любого из приведенных выше правил как означающее «сначала сложение, потом вычитание» приведет к неправильной оценке выражения ^[17] как , тогда как правильная оценка будет . Эти значения различны, когда . ${\displaystyle a-b+c}$ ${\displaystyle a-(b+c)}$ ${\displaystyle (a-b)+c}$ ${\displaystyle c\neq 0}$

6÷2(1+2) интерпретируется как 6÷(2×(1+2)) калькулятором fx-82MS (верхний), а (6÷2)×(1+2) калькулятором TI -83 Plus. (нижний) соответственно.

«Сложение/вычитание» в мнемонике следует интерпретировать так, что вычитание представляет собой сложение противоположного, тогда как выражение a ÷ b × c неоднозначно и может быть прочитано несколькими способами, поскольку отличается от того, когда Дополнительные неясности, вызванные использованием умножения путем сопоставления и использования косой черты для обозначения деления обсуждаются ниже. В общем, самый верный способ избежать двусмысленности — использовать круглые скобки. ${\displaystyle (a\div b)\times c}$ ${\displaystyle a\div (b\times c)}$ ${\displaystyle c\neq \pm 1.}$

Особые случаи

Последовательное возведение в степень

Если возведение в степень обозначается сложенными символами с использованием надстрочной нотации, обычное правило - работать сверху вниз: ^{[2] [10] [24]}

а ^{б c} знак равно а ^{( б c )}

который обычно не равен ( a ^b ) ^c . Это соглашение полезно, поскольку существует свойство возведения в степень , которое ( a ^b ) ^c = a ^bc , поэтому нет необходимости использовать для этого последовательное возведение в степень.

Однако при использовании операторных обозначений с помощью курсора (^) или стрелки (↑) не существует общего стандарта. ^[25] Например, Microsoft Excel и язык вычислительного программирования MATLAB оценивают как ( a ^b ) ^c , а Google Search и Wolfram Alpha — как a ^{( b c )} . Таким образом, оно оценивается в 4096 в первом случае и в 262144 во втором.a^b^c4^3^2

Унарный знак минус

Существуют разные соглашения относительно унарного оператора — (обычно читается «минус»). В письменной или печатной математике выражение −3 ² интерпретируется как −(3 ² ) = −9 . ^{[2] [26]}

В некоторых приложениях и языках программирования, особенно в Microsoft Excel , PlanMaker (и других приложениях для работы с электронными таблицами) и языке программирования bc , унарные операторы имеют более высокий приоритет, чем бинарные операторы, то есть унарный минус имеет более высокий приоритет, чем возведение в степень, поэтому в этих языках −3 ² будет интерпретироваться как (−3) ² = 9 . ^[27] Это не относится к бинарному оператору минус −; например, в Microsoft Excel =−2^2, пока формулы =-(2)^2и =0+−2^2возвращают 4, формулы =0−2^2и =−(2^2)возвращают −4.

Смешанное деление и умножение

В некоторой академической литературе умножение, обозначаемое сопоставлением (также известное как подразумеваемое умножение ), интерпретируется как имеющее более высокий приоритет, чем деление, так что 1 ÷ 2 n равно 1 ÷ (2 n ) , а не (1 ÷ 2) n . ^[2] Например, в инструкциях по подаче рукописей для журналов Physical Review говорится, что умножение имеет более высокий приоритет, чем деление, ^[28] и это также соглашение, наблюдаемое в известных учебниках по физике, таких как « Курс теоретической физики» Ландау и Лифшица . и Фейнмановские лекции по физике . ^[д]

Эта двусмысленность часто используется в интернет-мемах , таких как « 8÷2(2+2) », для которого существуют две противоречивые интерпретации: 8÷[2(2+2)] = 1 и [8÷2](2+ 2) = 16. ^[29] Выражение «6÷2(1+2)» также получило известность точно таким же образом: две интерпретации привели к ответам 1 и 9. ^[30]

Неоднозначность также может быть вызвана использованием косой черты «/» для разделения. В инструкциях по подаче физической экспертизы предлагается избегать выражений формы a/b/c; двусмысленности можно избежать, написав вместо этого (a/b)/c или a/(b/c). ^[28]

Калькуляторы

Разные калькуляторы выполняют разные порядки операций. ^[2] Многие простые калькуляторы без стека реализуют цепочку ввода , работая слева направо без какого-либо приоритета, отдаваемого различным операторам, дают результат, отличный от того, который дают более сложные калькуляторы. Например, на простом калькуляторе ввод 1 + 2 × 3 =дает 9, а более сложный калькулятор будет использовать более стандартный приоритет, поэтому ввод 1 + 2 × 3 =дает 7.

Программа Microsoft Calculator использует первый в своем стандартном представлении, а второй в своем научном и программном представлениях.

Цепной вход ожидает два операнда и оператор. При нажатии следующего оператора выражение немедленно вычисляется, и ответ становится левой рукой следующего оператора. Расширенные калькуляторы позволяют вводить все выражение, сгруппированное по мере необходимости, и вычисляют его только тогда, когда пользователь использует знак равенства.

Калькуляторы могут ассоциировать показатели степени слева или справа. Например, выражение интерпретируется как a ^{( b c )} на TI-92 и TI-30XS MultiView в «режиме Mathprint», тогда как на TI-30XII и TI-30XS оно интерпретируется как ( a ^b ) ^c . MultiView в «Классическом режиме».a^b^c

Выражение Like интерпретируется как 1/(2 x ) TI-82 , ^[3] , а также многими современными калькуляторами Casio ^[31] (настраивается на некоторых, например fx-9750GIII ^[32] ), но как (1/2 ) x TI -83 и всеми другими калькуляторами TI, выпущенными с 1996 года, ^{[33] [3]} , а также всеми калькуляторами Hewlett-Packard с алгебраической записью. Хотя некоторые пользователи могут ожидать первую интерпретацию из-за природы подразумеваемого умножения , ^[34] последняя больше соответствует правилу, согласно которому умножение и деление имеют равный приоритет. ^[3]1/2x

Если пользователь не уверен, как калькулятор интерпретирует выражение, для устранения двусмысленности можно использовать круглые скобки. ^[3]

Порядок операций возник благодаря адаптации инфиксной нотации в стандартной математической нотации , которая может быть неоднозначной без таких соглашений, в отличие от постфиксной нотации или префиксной нотации , которые не нуждаются в порядках операций. ^{[35] [36]} Следовательно, калькуляторы, использующие обратную польскую нотацию (RPN) и использующие стек для ввода выражений в правильном порядке старшинства, не нуждаются в круглых скобках или каком-либо возможном порядке выполнения, специфичном для модели. ^{[17] [16]}

Языки программирования

Большинство языков программирования используют уровни приоритета, которые соответствуют порядку, обычно используемому в математике, ^{[37] [25]} , хотя другие, такие как APL , Smalltalk , Occam и Mary , не имеют правил приоритета операторов (в APL вычисление осуществляется строго справа налево). ; в Smalltalk строго слева направо).

Более того, поскольку многие операторы не являются ассоциативными, порядок внутри любого отдельного уровня обычно определяется путем группировки слева направо, так что это 16/4/4интерпретируется как (16/4)/4 = 1 , а не 16/(4/4) = 16 ; такие операторы называются «левоассоциативными». Исключения существуют; например, языки с операторами, соответствующими операции cons в списках, обычно группируют их справа налево («правая ассоциативность»), например, в Haskell , 1:2:3:4:[] == 1:(2:(3:(4:[]))) == [1,2,3,4].

Деннис Ритчи , создатель языка C , сказал о приоритете в C (разделенном языками программирования, заимствовавшими эти правила из C, например, C++ , Perl и PHP ), что было бы предпочтительнее переместить побитовые операторы над сравнением. операторы . ^[38] Многие программисты привыкли к такому порядку, но в более поздних популярных языках, таких как Python ^[39] и Ruby ^[40], этот порядок действительно обратный. Относительные уровни приоритета операторов , встречающиеся во многих языках стиля C, следующие:

Упрощенная формальная грамматика арифметических выражений на языке программирования (слева) , ^[41] и вывод примера выражения (a+b)^2/2 (справа) . Последнее соответствует иерархической структуре (« синтаксическому дереву »), уникальной для данного выражения. Компилятор генерирует машинный код из дерева таким образом, что операции, происходящие на самом низком уровне иерархии, выполняются первыми .

Примеры:

• !A + !Bинтерпретируется как(!A) + (!B)
• ++A + !Bинтерпретируется как(++A) + (!B)
• A + B * Cинтерпретируется какA + (B * C)
• A || B && Cинтерпретируется какA || (B && C)
• A && B == Cинтерпретируется какA && (B == C)
• A & B == Cинтерпретируется какA & (B == C)

(В Python , Ruby , PARI/GP и других популярных языках A & B == Cинтерпретируется как (A & B) == C.)

Компиляторам исходного кода , которые компилируются на несколько языков, необходимо явно решать проблему различного порядка операций на разных языках. Например , Haxe стандартизирует порядок и обеспечивает его соблюдение, вставляя скобки там, где это необходимо. ^[42]

Было обнаружено, что точность знаний разработчика программного обеспечения о приоритете двоичных операторов тесно связана с частотой их появления в исходном коде. ^[43]

Смотрите также

• Общие обозначения операторов (для более формального описания)
• Гипероперация
• Логическая связка # Порядок старшинства
• Ассоциативность оператора
• Перегрузка оператора
• Приоритет операторов в C и C++
• Польские обозначения
• Обратная польская запись

Примечания

1. Некоторые авторы намеренно избегают пропуска круглых скобок с функциями даже в случае одной числовой переменной или постоянных аргументов (например, Олдхэм в Атласе), тогда как другие авторы (например, NIST) применяют это упрощение обозначений только условно в сочетании с конкретными многосимвольными символами. имена функций (например, sin), но не используйте их с общими именами функций (например, f).
2. Чтобы избежать какой-либо двусмысленности, этого упрощения обозначений мономов намеренно избегают в таких работах, как Атлас функций Олдхэма или Справочник NIST по математическим функциям.
3. «Of», когда используется для обозначения математической операции, означает умножение. Например, «половина пятидесяти» означает «1/2 умножить на 50», что равно 25.
4. Например, третье издание « Механики» Ландау и Лифшица содержит такие выражения, как hP _z /2 π (стр. 22), а первый том « Фейнмановских лекций» содержит такие выражения, как 1/2 √ N (стр. 6– 7). В обеих книгах эти выражения написаны с учетом того, что солидус вычисляется последним. Это также означает, что выражение типа 8/2(4) имеет решение 1, поскольку отсутствие знака умножения (x * или .) означает, что солидус вычисляется последним, даже если он расположен левее.

Рекомендации

1. «Операторы вычислений и приоритет: Excel для Microsoft 365, Excel для Microsoft 365 для Mac, Excel для Интернета, Excel 2021, Excel 2021 для Mac, Excel 2019, Excel 2019 для Mac, Excel 2016, Excel 2016 для Mac». Поддержка Майкрософт . Майкрософт . 2023. Архивировано из оригинала 16 сентября 2023 г. Проверено 17 сентября 2023 г.
2. Бронштейн, Илья Николаевич ; Семендяев, Константин Адольфович (1987) [1945]. «2.4.1.1. Определение арифметических выражений». Написано в Лейпциге, Германия. В Гроше, Гюнтер; Зиглер, Виктор; Зиглер, Доротея (ред.). Taschenbuch der Mathematik [ Карманный справочник по математике ] (на немецком языке). Том. 1. Перевод Циглера Виктора. Вайс, Юрген (23-е изд.). Тун, Швейцария / Франкфурт-на-Майне, Германия: Verlag Harri Deutsch (и BG Teubner Verlagsgesellschaft , Лейпциг). стр. 115–120, 802. ISBN. 3-87144-492-8. Правило 7: Ist F ( A ) Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks или einer seiner Abkürzungen und F eine Funktionenkonstante und A eine Zahlenvariable или Zahlenkonstante, поэтому darf F A dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung F ⁿ ( A ) für ( F ( A )) ⁿ üblich. Dabei kann F sowohl Funktionenconstante als auch Funktionenvariable sein.]
3. Петерсон, Дэйв (30 сентября 2019 г.). «Порядок действий: почему?». Алгебра/Альтернативы, ПЕМДАС. Доктора-математики. Архивировано из оригинала 8 июня 2023 г. Проверено 21 октября 2021 г.; Петерсон, Дэйв (3 октября 2019 г.). «Порядок действий: почему эти правила?». Алгебра / ПЕМДАС. Доктора-математики. Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 г. Проверено 25 сентября 2023 г.; Петерсон, Дэйв (07 октября 2019 г.). «Порядок действий: тонкие различия». Алгебра / ПЕМДАС. Доктора-математики. Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 г. Проверено 25 сентября 2023 г.; Петерсон, Дэйв (10 октября 2019 г.). «Порядок действий: дроби, оценка и упрощение». Алгебра, AQOTW/Дроби, PEMDAS. Доктора-математики. Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 г. Проверено 25 сентября 2023 г.; Петерсон, Дэйв (14 октября 2019 г.). «Порядок операций: неявное умножение?». Алгебра / ПЕМДАС. Доктора-математики. Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 г. Проверено 25 сентября 2023 г.; Петерсон, Дэйв (17 октября 2019 г.). «Порядок действий: исторические предостережения». Алгебра/История, ПЕМДАС. Доктора-математики. Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 г. Проверено 25 сентября 2023 г.
4. Своковски, Эрл Уильям [в Викиданных] (1978). Написано в Университете Маркетта, Милуоки, Висконсин, США. Основы алгебры и тригонометрии (4-е изд.). Бостон, Массачусетс, США: Prindle, Weber & Schmidt, Incorporated. ISBN 0-87150-252-6. LCCN  77-26244 . Проверено 17 сентября 2023 г. п. 1: Язык алгебры […] может использоваться как стенография для сокращения и упрощения длинных или сложных утверждений.
5. Хээлле, Тара (12 марта 2013 г.). «Каков ответ на эту глупую математическую задачу на Facebook? И почему люди так возмущаются этим?». Наука. slate.com . Архивировано из оригинала 10 июня 2023 г. Проверено 17 сентября 2023 г.
6. Тиббетс, Сабрина (20 июля 2017 г.) [08 апреля 2011 г.]. «48÷2(9+3) = ?». Математика. Знай свой мем . Архивировано из оригинала 17 сентября 2023 г. Проверено 10 июля 2013 г.
7. Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Приоритет». mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 17 сентября 2023 г. Проверено 22 августа 2020 г.
8. Стапель, Элизабет. «Порядок действий: ПЕМДАС». Фиолетовая математика . Архивировано из оригинала 17 сентября 2023 г. Проверено 22 августа 2020 г.
9. Олдхэм, Кейт Б.; Майланд, Ян К.; Спанье, Джером (2009) [1987]. Атлас функций: с Equator, калькулятор функций Атласа (2-е изд.). Спрингер Сайенс+Бизнес Медиа, ООО . дои : 10.1007/978-0-387-48807-3. ISBN 978-0-387-48806-6. LCCN  2008937525.
10. Олвер, Фрэнк WJ; Лозье, Дэниел В.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В., ред. (2010). Справочник NIST по математическим функциям . Национальный институт стандартов и технологий (NIST), Министерство торговли США , Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-19225-5. МР  2723248.[1]
11. «Правила арифметики» (PDF) . Mathcentre.ac.uk . 2009. Архивировано (PDF) из оригинала 5 апреля 2023 г. Проверено 2 августа 2019 г.(9 страниц)
12. Гинзбург, Дэвид (1 января 2011 г.). «Пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли (ПЕМДАС) - навсегда!». Неделя образования — Советы тренера Джи по обучению . Архивировано из оригинала 01 февраля 2023 г. Проверено 17 сентября 2023 г.
13. Бандли, Бетти; Бергстрессер, Мэтью (22 сентября 2021 г.). «Что такое PEMDAS? - Определение, правило и примеры». Study.com . Архивировано из оригинала 29 мая 2023 г. Проверено 17 сентября 2023 г.
14. Али Рахман, Эрнна Сукинна; Шахрилл, Масита; Аббас, Нор Арифахвати; Тан, Эбби (лето 2017 г.) [29 августа 2016 г., 06 марта 2017 г.]. «Развитие математических навыков учащихся с учетом порядка действий» (PDF) . Международный журнал исследований в области образования и науки (IJRES) . Университет Брунея-Даруссалама. 3 (2): 373–382. doi : 10.21890/ijres.327896. ISSN  2148-9955. Архивировано (PDF) из оригинала 19 ноября 2023 г. Проверено 19 ноября 2023 г. п. 373: PEMDAS — это аббревиатура или мнемоника порядка операций, который означает скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение и вычитание. Эта аббревиатура широко используется в Соединенных Штатах Америки. Между тем, в других странах, таких как Великобритания и Канада, используются аббревиатуры BODMAS (скобки, порядок, деление, умножение, сложение и вычитание) и BIDMAS (скобки, индексы, деление, умножение, сложение и вычитание).(11 страниц)
15. «Le Calcul qui Divise: 6÷2(1+2) - Микматы» (на французском языке) . Проверено 1 ноября 2021 г.Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine.
16. Вандербик, Грег (июль 2007 г.). Порядок проведения операций и РПН (Разъяснительная записка). Разъяснительные материалы экзамена на степень магистра педагогических наук (MAT). Линкольн, Небраска, США: Университет Небраски . Документ 46. Архивировано из оригинала 14 июня 2020 г. Проверено 14 июня 2020 г.
17. Болл, Джон А. (1978). Алгоритмы калькуляторов РПН (1-е изд.). Кембридж, Массачусетс, США: Wiley-Interscience , John Wiley & Sons, Inc., с. 31. ISBN 0-471-03070-8. LCCN  77-14977.
18. «Порядок действий PEMDAS». mathsisfun.com . 2023. Архивировано из оригинала 19 ноября 2023 г. Проверено 19 ноября 2023 г. В Великобритании говорят БОДМАС (скобки, порядок, деление, умножение, сложение, вычитание). В Канаде говорят БЕДМАС (скобки, показатели степени, деление, умножение, сложение, вычитание).
19. Бартлетт, Софи (30 августа 2023 г.). «Что такое БОДМАС И БИДМАС? Объяснение учителям». Архивировано из оригинала 17 сентября 2023 г. Проверено 17 сентября 2023 г.
20. «Порядок действий» (DOC) . Syllabus.bos.nsw.edu.au . Архивировано из оригинала 7 апреля 2023 г. Проверено 2 августа 2019 г.
21. «Правило Бодмы - Что такое Правило Бодмы - Порядок действий» . vedantu.com . Архивировано из оригинала 18 мая 2023 г. Проверено 21 августа 2019 г.
22. Фостер, Колин (май 2008 г.). Написано в Ковентри, Великобритания. «Высшие приоритеты» (PDF) . Математика в школе . Великобритания: Математическая ассоциация . 37 (3): 17. дои : 10.2307/30216129. ISSN  0305-7259. JSTOR  30216129 . Проверено 30 августа 2023 г.(1 страница)
23. Ли, Джэ Ки; Ликвинко, Сьюзен; Тейлор-Бакнер, Николь (осень – зима 2013 г.). «Изучение математического обоснования порядка операций: перестановка процедурного компонента PEMDAS». Журнал математического образования в педагогическом колледже . Программа в Педагогическом колледже математики и образования Колумбийского университета в Нью-Йорке. 4 (2): 73–78. doi : 10.7916/jmetc.v4i2.633. eISSN  2156-1400. ISSN  2156-1397. Архивировано из оригинала 4 августа 2022 г. Проверено 23 августа 2013 г. п. 73:«[…] учащиеся часто допускают ошибки в вычислениях с выражениями, в которых рядом стоят либо умножение и деление, либо сложение и вычитание. […](iv+6 страниц)
24. Зейдлер, Эберхард ; Шварц, Ганс Рудольф; Хакбуш, Вольфганг ; Людерер, Бернд [на немецком языке] ; Блат, Йохен; Шид, Александр; Демпе, Стефан; Ванка, Герт ; Хромкович, Юрай ; Готвальд, Зигфрид (2013) [2012]. Зейдлер, Эберхард (ред.). Springer-Handbuch der Mathematik I (на немецком языке). Том. Я (1-е изд.). Берлин/Гейдельберг, Германия: Springer Spektrum , Springer Fachmedien Wiesbaden . п. 590. дои : 10.1007/978-3-658-00285-5. ISBN 978-3-658-00284-8.(xii+635 страниц)
25. Ван Винкль, Льюис (23 августа 2016 г.). «Ассоциативность возведения в степень и стандартная математическая запись». Codeplea — Случайные мысли о программировании . Архивировано из оригинала 28 июня 2020 г. Проверено 20 сентября 2016 г.
26. Ангел, Аллен Р.; Рунде, Деннис С.; Гиллиган, Лоуренс; Семмлер, Ричард (13 января 2010 г.). Элементарная алгебра для студентов (8-е изд.). Прентис Холл PTR . Глава 1, раздел 9, цель 3. ISBN 978-0-321-62093-4.
27. «Формула возвращает неожиданное положительное значение» . Майкрософт . 15 августа 2005 г. Архивировано из оригинала 19 апреля 2015 г. Проверено 5 марта 2012 г.
28. «Руководство по стилю физического обзора и обозначениям» (PDF) . Американское физическое общество . Раздел IV–E–2–e. Архивировано (PDF) из оригинала 17 сентября 2023 г. Проверено 5 августа 2012 г.
29. Лакриц, Талия. «У этого уравнения есть два совершенно разных ответа в зависимости от того, чему вы учились в школе, и это разделяет Интернет». Инсайдер . Проверено 18 февраля 2022 г.
30. Талвалкар, Преш. «Что такое 6 ÷ 2 (1 + 2) = ? Математик объясняет правильный ответ». Обдумывайте свои решения . Архивировано из оригинала 8 июля 2023 г. Проверено 23 июня 2023 г.
31. «Последовательность приоритетов вычислений» . support.casio.com . Касио . Архивировано из оригинала 5 апреля 2023 г. Проверено 1 августа 2019 г.
32. критик (21 июня 2021 г.) [13 июня 2021 г.]. «fx-9750GIII против fx-9860GIII». Casio CFX/AFX/FX/Призма. УЦФ . Архивировано из оригинала 03 октября 2023 г. Проверено 03 октября 2023 г. […] На fx-9750GIII есть 3 возможных настройки вместо 2 для ввода/вывода: […] У вас также есть дополнительная настройка для включения /выключения неявного умножения : […] Imp Multi On […]
33. «Неявное умножение и явное умножение на графических калькуляторах TI». Инструменты Техаса . 16 января 2011 г. 11773. Архивировано из оригинала 17 апреля 2016 г. Проверено 24 августа 2015 г.
34. Анонсируем TI Programmable 88! (PDF) . Инструменты Техаса . 1982. Архивировано (PDF) из оригинала 3 августа 2017 г. Проверено 3 августа 2017 г. Теперь подразумеваемое умножение распознается AOS , и за квадратным корнем , логарифмическими и тригонометрическими функциями могут следовать их аргументы, как при работе с карандашом и бумагой.(Примечание. TI-88 существовал только как прототип и никогда не был представлен широкой публике.)
35. Саймонс, Питер Мюррей (2021). «Без скобок или польская нотация Лукасевича». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований факультета философии Стэнфордского университета. ISSN  1095-5054. Архивировано из оригинала 7 апреля 2022 г. Проверено 26 марта 2022 г.
36. Кртолица, Предраг В.; Станимирович, Предраг С. (1999). «О некоторых свойствах обратной польской записи». Филомат . Факультет естественных наук и математики Нишского университета. 13 : 157–172. ISSN  0354-5180. JSTOR  43998756.(16 страниц)
37. Хендерсон, Гарри (2009) [2003]. «Приоритет оператора». Энциклопедия компьютерных наук и технологий Хендерсона (пересмотренная редакция). Нью-Йорк, США: факты в файле, Inc. / Издательство Infobase . п. 355. ИСБН 978-0-8160-6382-6. LCCN  2008029156 . Проверено 17 сентября 2023 г.
38. Ричи, Деннис М. (1996). «Развитие языка Си». История языков программирования (2-е изд.). АКМ Пресс .
39. «6. Выражения». Документация Python . Архивировано из оригинала 30 декабря 2023 г. Проверено 31 декабря 2023 г.
40. «Приоритет - Документация RDoc» . Ruby-doc.org . Архивировано из оригинала 1 января 2024 г. Проверено 31 декабря 2023 г.
41. Бэкус, Джон Уорнер ; Бауэр, Фридрих Людвиг ; Грин, Жюльен; Кац, Чарльз ; Маккарти, Джон ; Наур, Питер ; Перлис, Алан Джей ; Рутисхаузер, Хайнц ; Самельсон, Клаус ; Вокуа, Бернар ; Вегштейн, Джозеф Генри ; ван Вейнгаарден, Адриан ; Вуджер, Майкл (1963). «Раздел 3.3.1: Арифметические выражения». В Науре, Питер (ред.). Пересмотренный отчет об алгоритмическом языке Алгол 60 (Отчет). Архивировано из оригинала 17 сентября 2023 г. Проверено 17 сентября 2023 г.(CACM Vol. 6, стр. 1–17; The Computer Journal, Vol. 9, p. 349; Numerische Mathematik, Vol. 4, p. 420.)
42. Ли, Энди (2 мая 2011 г.). «6÷2(1+2)=?». Блог Энди Ли . Архивировано из оригинала 7 апреля 2023 г. Проверено 31 декабря 2012 г.
43. Джонс, Дерек М. (2008) [2006]. «Убеждения разработчиков о приоритете двоичных операторов». резюме . Фарнборо, Хантс, Великобритания: Knowledge Software, Ltd. 18 (4): 14–21. Архивировано из оригинала 17 сентября 2023 г. Проверено 17 сентября 2023 г.[2][3][4]

дальнейшее чтение

• Каджори, Флориан (1993) [1928–1929]. История математических обозначений . Чикаго, Иллинойс, США / Нью-Йорк, США: Open Court Publishing / Dover Publications . ISBN 0-486-67766-4.
• Нил, Уильям Калверт ; Книл, Марта (1962). Развитие логики . Оксфорд, Оксфордшир, Великобритания: Clarendon Press . ISBN 0-19-824773-7.
• Закари, Джозеф Л. (1997). «Введение в научное программирование — решение вычислительных задач с использованием Maple и C — таблица приоритета операторов». Юта, США: Департамент компьютерных наук Университета Юты. Архивировано из оригинала 18 сентября 2023 г. Проверено 25 августа 2015 г.
• Закари, Джозеф Л. (1997). «Введение в научное программирование — решение вычислительных задач с использованием Mathematica и C — тетрадь приоритета операторов». Юта, США: Департамент компьютерных наук Университета Юты. Архивировано из оригинала 18 сентября 2023 г. Проверено 25 августа 2015 г.
• «Порядок действий». MathSteps: Что это такое? . Компания Хоутон Миффлин . 1999. Архивировано из оригинала 21 июля 2020 г. Проверено 22 июля 2020 г.
• Ву, Хун-Си [в Викиданных] (13 сентября 2007 г.) [01 июня 2004 г.]. ««Порядок действий» и другие странности школьной математики» (PDF) . Беркли, Калифорния, США: Департамент математики Калифорнийского университета. Архивировано (PDF) из оригинала 18 сентября 2023 г. Проверено 3 июля 2007 г.(11 страниц)
• Бергман, Джордж Марк (21 февраля 2013 г.). «Порядок арифметических операций; в частности, вопрос 48/2(9+3)». Департамент математики Калифорнийского университета. Архивировано из оригинала 20 мая 2020 г. Проверено 22 июля 2020 г.
• Фоте, Майкл; Уилке, Томас, ред. (2015) [14 ноября 2014 г.]. Написано в Йене, Германия. Келлер, Stack und autotisches Gedächtnis – eine Struktur mit Potenzial [ Подвал, стек и автоматическая память - структура с потенциалом ] (PDF) (Tagungsband zum Kolloquium, 14 ноября 2014 г., Йена). Серия GI: Конспекты лекций по информатике (LNI) - Тематика (на немецком языке). Том. Т-7. Бонн, Германия: Gesellschaft für Informatik (GI) / Köllen Druck + Verlag GmbH. ISBN 978-3-88579-426-4. ISSN  1614-3213. Архивировано (PDF) из оригинала 12 апреля 2020 г. Проверено 12 апреля 2020 г.[5] (77 страниц)
• Петерсон, Дэйв (18 августа 2023 г.). «Неявное умножение 1: не так плохо, как вы думаете». Алгебра/Неоднозначность, PEMDAS. Доктора-математики. Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 г. Проверено 25 сентября 2023 г.; Петерсон, Дэйв (25 августа 2023 г.). «Неявное умножение 2: существует ли стандарт?». Алгебра, Арифметика/Неоднозначность, PEMDAS. Доктора-математики. Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 г. Проверено 25 сентября 2023 г.; Петерсон, Дэйв (01 сентября 2023 г.). «Неявное умножение 3: это невозможно доказать». Алгебра / ПЕМДАС. Доктора-математики. Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 г. Проверено 25 сентября 2023 г.