Конечный импульсный отклик

Тип фильтра при обработке сигнала

В обработке сигналов фильтр с конечной импульсной характеристикой ( КИХ ) — это фильтр , импульсная характеристика которого (или реакция на любой вход конечной длины) имеет конечную длительность, поскольку он достигает нуля за конечное время. Это контрастирует с фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), которые могут иметь внутреннюю обратную связь и могут продолжать реагировать бесконечно (обычно затухая). ^{[ необходима цитата ]}

Импульсная характеристика (то есть выходной сигнал в ответ на входной сигнал Кронекера ) дискретного по времени КИХ-фильтра N ^-го порядка длится ровно столько же выборок (от первого ненулевого элемента до последнего ненулевого элемента), прежде чем установится на нулевом уровне. ${\displaystyle N+1}$

КИХ-фильтры могут быть дискретными или непрерывными , цифровыми или аналоговыми .

Определение

Прямой дискретный FIR-фильтр порядка N. Верхняя часть представляет собой N -ступенчатую линию задержки с N + 1 отводами. Каждая единичная задержка представляет собой оператор z ⁻¹ в нотации Z-преобразования .

Решетчатый дискретный фильтр конечной импульсной характеристики порядка N. Каждая единичная задержка представляет собой оператор z ⁻¹ в записи Z-преобразования .

Для каузального дискретного по времени КИХ-фильтра порядка N каждое значение выходной последовательности представляет собой взвешенную сумму последних входных значений :

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{N}x[n-N]\\&=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot x[n-i],\end{aligned}}}$

где :

• ${\textstyle x[n]}$входной сигнал,
• ${\textstyle y[n]}$выходной сигнал,
• ${\textstyle N}$- порядок фильтра; фильтр ^th -го порядка имеет члены в правой части ${\textstyle N}$ ${\textstyle N+1}$
• ${\textstyle b_{i}}$- значение импульсного отклика в i-й момент времени для -го порядка FIR-фильтра. Если фильтр является FIR-фильтром прямой формы, то - также коэффициент фильтра. ${\textstyle 0\leq i\leq N}$ ${\textstyle N^{\text{th}}}$ ${\textstyle b_{i}}$

Это вычисление также известно как дискретная свертка .

В этих терминах их обычно называют ${\textstyle x[n-i]}$tap s, основанный на структурелинии задержки с отводами, которая во многих реализациях или блок-схемах обеспечивает задержанные входы для операций умножения. Можно говорить офильтре 5-го порядка/6-отводов, например.

Импульсная характеристика фильтра, как определено, не равна нулю в течение конечной длительности. Включая нули, импульсная характеристика представляет собой бесконечную последовательность :

${\displaystyle h[n]=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot \delta [n-i]={\begin{cases}b_{n}&0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Если КИХ-фильтр не является причинно-следственным, диапазон ненулевых значений в его импульсной характеристике может начинаться до , при этом определяющая формула соответствующим образом обобщена. ${\displaystyle n=0}$

Характеристики

Фильтр FIR имеет ряд полезных свойств, которые иногда делают его предпочтительнее фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (IIR). Фильтры FIR:

• Не требуют обратной связи. Это означает, что любые ошибки округления не усугубляются суммированными итерациями. Та же самая относительная ошибка возникает в каждом расчете. Это также упрощает реализацию.
• Являются изначально стабильными , поскольку выход представляет собой сумму конечного числа конечных кратных входных значений, поэтому не может превышать наибольшее значение, встречающееся во входных данных. ${\textstyle \sum |b_{i}|}$
• Может быть легко спроектирован для линейной фазы , делая последовательность коэффициентов симметричной. Это свойство иногда желательно для фазочувствительных приложений, например, для передачи данных, сейсмологии , кроссоверных фильтров и мастеринга .

Основным недостатком FIR-фильтров является то, что требуется значительно больше вычислительной мощности в процессоре общего назначения по сравнению с IIR-фильтром с аналогичной резкостью или селективностью , особенно когда требуются низкочастотные (относительно частоты дискретизации) срезы. Однако многие цифровые сигнальные процессоры предоставляют специализированные аппаратные функции, чтобы сделать FIR-фильтры примерно такими же эффективными, как IIR для многих приложений.

Частотная характеристика

Влияние фильтра на последовательность описывается в частотной области теоремой о свертке : ${\displaystyle x[n]}$

${\displaystyle \underbrace {{\mathcal {F}}\{x*h\}} _{Y(\omega )}=\underbrace {{\mathcal {F}}\{x\}} _{X(\omega )}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{h\}} _{H(\omega )}}$     и     ${\displaystyle y[n]=x[n]*h[n]={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}X(\omega )\cdot H(\omega ){\big \}},}$

где операторы и соответственно обозначают дискретное преобразование Фурье (ДВПФ) и его обратное. Таким образом, комплекснозначная мультипликативная функция является частотной характеристикой фильтра . Она определяется рядом Фурье : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$ ${\displaystyle H(\omega )}$

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n}=\sum _{n=0}^{N}b_{n}\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n},}$

где добавленный нижний индекс обозначает -периодичность. Здесь представляет частоту в нормализованных единицах ( радианы на выборку ). Функция имеет периодичность с в единицах циклов на выборку , что является предпочтительным для многих приложений по проектированию фильтров. ^[A]   Значение , называемое частотой Найквиста , соответствует   Когда последовательность имеет известную частоту дискретизации (в выборках в секунду ), обычная частота связана с нормализованной частотой циклами в секунду ( Гц ). И наоборот, если кто-то хочет разработать фильтр для обычных частот и т. д., используя приложение, которое ожидает циклов на выборку , он должен ввести   и т. д. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H_{2\pi }(2\pi f')}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle \omega =\pi }$ ${\displaystyle f'={\tfrac {1}{2}}.}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle f=f'\cdot f_{s}={\tfrac {\omega }{2\pi }}\cdot f_{s}}$ ${\displaystyle f_{1},}$ ${\displaystyle f_{2},}$ ${\displaystyle f_{1}/f_{s},}$  ${\displaystyle f_{2}/f_{s},}$

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )}$также может быть выражено через Z-преобразование импульсной характеристики фильтра:

${\displaystyle {\widehat {H}}(z)\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot z^{-n}.}$

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {H}}(z)\,\right|_{z=e^{j\omega }}={\widehat {H}}(e^{j\omega }).}$

Конструкция фильтра

Фильтры FIR проектируются путем поиска коэффициентов и порядка фильтра, которые соответствуют определенным спецификациям, которые могут быть во временной области (например, согласованный фильтр ) или частотной области (наиболее распространенный). Согласованные фильтры выполняют взаимную корреляцию между входным сигналом и известной формой импульса. Свертка FIR представляет собой взаимную корреляцию между входным сигналом и обращенной во времени копией импульсной характеристики. Таким образом, импульсная характеристика согласованного фильтра «проектируется» путем выборки известной формы импульса и использования этих выборок в обратном порядке в качестве коэффициентов фильтра. ^[1]

Когда требуется определенная частотная характеристика, обычно используются несколько различных методов проектирования:

1. Метод проектирования окон
2. Метод частотной выборки
3. Метод наименьшей MSE (среднеквадратичной ошибки)
4. Метод Паркса–Макклеллана (также известный как метод эквипульса, оптимальный или минимаксный метод). Алгоритм обмена Ремеза обычно используется для поиска оптимального набора коэффициентов эквипульса. Здесь пользователь указывает желаемую частотную характеристику, весовую функцию для ошибок из этой характеристики и порядок фильтра N . Затем алгоритм находит набор коэффициентов, которые минимизируют максимальное отклонение от идеала. Интуитивно это находит фильтр, который максимально близок к желаемой характеристике, учитывая, что можно использовать только коэффициенты. Этот метод особенно прост на практике, поскольку по крайней мере один текст ^[2] включает программу, которая берет желаемый фильтр и N , и возвращает оптимальные коэффициенты. ${\textstyle N+1}$ ${\textstyle N+1}$
5. Фильтры Equiripple FIR также могут быть спроектированы с использованием алгоритмов DFT. ^[3] Алгоритм является итеративным по своей природе. DFT исходного проекта фильтра вычисляется с использованием алгоритма FFT (если исходная оценка недоступна, можно использовать h[n]=delta[n]). В области Фурье или области DFT частотная характеристика корректируется в соответствии с желаемыми характеристиками, а затем вычисляется обратное DFT. Во временной области сохраняются только первые N коэффициентов (остальные коэффициенты устанавливаются равными нулю). Затем процесс повторяется итеративно: DFT вычисляется еще раз, коррекция применяется в частотной области и так далее.

Пакеты программного обеспечения, такие как MATLAB , GNU Octave , Scilab и SciPy, предоставляют удобные способы применения этих различных методов.

Метод проектирования окон

В методе проектирования окна сначала проектируется идеальный БИХ-фильтр, а затем усекается бесконечная импульсная характеристика путем умножения ее на оконную функцию конечной длины . Результатом является конечный импульсный фильтр, частотная характеристика которого изменена по сравнению с БИХ-фильтром. Умножение бесконечного импульса на оконную функцию во временной области приводит к тому, что частотная характеристика БИХ-фильтра свертывается с преобразованием Фурье (или DTFT) оконной функции. Если главный лепесток окна узкий, составная частотная характеристика остается близкой к идеальной БИХ-фильтру.

Идеальный отклик часто прямоугольный, а соответствующая БИХ-функция является функцией sinc . Результатом свертки частотной области является то, что края прямоугольника сужаются, и в полосе пропускания и полосе задерживания появляются ряби. Работая в обратном направлении, можно указать наклон (или ширину) сужающейся области ( переходной полосы ) и высоту ряби, и тем самым вывести параметры частотной области соответствующей функции окна. Продолжение обратного перехода к импульсной характеристике может быть сделано путем итерации программы проектирования фильтров для нахождения минимального порядка фильтра. Другой метод заключается в ограничении набора решений параметрическим семейством окон Кайзера , которое обеспечивает замкнутые формы отношений между параметрами временной и частотной областей. В общем случае этот метод не позволит достичь минимально возможного порядка фильтра, но он особенно удобен для автоматизированных приложений, которым требуется динамическое, «на лету» проектирование фильтров.

Метод проектирования окна также выгоден для создания эффективных полуполосных фильтров , поскольку соответствующая функция sinc равна нулю в каждой второй точке выборки (кроме центральной). Произведение с функцией окна не изменяет нули, поэтому почти половина коэффициентов окончательного импульсного отклика равна нулю. Соответствующая реализация вычислений FIR может использовать это свойство для удвоения эффективности фильтра.

Метод наименьшей среднеквадратической ошибки (MSE)

Цель:

Чтобы разработать КИХ-фильтр в смысле MSE, мы минимизируем среднеквадратичную ошибку между полученным нами фильтром и желаемым фильтром.

${\displaystyle {\text{MSE}}=f_{s}^{-1}\int _{-f_{s}/2}^{f_{s}/2}|H(f)-H_{d}(f)|^{2}\,df}$, где — частота дискретизации, — спектр полученного нами фильтра, — спектр искомого фильтра. ${\displaystyle f_{s}\,}$ ${\displaystyle H(f)\,}$ ${\displaystyle H_{d}(f)\,}$

Метод:

Дан N -точечный КИХ-фильтр , и . ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle r[n]=h[n+k],k={\frac {(N-1)}{2}}}$

Шаг 1: Предположим, что четное симметрично. Тогда дискретное временное преобразование Фурье определяется как ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle r[n]}$

${\displaystyle R(F)=e^{j2\pi Fk}H(F)=\sum _{n=0}^{k}s[n]\cos(2\pi nF)}$

Шаг 2: Рассчитайте среднеквадратичную ошибку.

${\displaystyle {\text{MSE}}=\int _{-1/2}^{1/2}|R(F)-H_{d}(F)|^{2}\,dF}$

Поэтому,

${\displaystyle {\text{MSE}}=\int _{-1/2}^{1/2}\sum _{n=0}^{k}s[n]\cos(2\pi nF)\sum _{\tau =0}^{k}s[\tau ]\cos(2\pi \tau F)\,dF-2\int _{-1/2}^{1/2}\sum _{n=0}^{k}s[n]\cos(2\pi nF)H_{d}\,dF+\int _{-1/2}^{1/2}H_{d}(F)^{2}\,dF}$

Шаг 3: Минимизируйте среднеквадратичную ошибку, вычислив частную производную от MSE по ${\displaystyle s[n]}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\text{MSE}}}{\partial s[n]}}=2\sum _{\tau =0}^{k}s[\tau ]\int _{-1/2}^{1/2}\cos(2\pi nF)\cos(2\pi \tau F)\,dF-2\int _{-1/2}^{1/2}H_{d}(F)^{2}\cos(2\pi nF)\,dF=0}$

После организации у нас есть

${\displaystyle s[0]=\int _{-1/2}^{1/2}H_{d}(F)\,dF}$

${\displaystyle s[n]=\int _{-1/2}^{1/2}\cos(2\pi nF)H_{d}(F)\,dF,\ {\text{ for }}n\neq 0}$

Шаг 4: Вернитесь к представлению ${\displaystyle s[n]}$ ${\displaystyle h[n]}$

${\displaystyle h[k]=s[0],h[k+n]=s[n]/2,h[k-n]=s[n]/2,\;for\;n=1,2,3,\ldots ,k,{\text{ where }}k=(N-1)/2}$и ${\displaystyle h[n]=0{\text{ for }}n<0{\text{ and }}n\geq N}$

Кроме того, мы можем по-разному трактовать важность полосы пропускания и полосы задерживания в соответствии с нашими потребностями, добавляя весовую функцию. Тогда ошибка MSE становится ${\displaystyle W(f)}$

${\displaystyle {\text{MSE}}=\int _{-1/2}^{1/2}W(F)|R(F)-H_{d}(F)|^{2}\,dF}$

Пример скользящей средней

Фильтр скользящего среднего — это очень простой фильтр FIR. Иногда его называют фильтром boxcar , особенно когда за ним следует прореживание или sinc-in frequency . Коэффициенты фильтра, , находятся с помощью следующего уравнения: ${\textstyle b_{0},\ldots ,b_{N}}$

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{N+1}}}$

Чтобы привести более конкретный пример, выберем порядок фильтрации:

${\displaystyle N=2}$

Импульсная характеристика полученного фильтра :

${\displaystyle h[n]={\frac {1}{3}}\delta [n]+{\frac {1}{3}}\delta [n-1]+{\frac {1}{3}}\delta [n-2]}$

Блок-схема справа показывает фильтр скользящего среднего второго порядка, обсуждаемый ниже. Передаточная функция :

${\displaystyle H(z)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}z^{-1}+{\frac {1}{3}}z^{-2}={\frac {1}{3}}{\frac {z^{2}+z+1}{z^{2}}}.}$

На следующем рисунке показана соответствующая диаграмма полюс–ноль . Нулевая частота (DC) соответствует (1, 0), положительные частоты движутся против часовой стрелки по окружности до частоты Найквиста в точке (−1, 0). Два полюса расположены в начале координат, а два нуля — в , . ${\textstyle z_{1}=-{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\textstyle z_{2}=-{\frac {1}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

Частотная характеристика, выраженная в нормализованной частоте ω , равна :

${\displaystyle {\begin{aligned}H\left(e^{j\omega }\right)&={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}e^{-j\omega }+{\frac {1}{3}}e^{-j2\omega }\\&={\frac {1}{3}}e^{-j\omega }\left(1+2\cos(\omega )\right).\end{aligned}}}$

Компоненты амплитуды и фазы изображены на рисунке. Но такие графики также можно сгенерировать, выполнив дискретное преобразование Фурье (ДПФ) импульсного отклика. ^[B] И из-за симметрии, проектирование фильтра или программное обеспечение для просмотра часто отображает только область [0, π]. График амплитуды показывает, что фильтр скользящего среднего пропускает низкие частоты с усилением около 1 и ослабляет высокие частоты, и, таким образом, является грубым фильтром нижних частот . Фазовый график линеен, за исключением разрывов на двух частотах, где амплитуда стремится к нулю. Размер разрывов равен π, что представляет собой смену знака. Они не влияют на свойство линейной фазы, как показано на последнем рисунке. ${\textstyle H\left(e^{j\omega }\right)}$

Смотрите также

• Каскадный интегратор–гребенчатый фильтр
• Компактная поддержка
• Цифровая линия задержки
• Электронный фильтр
• Фильтр (обработка сигнала)
• Конструкция фильтра
• Функция передачи КИХ
• Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ)
• Z-преобразование (в частности, линейное разностное уравнение с постоянным коэффициентом )

Примечания

1. Исключением является MATLAB, который предпочитает периодичность , поскольку частота Найквиста в единицах полупериодов /выборка равна , что является удобным выбором для программного обеспечения для построения графиков, отображающих интервал от 0 до частоты Найквиста. ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 1,}$
2. См. § Выборка DTFT .

Ссылки

1. Оппенгейм, Алан В., Виллски, Алан С. и Янг, Ян Т., 1983: Сигналы и системы, стр. 256 (Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc.) ISBN  0-13-809731-3
2. Рабинер, Лоуренс Р. и Голд, Бернард, 1975: Теория и применение цифровой обработки сигналов (Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc.) ISBN 0-13-914101-4 
3. AE Cetin, ON Gerek, Y. Yardimci, «Разработка фильтра Equiripple FIR с использованием алгоритма FFT», IEEE Signal Processing Magazine, стр. 60–64, март 1997 г.