Форвардный курс

Будущая доходность облигации

Форвардная ставка – это будущая доходность облигации . Он рассчитывается с использованием кривой доходности . Например, доходность трехмесячных казначейских векселей через шесть месяцев представляет собой форвардную ставку . ^[1]

Расчет форвардного курса

Чтобы извлечь форвардную ставку, нам нужна кривая бескупонной доходности .

Мы пытаемся найти будущую процентную ставку за период времени , выраженную в годах , учитывая ставку за период времени и ставку за период времени . Для этого мы используем свойство, заключающееся в том, что доходы от инвестирования по ставке за период времени и последующего реинвестирования этих доходов по ставке за период времени равны доходам от инвестирования по ставке за период времени . ${\displaystyle r_{1,2}}$ ${\displaystyle (t_{1},t_{2})}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle (0,t_{1})}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle (0,t_{2})}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle (0,t_{1})}$ ${\displaystyle r_{1,2}}$ ${\displaystyle (t_{1},t_{2})}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle (0,t_{2})}$

${\displaystyle r_{1,2}}$зависит от режима расчета ставки ( простая , с годовым начислением сложных процентов или с постоянным начислением сложных процентов ), что дает три разных результата.

Математически это выглядит следующим образом:

Простой тариф

${\displaystyle (1+r_{1}t_{1})(1+r_{1,2}(t_{2}-t_{1}))=1+r_{2}t_{2}}$

Решение для доходности: ${\displaystyle r_{1,2}}$

Таким образом ${\displaystyle r_{1,2}={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\left({\frac {1+r_{2}t_{2}}{1+r_{1}t_{1}}}-1\right)}$

Формула коэффициента дисконтирования для периода (0, t) выражена в годах, а ставка для этого периода равна , форвардная ставка может быть выражена через коэффициенты дисконтирования: ${\displaystyle \Delta _{t}}$ ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle DF(0,t)={\frac {1}{(1+r_{t}\,\Delta _{t})}}}$ ${\displaystyle r_{1,2}={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\left({\frac {DF(0,t_{1})}{DF(0,t_{2})}}-1\right)}$

Годовая сложная ставка

${\displaystyle (1+r_{1})^{t_{1}}(1+r_{1,2})^{t_{2}-t_{1}}=(1+r_{2})^{t_{2}}}$

Решение для доходности: ${\displaystyle r_{1,2}}$

${\displaystyle r_{1,2}=\left({\frac {(1+r_{2})^{t_{2}}}{(1+r_{1})^{t_{1}}}}\right)^{1/(t_{2}-t_{1})}-1}$

Формула коэффициента дисконтирования для периода (0, t ) выражена в годах, а ставка для этого периода равна , форвардная ставка может быть выражена через коэффициенты дисконтирования: ${\displaystyle \Delta _{t}}$ ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle DF(0,t)={\frac {1}{(1+r_{t})^{\Delta _{t}}}}}$

${\displaystyle r_{1,2}=\left({\frac {DF(0,t_{1})}{DF(0,t_{2})}}\right)^{1/(t_{2}-t_{1})}-1}$

Постоянно начисляемая процентная ставка

${\displaystyle e^{r_{2}\cdot t_{2}}=e^{r_{1}\cdot t_{1}}\cdot \ e^{r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)}}$

Решение для доходности: ${\displaystyle r_{1,2}}$

ШАГ 1→ ${\displaystyle e^{r_{2}\cdot t_{2}}=e^{r_{1}\cdot t_{1}+r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)}}$

ШАГ 2→ ${\displaystyle \ln \left(e^{r_{2}\cdot t_{2}}\right)=\ln \left(e^{r_{1}\cdot t_{1}+r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)}\right)}$

ШАГ 3→ ${\displaystyle r_{2}\cdot t_{2}=r_{1}\cdot t_{1}+r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)}$

ШАГ 4→ ${\displaystyle r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)=r_{2}\cdot t_{2}-r_{1}\cdot t_{1}}$

ШАГ 5→ ${\displaystyle r_{1,2}={\frac {r_{2}\cdot t_{2}-r_{1}\cdot t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}}$

Формула коэффициента дисконтирования для периода (0, t ) выражена в годах, а ставка для этого периода равна , форвардная ставка может быть выражена через коэффициенты дисконтирования: ${\displaystyle \Delta _{t}}$ ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle DF(0,t)=e^{-r_{t}\,\Delta _{t}}}$

${\displaystyle r_{1,2}={\frac {\ln \left(DF\left(0,t_{1}\right)\right)-\ln \left(DF\left(0,t_{2}\right)\right)}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {-\ln \left({\frac {DF\left(0,t_{2}\right)}{DF\left(0,t_{1}\right)}}\right)}{t_{2}-t_{1}}}}$

${\displaystyle r_{1,2}}$- это форвардный курс между временем и временем , ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

${\displaystyle r_{k}}$— бескупонная доходность за период времени ( k = 1,2). ${\displaystyle (0,t_{k})}$

Связанные инструменты

• Соглашение о форвардной ставке
• Примечание с плавающей ставкой

Смотрите также

• Форвардная цена
• Спотовый курс

Рекомендации

1. Фабоцци, Vamsi.K (2012), Справочник по ценным бумагам с фиксированным доходом (Седьмое изд.), Нью-Йорк: kvrv, стр. 148, ISBN 978-0-07-144099-8.