Одна форма (дифференциальная геометрия)

Дифференциальная форма первой степени или сечение кокасательного расслоения

В дифференциальной геометрии однократная форма (или ковекторное поле ) на дифференцируемом многообразии является дифференциальной формой степени один, то есть гладким сечением кокасательного расслоения . ^[1] Эквивалентно, однократная форма на многообразии является гладким отображением всего пространства касательного расслоения на , ограничение которого на каждое волокно является линейным функционалом на касательном пространстве. ^[2] Символически, ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \alpha :TM\rightarrow {\mathbb {R} },\quad \alpha _{x}=\alpha |_{T_{x}M}:T_{x}M\rightarrow {\mathbb {R} },}$$где линейно. ${\displaystyle \alpha _{x}}$

Часто униформы описываются локально , в частности, в локальных координатах . В локальной системе координат униформа является линейной комбинацией дифференциалов координат : где — гладкие функции. С этой точки зрения униформа имеет ковариантный закон преобразования при переходе из одной системы координат в другую. Таким образом, униформа является ковариантным тензорным полем порядка 1 . $${\displaystyle \alpha _{x}=f_{1}(x)\,dx_{1}+f_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +f_{n}(x)\,dx_{n},}$$ ${\displaystyle f_{i}}$

Примеры

Самая простая нетривиальная дифференциальная форма - это форма "изменения угла". Она определяется как производная "функции" угла (которая определена только с точностью до аддитивной константы), которая может быть явно определена в терминах функции atan2 . Взятие производной дает следующую формулу для полной производной : В то время как "функция" угла не может быть определена непрерывно - функция atan2 разрывна вдоль отрицательной оси - что отражает тот факт, что угол не может быть определен непрерывно, эта производная непрерывно определена, за исключением начала координат, отражая тот факт, что бесконечно малые (и действительно локальные) изменения угла могут быть определены везде, кроме начала координат. Интегрирование этой производной вдоль пути дает полное изменение угла по пути, а интегрирование по замкнутому контуру дает число витков, умноженное на ${\displaystyle d\theta .}$ ${\displaystyle \theta (x,y)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d\theta &=\partial _{x}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dx+\partial _{y}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dy\\&=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 2\pi .}$

На языке дифференциальной геометрии эта производная является однократной формой на проколотой плоскости . Она замкнута (ее внешняя производная равна нулю), но не точна , что означает, что она не является производной 0-формы (то есть функции): угол не является глобально определенной гладкой функцией на всей проколотой плоскости. Фактически, эта форма порождает первые когомологии де Рама проколотой плоскости. Это самый простой пример такой формы, и она является фундаментальной в дифференциальной геометрии. ${\displaystyle \theta }$

Дифференциал функции

Пусть открыто (например, интервал ) , и рассмотрим дифференцируемую функцию с производной Дифференциал сопоставляет каждой точке линейное отображение из касательного пространства в действительные числа. В этом случае каждое касательное пространство естественным образом отождествляется с действительной числовой прямой, а рассматриваемое линейное отображение задается масштабированием Это простейший пример дифференциальной (одно-)формы. ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f'.}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle x_{0}\in U}$ ${\displaystyle T_{x_{0}}U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f'(x_{0}).}$

Смотрите также

• Дифференциальная форма  – выражение, которое может быть интегрировано по области
• Внутренний продукт  — обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Обратная решетка  – преобразование Фурье решетки реального пространства, важное в физике твердого тела.
• Тензор  – алгебраический объект с геометрическими приложениями

Ссылки

1. "2 Введение в дифференциальную геометрию‣ Общая теория относительности Дэвида Тонга". www.damtp.cam.ac.uk . Получено 04.10.2022 .
2. МакИнерни, Эндрю (2013-07-09). Первые шаги в дифференциальной геометрии: риманова, контактная, симплектическая. Springer Science & Business Media. стр. 136–155. ISBN 978-1-4614-7732-7.